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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.
wonach nun die vollzogene Unterdrückung der Faktorengruppe (x y = 0) ..
bei der Konklusion sich als belanglos zu erkennen gibt, weil sie als
blosse Wiederholung der vorausgesetzten (a b = 0) .. wegen der Gleich-
heit der correspondirenden Symbole beider Reihen erscheinen würde.

Man kann darnach sowol k) als l) als den vollen Ausdruck des
Hauber'schen Satzes gelten lassen, obwol sich beide Formeln zufolge
Wegfalles jenes Faktorensystems etwas einfacher als th) darstellen.

Schliesslich kann man dem Theorem auch die hinsichtlich der
beiden Symbolreihen a, b, .. und x, y, ... symmetrische Gestaltung
geben:
m (a b = 0) .. (x y = 0) .. (x + y .. = a + b ..)
{(x a) (y b) .. = (a x) (b y) ..}
welche wol der Hauber'schen Fassung am nächsten kommt. --

4. Studie. Wichtige Erwägungen von allgemeiner Natur wollen
wir anknüpfen an die Aufgabe (De Morgan 2 p. 123): Aus A folgt B
und aus C folgt D; aber B und D sind unverträglich miteinander.

Zu beweisen, dass auch A und C inkonsistent sind. In Formeln,
dass: (A B) (C D) (B D = 0) (A C = 0).
Man sieht, dass der Satz mit a) unsres Hülfssatzes unter 2. zusammen-
fällt, nur für Aussagen anstatt für Gebiete gedeutet. Ein Beweis ist
demnach schon dort gegeben.

Hier jedoch wollen wir ihn nochmals, und zwar ganz in der Zeichen-
sprache geben, um daran eine (wichtige) Bemerkung zu knüpfen. Jenes
kann geschehen mittelst des Ansatzes:
(A B) (C D) (B D = 0) (A C B D) (B D = 0) (A C 0) (A C = 0)
gemäss den Theoremen 17x) nebst 15x, 2) und 5+) -- q. e.d.

Auffallen muss es, dass beim Übergang über das erste freie Sub-
sumtionszeichen hier zwei Theoreme auf einmal angewendet wurden:
Nach Th. 17x), welches auch für Gebiete gilt, und darum keinen
Strich übergesetzt bekommen soll, obwol A, B, C, D hier zufällig
Aussagen (unspezifizirte) bedeuten, schlossen wir einerseits, dass
(A B) (C D) (A B C D)
sei. Diesen Schluss verknüpften wir aber obendrein beiderseits mit
dem nämlichen Faktor (B D = 0), wofür wir die Berechtigung aus
Th. 15x) schöpfen, das als ein für spezifizirte Aussagen in Anspruch
genommenes hier jedenfalls mit überstrichener Chiffre zu citiren war.

Solch gelegentliches Miteingreifen des Th. 15x) -- und gerade nur

Einundzwanzigste Vorlesung.
wonach nun die vollzogene Unterdrückung der Faktorengruppe (x y = 0) ‥
bei der Konklusion sich als belanglos zu erkennen gibt, weil sie als
blosse Wiederholung der vorausgesetzten (a b = 0) ‥ wegen der Gleich-
heit der correspondirenden Symbole beider Reihen erscheinen würde.

Man kann darnach sowol ϰ) als λ) als den vollen Ausdruck des
Hauber’schen Satzes gelten lassen, obwol sich beide Formeln zufolge
Wegfalles jenes Faktorensystems etwas einfacher als ϑ) darstellen.

Schliesslich kann man dem Theorem auch die hinsichtlich der
beiden Symbolreihen a, b, ‥ und x, y, … symmetrische Gestaltung
geben:
μ (a b = 0) ‥ (x y = 0) ‥ (x + y ‥ = a + b ‥) ⊆
⊆ {(x ⊆ a) (y ⊆ b) ‥ = (a ⊆ x) (b ⊆ y) ‥}
welche wol der Hauber’schen Fassung am nächsten kommt. —

4. Studie. Wichtige Erwägungen von allgemeiner Natur wollen
wir anknüpfen an die Aufgabe (De Morgan 2 p. 123): Aus A folgt B
und aus C folgt D; aber B und D sind unverträglich miteinander.

Zu beweisen, dass auch A und C inkonsistent sind. In Formeln,
dass: (A ⊆ B) (C ⊆ D) (B D = 0) ⊆ (A C = 0).
Man sieht, dass der Satz mit α) unsres Hülfssatzes unter 2. zusammen-
fällt, nur für Aussagen anstatt für Gebiete gedeutet. Ein Beweis ist
demnach schon dort gegeben.

