Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Einundzwanzigste Vorlesung.

Anmerkung 1.

In den Theoremen r) oder s) darf, wie leicht zu sehen, die
Gleichung
p q = c resp. p + q = c
auch durch die Subsumtion
p q c resp. c p + q,
desgleichen in denen t) durch
c p q resp. p + q c
ersetzt werden.

Bei den Umkehrungen (oder zweiten Teilen der Beweise) ist nur zu
beachten, dass (p q = c) (p q c) nach Def. (1) und Th. 6nx ist, etc.

Anmerkung 2.

Durch Kontraposition ergeben sich aus den vier Theoremen s)
und r) -- oder t) und Gegenstück -- noch vier entsprechende Formeln
welche auf Un-Subsumtionen bezüglich sind und Produkte P von
Summen [Binomen oder Trinomen je nachdem man r) oder s), etc.
konvertirt] aufweisen.

Die ersten beiden von diesen führt Peirce p. 37 an, doch über-
lassen wir ihren Ansatz dem Leser.

10. Aufgabe.

x zu eliminiren aus den beiden Unsubsumtionen:
a x b oder a b + x1
und
c d + x oder c x1 d.

Dass die nebeneinanderstehenden von diesen äquivalent sein müssen,
folgt durch Kontraposition gemäss Th. 32) aus Th. 41). Wir mögen
uns darum an die erste Form einer jeden halten.

Auflösung. Nun ist
(a x b) (c d + x) = (a x b)1 (c d + x)1 = (a b1 x = 0)1 (c d1 x1 = 0)1 =
= (a b1 x 0) (c d1 x1 0).
Um hieraus x zu eliminiren, haben wir das Schema e) des § 41 an-
zuwenden als den hier in Betracht kommenden und schon ausreichenden
Spezialfall des allgemeinen Eliminationstheorems t) daselbst.

Darnach ergibt sich als die Resultante:
(a b1 + 0 0) (0 + c d1 0), = (a b1 0) (c d1 0), =
= (a b) (c d).

Einundzwanzigste Vorlesung.

Anmerkung 1.

In den Theoremen ϱ) oder σ) darf, wie leicht zu sehen, die
Gleichung
p q = c resp. p + q = c
auch durch die Subsumtion
p q ⊆ c resp. c ⊆ p + q,
desgleichen in denen τ) durch
c ⊆ p q resp. p + q ⊆ c
ersetzt werden.

Bei den Umkehrungen (oder zweiten Teilen der Beweise) ist nur zu
beachten, dass (p q = c) ⊆ (p q ⊆ c) nach Def. (1) und Th. 6̄× ist, etc.

Anmerkung 2.

Durch Kontraposition ergeben sich aus den vier Theoremen σ)
und ϱ) — oder τ) und Gegenstück — noch vier entsprechende Formeln
welche auf Un-Subsumtionen bezüglich sind und Produkte Π von
Summen [Binomen oder Trinomen je nachdem man ϱ) oder σ), etc.
konvertirt] aufweisen.

Die ersten beiden von diesen führt Peirce p. 37 an, doch über-
lassen wir ihren Ansatz dem Leser.

10. Aufgabe.

x zu eliminiren aus den beiden Unsubsumtionen:
a x ⊆ b oder a ⊆ b + x1
und
c ⊆ d + x oder c x1 ⊆ d.

Dass die nebeneinanderstehenden von diesen äquivalent sein müssen,
folgt durch Kontraposition gemäss Th. 3̅2̅) aus Th. 41). Wir mögen
uns darum an die erste Form einer jeden halten.

Auflösung. Nun ist
(a x ⊆ b) (c ⊆ d + x) = (a x ⊆ b)1 (c ⊆ d + x)1 = (a b1 x = 0)1 (c d1 x1 = 0)1 =
= (a b1 x ≠ 0) (c d1 x1 ≠ 0).
Um hieraus x zu eliminiren, haben wir das Schema η) des § 41 an-
zuwenden als den hier in Betracht kommenden und schon ausreichenden
Spezialfall des allgemeinen Eliminationstheorems τ) daselbst.

Darnach ergibt sich als die Resultante:
(a b1 + 0 ≠ 0) (0 + c d1 ≠ 0), = (a b1 ≠ 0) (c d1 ≠ 0), =
= (a ⊆ b) (c ⊆ d).

