Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Bild:
<< vorherige Seite

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter-
natives
*) Urteil angesehen werden.

Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer-
fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine:
(i a) + (i b) (i a + b)
ohnehin gelten, unabhängig davon, ob i ein Individuum vorstellt
oder nicht.

Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich:
(c a) = (c a) · i = (c a) (a a + b) (c a + b)
und ebenso: (c b) (c a + b),
woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto-
logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3n+) folgt:
(c a) + (c b) (c a + b).
Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:
(i a + b) (i a) + (i b),
oder:
(i a1 b1 = 0) (i a1 = 0) + (i b1 = 0)
dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der
für x, y in Anspruch genommenen Subsumtion a''):
(x y = 0) (i x = 0) + (i y = 0)
sobald man nur in dieser sich x = i a1, y = i b1 denkt, wobei ja auch
x y = i a1 b1 und i x = i i a1 = i a1, ebenso i y wieder = i b1 sein wird.

Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. t) auch auf be-
liebig viele Terme auszudehnen:
(i a + b + c + ..) = (i a) + (i b) + (i c) + ..
oder
(i [Formel 1] a) = [Formel 2] (i a)
über welches Gebiet von Werten a sich auch immer die Summe beider-
seits erstrecken möge.

Untersuchen wir noch, ob auch die zu t) gebietsdulae Gleichung:
?) (a b i) = (a i) + (b i)

*) Das "alternative" Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das "dis-
junktive" (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus-
drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter-
native einander gegenseitig ausschliessen, "disjunkt" seien.

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter-
natives
*) Urteil angesehen werden.

Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer-
fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine:
(i a) + (i b) (i a + b)
ohnehin gelten, unabhängig davon, ob i ein Individuum vorstellt
oder nicht.

Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich:
(c a) = (c a) · i = (c a) (a a + b) (c a + b)
und ebenso: (c b) (c a + b),
woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto-
logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3̄+) folgt:
(c a) + (c b) (c a + b).
Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:
(i a + b) (i a) + (i b),
oder:
(i a1 b1 = 0) (i a1 = 0) + (i b1 = 0)
dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der
für x, y in Anspruch genommenen Subsumtion α''):
(x y = 0) (i x = 0) + (i y = 0)
sobald man nur in dieser sich x = i a1, y = i b1 denkt, wobei ja auch
x y = i a1 b1 und i x = i i a1 = i a1, ebenso i y wieder = i b1 sein wird.

Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. τ) auch auf be-
liebig viele Terme auszudehnen:
(i a + b + c + ‥) = (i a) + (i b) + (i c) + ‥
oder
(i [Formel 1] a) = [Formel 2] (i a)
über welches Gebiet von Werten a sich auch immer die Summe beider-
seits erstrecken möge.

Untersuchen wir noch, ob auch die zu τ) gebietsdulae Gleichung:
?) (a b i) = (a i) + (b i)

*) Das „alternative“ Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis-
junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus-
drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter-
native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0354" n="330"/><fw place="top" type="header">Zweiundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/><hi rendition="#i">ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives</hi> (<hi rendition="#i">resp. alter-<lb/>
natives</hi><note place="foot" n="*)">Das <hi rendition="#i">&#x201E;alternative&#x201C;</hi> Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das &#x201E;dis-<lb/>
junktive&#x201C; (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus-<lb/>
drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter-<lb/>
native einander gegenseitig ausschliessen, &#x201E;disjunkt&#x201C; seien.</note> <hi rendition="#i">Urteil angesehen werden.</hi></p><lb/>
            <p>Der <hi rendition="#g">Beweis</hi> ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer-<lb/>
fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) + (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/>
ohnehin gelten, unabhängig davon, ob <hi rendition="#i">i</hi> ein Individuum vorstellt<lb/>
oder nicht.</p><lb/>
            <p>Auch für eine beliebige Klasse <hi rendition="#i">c</hi> haben wir nämlich:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) · i = (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/>
und ebenso: <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/>
woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto-<lb/>
logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3&#x0304;<hi rendition="#sub">+</hi>) folgt:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) + (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>).</hi><lb/>
Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) + (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/>
oder:<lb/><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0) + (<hi rendition="#i">i b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0)</hi><lb/>
dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der<lb/>
für <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> in Anspruch genommenen Subsumtion <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>''):<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">x y</hi> = 0) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">i x</hi> = 0) + (<hi rendition="#i">i y</hi> = 0)</hi><lb/>
sobald man nur in dieser sich <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">i b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> denkt, wobei ja auch<lb/><hi rendition="#i">x y</hi> = <hi rendition="#i">i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">i x</hi> = <hi rendition="#i">i i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">i a</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, ebenso <hi rendition="#i">i y</hi> wieder = <hi rendition="#i">i b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> sein wird.</p><lb/>
            <p>Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) auch auf be-<lb/>
liebig viele Terme auszudehnen:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> + &#x2025;) = (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) + (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) + (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) + &#x2025;</hi><lb/>
oder<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <formula/> <hi rendition="#i">a</hi>) = <formula/> (<hi rendition="#i">i</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>)</hi><lb/>
über welches Gebiet von Werten <hi rendition="#i">a</hi> sich auch immer die Summe beider-<lb/>
seits erstrecken möge.</p><lb/>
            <p>Untersuchen wir noch, ob auch die zu <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) gebietsdulae Gleichung:<lb/>
?) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">i</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">i</hi>) + (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">i</hi>)</hi><lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[330/0354] Zweiundzwanzigste Vorlesung. ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter- natives *) Urteil angesehen werden. Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer- fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine: (i  a) + (i  b)  (i  a + b) ohnehin gelten, unabhängig davon, ob i ein Individuum vorstellt oder nicht. Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich: (c  a) = (c  a) · i = (c  a) (a  a + b)  (c  a + b) und ebenso: (c  b)  (c  a + b), woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto- logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3̄+) folgt: (c  a) + (c  b)  (c  a + b). Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion: (i  a + b)  (i  a) + (i  b), oder: (i a1 b1 = 0)  (i a1 = 0) + (i b1 = 0) dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der für x, y in Anspruch genommenen Subsumtion α''): (x y = 0)  (i x = 0) + (i y = 0) sobald man nur in dieser sich x = i a1, y = i b1 denkt, wobei ja auch x y = i a1 b1 und i x = i i a1 = i a1, ebenso i y wieder = i b1 sein wird. Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. τ) auch auf be- liebig viele Terme auszudehnen: (i  a + b + c + ‥) = (i  a) + (i  b) + (i  c) + ‥ oder (i  [FORMEL] a) = [FORMEL] (i  a) über welches Gebiet von Werten a sich auch immer die Summe beider- seits erstrecken möge. Untersuchen wir noch, ob auch die zu τ) gebietsdulae Gleichung: ?) (a b  i) = (a  i) + (b  i) *) Das „alternative“ Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis- junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus- drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter- native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/354
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 330. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/354>, abgerufen am 18.06.2024.