Hier jedoch wollen wir ihn nochmals, und zwar ganz in der Zeichen-
sprache geben, um daran eine (wichtige) Bemerkung zu knüpfen. Jenes
kann geschehen mittelst des Ansatzes:
(A ⊆ B) (C ⊆ D) (B D = 0) ⊆ (A C ⊆ B D) (B D = 0) ⊆ (A C ⊆ 0) ⊆ (A C = 0)
gemäss den Theoremen 17×) nebst 1̅5̅×, 2) und 5+) — q. e.d.

Auffallen muss es, dass beim Übergang über das erste freie Sub-
sumtionszeichen hier zwei Theoreme auf einmal angewendet wurden:
Nach Th. 17×), welches auch für Gebiete gilt, und darum keinen
Strich übergesetzt bekommen soll, obwol A, B, C, D hier zufällig
Aussagen (unspezifizirte) bedeuten, schlossen wir einerseits, dass
(A ⊆ B) (C ⊆ D) ⊆ (A B ⊆ C D)
sei. Diesen Schluss verknüpften wir aber obendrein beiderseits mit
dem nämlichen Faktor (B D = 0), wofür wir die Berechtigung aus
Th. 1̅5̅×) schöpfen, das als ein für spezifizirte Aussagen in Anspruch
genommenes hier jedenfalls mit überstrichener Chiffre zu citiren war.

Solch gelegentliches Miteingreifen des Th. 1̅5̅×) — und gerade nur

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[288/0312] Einundzwanzigste Vorlesung. wonach nun die vollzogene Unterdrückung der Faktorengruppe (x y = 0) ‥ bei der Konklusion sich als belanglos zu erkennen gibt, weil sie als blosse Wiederholung der vorausgesetzten (a b = 0) ‥ wegen der Gleich- heit der correspondirenden Symbole beider Reihen erscheinen würde. Man kann darnach sowol ϰ) als λ) als den vollen Ausdruck des Hauber’schen Satzes gelten lassen, obwol sich beide Formeln zufolge Wegfalles jenes Faktorensystems etwas einfacher als ϑ) darstellen. Schliesslich kann man dem Theorem auch die hinsichtlich der beiden Symbolreihen a, b, ‥ und x, y, … symmetrische Gestaltung geben: μ (a b = 0) ‥ (x y = 0) ‥ (x + y ‥ = a + b ‥)   {(x  a) (y  b) ‥ = (a  x) (b  y) ‥} welche wol der Hauber’schen Fassung am nächsten kommt. — 4. Studie. Wichtige Erwägungen von allgemeiner Natur wollen wir anknüpfen an die Aufgabe (De Morgan 2 p. 123): Aus A folgt B und aus C folgt D; aber B und D sind unverträglich miteinander. Zu beweisen, dass auch A und C inkonsistent sind. In Formeln, dass: (A  B) (C  D) (B D = 0)  (A C = 0). Man sieht, dass der Satz mit α) unsres Hülfssatzes unter 2. zusammen- fällt, nur für Aussagen anstatt für Gebiete gedeutet. Ein Beweis ist demnach schon dort gegeben. Hier jedoch wollen wir ihn nochmals, und zwar ganz in der Zeichen- sprache geben, um daran eine (wichtige) Bemerkung zu knüpfen. Jenes kann geschehen mittelst des Ansatzes: (A  B) (C  D) (B D = 0)  (A C  B D) (B D = 0)  (A C  0)  (A C = 0) gemäss den Theoremen 17×) nebst 1̅5̅×, 2) und 5+) — q. e.d. Auffallen muss es, dass beim Übergang über das erste freie Sub- sumtionszeichen hier zwei Theoreme auf einmal angewendet wurden: Nach Th. 17×), welches auch für Gebiete gilt, und darum keinen Strich übergesetzt bekommen soll, obwol A, B, C, D hier zufällig Aussagen (unspezifizirte) bedeuten, schlossen wir einerseits, dass (A  B) (C  D)  (A B  C D) sei. Diesen Schluss verknüpften wir aber obendrein beiderseits mit dem nämlichen Faktor (B D = 0), wofür wir die Berechtigung aus Th. 1̅5̅×) schöpfen, das als ein für spezifizirte Aussagen in Anspruch genommenes hier jedenfalls mit überstrichener Chiffre zu citiren war. Solch gelegentliches Miteingreifen des Th. 1̅5̅×) — und gerade nur

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 288. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/312>, abgerufen am 23.11.2024.