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <pb facs="#f0324" n="300"/>
            <fw place="top" type="header">Einundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
            <p><hi rendition="#g">Anmerkung</hi> 1.</p><lb/>
            <p>In den Theoremen <hi rendition="#i">&#x03F1;</hi>) oder <hi rendition="#i">&#x03C3;</hi>) darf, wie leicht zu sehen, die<lb/>
Gleichung<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p q</hi> = <hi rendition="#i">c</hi> resp. <hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> = <hi rendition="#i">c</hi></hi><lb/>
auch durch die Subsumtion<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p q</hi><choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice><hi rendition="#i">c</hi> resp. <hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi>,</hi><lb/>
desgleichen in denen <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) durch<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">c</hi><choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice><hi rendition="#i">p q</hi> resp. <hi rendition="#i">p</hi> + <hi rendition="#i">q</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi></hi><lb/>
ersetzt werden.</p><lb/>
            <p>Bei den Umkehrungen (oder zweiten Teilen der Beweise) ist nur zu<lb/>
beachten, dass (<hi rendition="#i">p q</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">p q</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) nach Def. (1) und Th. 6&#x0304;<hi rendition="#sub">×</hi> ist, etc.</p><lb/>
            <p><hi rendition="#g">Anmerkung</hi> 2.</p><lb/>
            <p>Durch Kontraposition ergeben sich aus den vier Theoremen <hi rendition="#i">&#x03C3;</hi>)<lb/>
und <hi rendition="#i">&#x03F1;</hi>) &#x2014; oder <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) und Gegenstück &#x2014; noch vier entsprechende Formeln<lb/>
welche auf Un-Subsumtionen bezüglich sind und Produkte <hi rendition="#i">&#x03A0;</hi> von<lb/>
Summen [Binomen oder Trinomen je nachdem man <hi rendition="#i">&#x03F1;</hi>) oder <hi rendition="#i">&#x03C3;</hi>), etc.<lb/>
konvertirt] aufweisen.</p><lb/>
            <p>Die ersten beiden von diesen führt <hi rendition="#g">Peirce</hi> p. 37 an, doch über-<lb/>
lassen wir ihren Ansatz dem Leser.</p><lb/>
            <p>10. <hi rendition="#g">Aufgabe</hi>.</p><lb/>
            <p><hi rendition="#i">x</hi> zu eliminiren aus den beiden Unsubsumtionen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a x</hi><choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice><hi rendition="#i">b</hi> oder <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
und<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">c</hi><choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice><hi rendition="#i">d</hi> + <hi rendition="#i">x</hi> oder <hi rendition="#i">c x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">d</hi>.</hi></p><lb/>
            <p>Dass die nebeneinanderstehenden von diesen äquivalent sein müssen,<lb/>
folgt durch Kontraposition gemäss Th. 3&#x0305;2&#x0305;) aus Th. 41). Wir mögen<lb/>
uns darum an die erste Form einer jeden halten.</p><lb/>
            <p><hi rendition="#g">Auflösung</hi>. Nun ist<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a x</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">d</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">a x</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>)<hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">d</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>)<hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> = 0)<hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0)<hi rendition="#sub">1</hi> =<lb/>
= (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> &#x2260; 0) (<hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2260; 0).</hi><lb/>
Um hieraus <hi rendition="#i">x</hi> zu eliminiren, haben wir das Schema <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi>) des § 41 an-<lb/>
zuwenden als den hier in Betracht kommenden und schon ausreichenden<lb/>
Spezialfall des allgemeinen Eliminationstheorems <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) daselbst.</p><lb/>
            <p>Darnach ergibt sich als die Resultante:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + 0 &#x2260; 0) (0 + <hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2260; 0), = (<hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2260; 0) (<hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2260; 0), =<lb/>
= (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">d</hi>).</hi></p><lb/>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[300/0324] Einundzwanzigste Vorlesung. Anmerkung 1. In den Theoremen ϱ) oder σ) darf, wie leicht zu sehen, die Gleichung p q = c resp. p + q = c auch durch die Subsumtion p q c resp. c p + q, desgleichen in denen τ) durch c p q resp. p + q c ersetzt werden. Bei den Umkehrungen (oder zweiten Teilen der Beweise) ist nur zu beachten, dass (p q = c) (p q c) nach Def. (1) und Th. 6̄× ist, etc. Anmerkung 2. Durch Kontraposition ergeben sich aus den vier Theoremen σ) und ϱ) — oder τ) und Gegenstück — noch vier entsprechende Formeln welche auf Un-Subsumtionen bezüglich sind und Produkte Π von Summen [Binomen oder Trinomen je nachdem man ϱ) oder σ), etc. konvertirt] aufweisen. Die ersten beiden von diesen führt Peirce p. 37 an, doch über- lassen wir ihren Ansatz dem Leser. 10. Aufgabe. x zu eliminiren aus den beiden Unsubsumtionen: a x b oder a b + x1 und c d + x oder c x1 d. Dass die nebeneinanderstehenden von diesen äquivalent sein müssen, folgt durch Kontraposition gemäss Th. 3̅2̅) aus Th. 41). Wir mögen uns darum an die erste Form einer jeden halten. Auflösung. Nun ist (a x b) (c d + x) = (a x b)1 (c d + x)1 = (a b1 x = 0)1 (c d1 x1 = 0)1 = = (a b1 x ≠ 0) (c d1 x1 ≠ 0). Um hieraus x zu eliminiren, haben wir das Schema η) des § 41 an- zuwenden als den hier in Betracht kommenden und schon ausreichenden Spezialfall des allgemeinen Eliminationstheorems τ) daselbst. Darnach ergibt sich als die Resultante: (a b1 + 0 ≠ 0) (0 + c d1 ≠ 0), = (a b1 ≠ 0) (c d1 ≠ 0), = = (a b) (c d).

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/324
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 300. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/324>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.