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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter-
natives*) Urteil angesehen werden.

Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer-
fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine:
(i a) + (i b) (i a + b)
ohnehin gelten, unabhängig davon, ob i ein Individuum vorstellt
oder nicht.

Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich:
(c a) = (c a) · i = (c a) (a a + b) (c a + b)
und ebenso: (c b) (c a + b),
woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto-
logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3n+) folgt:
(c a) + (c b) (c a + b).
Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:
(i a + b) (i a) + (i b),
oder:
(i a1 b1 = 0) (i a1 = 0) + (i b1 = 0)
dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der
für x, y in Anspruch genommenen Subsumtion a''):
(x y = 0) (i x = 0) + (i y = 0)
sobald man nur in dieser sich x = i a1, y = i b1 denkt, wobei ja auch
x y = i a1 b1 und i x = i i a1 = i a1, ebenso i y wieder = i b1 sein wird.

Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. t) auch auf be-
liebig viele Terme auszudehnen:
(i a + b + c + ..) = (i a) + (i b) + (i c) + ..
oder
(i [Formel 1] a) = [Formel 2] (i a)
über welches Gebiet von Werten a sich auch immer die Summe beider-
seits erstrecken möge.

Untersuchen wir noch, ob auch die zu t) gebietsdulae Gleichung:
?) (a b i) = (a i) + (b i)

*) Das "alternative" Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das "dis-
junktive" (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus-
drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter-
native einander gegenseitig ausschliessen, "disjunkt" seien.

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter-
natives*) Urteil angesehen werden.

Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer-
fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine:
(i ⊆ a) + (i ⊆ b) ⊆ (i ⊆ a + b)
ohnehin gelten, unabhängig davon, ob i ein Individuum vorstellt
oder nicht.

Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich:
(c ⊆ a) = (c ⊆ a) · i = (c ⊆ a) (a ⊆ a + b) ⊆ (c ⊆ a + b)
und ebenso: (c ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a + b),
woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto-
logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3̄+) folgt:
(c ⊆ a) + (c ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a + b).
Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:
(i ⊆ a + b) ⊆ (i ⊆ a) + (i ⊆ b),
oder:
(i a1 b1 = 0) ⊆ (i a1 = 0) + (i b1 = 0)
dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der
für x, y in Anspruch genommenen Subsumtion α''):
(x y = 0) ⊆ (i x = 0) + (i y = 0)
sobald man nur in dieser sich x = i a1, y = i b1 denkt, wobei ja auch
x y = i a1 b1 und i x = i i a1 = i a1, ebenso i y wieder = i b1 sein wird.

Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. τ) auch auf be-
liebig viele Terme auszudehnen:
(i ⊆ a + b + c + ‥) = (i ⊆ a) + (i ⊆ b) + (i ⊆ c) + ‥
oder
(i ⊆ [Formel 1] a) = [Formel 2] (i ⊆ a)
über welches Gebiet von Werten a sich auch immer die Summe beider-
seits erstrecken möge.

Untersuchen wir noch, ob auch die zu τ) gebietsdulae Gleichung:
?) (a b ⊆ i) = (a ⊆ i) + (b ⊆ i)

*) Das „alternative“ Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis-
junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus-
drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter-
native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien.
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[330/0354] Zweiundzwanzigste Vorlesung. ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives (resp. alter- natives *) Urteil angesehen werden. Der Beweis ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer- fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine: (i  a) + (i  b)  (i  a + b) ohnehin gelten, unabhängig davon, ob i ein Individuum vorstellt oder nicht. Auch für eine beliebige Klasse c haben wir nämlich: (c  a) = (c  a) · i = (c  a) (a  a + b)  (c  a + b) und ebenso: (c  b)  (c  a + b), woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto- logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3̄+) folgt: (c  a) + (c  b)  (c  a + b). Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion: (i  a + b)  (i  a) + (i  b), oder: (i a1 b1 = 0)  (i a1 = 0) + (i b1 = 0) dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der für x, y in Anspruch genommenen Subsumtion α''): (x y = 0)  (i x = 0) + (i y = 0) sobald man nur in dieser sich x = i a1, y = i b1 denkt, wobei ja auch x y = i a1 b1 und i x = i i a1 = i a1, ebenso i y wieder = i b1 sein wird. Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th. τ) auch auf be- liebig viele Terme auszudehnen: (i  a + b + c + ‥) = (i  a) + (i  b) + (i  c) + ‥ oder (i  [FORMEL] a) = [FORMEL] (i  a) über welches Gebiet von Werten a sich auch immer die Summe beider- seits erstrecken möge. Untersuchen wir noch, ob auch die zu τ) gebietsdulae Gleichung: ?) (a b  i) = (a  i) + (b  i) *) Das „alternative“ Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis- junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus- drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter- native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 330. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/354>, abgerufen am 23.11.2024.