Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.Zweiundzwanzigste Vorlesung. ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter-natives*) Urteil angesehen werden. Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer- Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich: Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. t) auch auf be- Untersuchen wir noch, ob auch die zu t) gebietsdulae Gleichung: *) Das "alternative" Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das "dis-
junktive" (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus- drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter- native einander gegenseitig ausschliessen, "disjunkt" seien. Zweiundzwanzigste Vorlesung. ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter-natives*) Urteil angesehen werden. Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer- Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich: Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. τ) auch auf be- Untersuchen wir noch, ob auch die zu τ) gebietsdulae Gleichung: *) Das „alternative“ Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis-
junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus- drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter- native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0354" n="330"/><fw place="top" type="header">Zweiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/><hi rendition="#i">ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives</hi> (<hi rendition="#i">resp. alter-<lb/> natives</hi><note place="foot" n="*)">Das <hi rendition="#i">„alternative“</hi> Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis-<lb/> junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus-<lb/> drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter-<lb/> native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien.</note> <hi rendition="#i">Urteil angesehen werden.</hi></p><lb/> <p>Der <hi rendition="#g">Beweis</hi> ergibt sich wie folgt. 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Von diesen muss die eine:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) + (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/> ohnehin gelten, unabhängig davon, ob <hi rendition="#i">i</hi> ein Individuum vorstellt<lb/> oder nicht.</p><lb/> <p>Auch für eine beliebige Klasse <hi rendition="#i">c</hi> haben wir nämlich:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) · i = (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/> und ebenso: <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/> woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto-<lb/> logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3̄<hi rendition="#sub">+</hi>) folgt:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) + (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>).</hi><lb/> Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) + (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/> oder:<lb/><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) + (<hi rendition="#i">i b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0)</hi><lb/> dargethan werden. 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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter-
natives *) Urteil angesehen werden.
Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer-
fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine:
(i  a) + (i  b)  (i  a + b)
ohnehin gelten, unabhängig davon, ob i ein Individuum vorstellt
oder nicht.
Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich:
(c  a) = (c  a) · i = (c  a) (a  a + b)  (c  a + b)
und ebenso: (c  b)  (c  a + b),
woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto-
logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3̄+) folgt:
(c  a) + (c  b)  (c  a + b).
Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:
(i  a + b)  (i  a) + (i  b),
oder:
(i a1 b1 = 0)  (i a1 = 0) + (i b1 = 0)
dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der
für x, y in Anspruch genommenen Subsumtion α''):
(x y = 0)  (i x = 0) + (i y = 0)
sobald man nur in dieser sich x = i a1, y = i b1 denkt, wobei ja auch
x y = i a1 b1 und i x = i i a1 = i a1, ebenso i y wieder = i b1 sein wird.
Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. τ) auch auf be-
liebig viele Terme auszudehnen:
(i  a + b + c + ‥) = (i  a) + (i  b) + (i  c) + ‥
oder
(i  [FORMEL] a) = [FORMEL] (i  a)
über welches Gebiet von Werten a sich auch immer die Summe beider-
seits erstrecken möge.
Untersuchen wir noch, ob auch die zu τ) gebietsdulae Gleichung:
?) (a b  i) = (a  i) + (b  i)
*) Das „alternative“ Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis-
junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus-
drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter-
native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 330. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/354>, abgerufen am 26.06.2024. |