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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob -- vergl. § 45,
ax) -- a, b, i drei Aussagen wären.

Da
(a c) = (a b a) (a c) (a b c)
und ebenso

(b c) (a b c)
ist, so muss nach Def. (3n+) ohnehin sein:
(a c) + (b c) (a b c)
und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge-
wesne Klasse c = i eine singuläre sein sollte.

Für letztre lässt es sich auch so beweisen. Wir haben -- vergl.
§ 35, S. 109:
(a b) = (a b) + (a = b), und nach s) (a i) = (a = 0),
sonach gilt der Satz:
u) (a i) = (a = 0) + (a = i).
Desgleichen ist
(b i) = (b = 0) + (b = i)
und
(a b i) = (a b = 0) + (a b = i).
Die zu beweisende Relation (a i) + (b i) (a b i) läuft also hinaus auf:
(a = 0) + (b = 0) + (a = i) + (b = i) (a b = 0) + (a b = i).
Nun ist schon bekanntermassen:
(a = 0) (a b = 0) sowie (b = 0) (a b = 0).
Ferner haben wir:
(a = i) = (a = i) {(a b = 0) + (a b 0)} (a b = 0) + (a = i) (a b 0);
aber:
(a = i) (a b 0) (i b 0) = (i b = i) = (a b = i),
sonach:
(a = i) (a b = 0) + (a b = i), ebenso (b = i) (a b = 0) + (a b = i)
und durch überschiebendes Addiren der vier (Subsumtionen-)Ansätze ge-
winnen wir die behauptete Subsumtion.

Es wäre nun also noch die umgekehrte Subsumtion:
(a b i) (a i) + (b i)
zu prüfen.

Dass diese aber nicht zu gelten braucht, zeigt ein Beispiel. Nehmen wir
a = i + c = i + c i1 und b = i + d = i + d i1, wo c d = 0
ist, an, so ist a b = i, also die Prämisse links erfüllt; dagegen ist weder

§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob — vergl. § 45,
α×) — a, b, i drei Aussagen wären.

Da
(a ⊆ c) = (a b ⊆ a) (a ⊆ c) ⊆ (a b ⊆ c)
und ebenso

(b ⊆ c)⊆ (a b ⊆ c)
ist, so muss nach Def. (3̄+) ohnehin sein:
(a ⊆ c) + (b ⊆ c) ⊆ (a b ⊆ c)
und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge-
wesne Klasse c = i eine singuläre sein sollte.

Für letztre lässt es sich auch so beweisen. Wir haben — vergl.
§ 35, S. 109:
(a ⊆ b) = (a ⊂ b) + (a = b), und nach σ) (a ⊂ i) = (a = 0),
sonach gilt der Satz:
υ) (a ⊆ i) = (a = 0) + (a = i).
Desgleichen ist
(b ⊆ i) = (b = 0) + (b = i)
und
(a b ⊆ i) = (a b = 0) + (a b = i).
Die zu beweisende Relation (a ⊆ i) + (b ⊆ i) ⊆ (a b ⊆ i) läuft also hinaus auf:
(a = 0) + (b = 0) + (a = i) + (b = i) ⊆ (a b = 0) + (a b = i).
Nun ist schon bekanntermassen:
(a = 0) ⊆ (a b = 0) sowie (b = 0) ⊆ (a b = 0).
Ferner haben wir:
(a = i) = (a = i) {(a b = 0) + (a b ≠ 0)} ⊆ (a b = 0) + (a = i) (a b ≠ 0);
aber:
(a = i) (a b ≠ 0) ⊆ (i b ≠ 0) = (i b = i) = (a b = i),
sonach:
(a = i) ⊆ (a b = 0) + (a b = i), ebenso (b = i) ⊆ (a b = 0) + (a b = i)
und durch überschiebendes Addiren der vier (Subsumtionen-)Ansätze ge-
winnen wir die behauptete Subsumtion.

Es wäre nun also noch die umgekehrte Subsumtion:
(a b ⊆ i) ⊆ (a ⊆ i) + (b ⊆ i)
zu prüfen.

Dass diese aber nicht zu gelten braucht, zeigt ein Beispiel. Nehmen wir
a = i + c = i + c i1 und b = i + d = i + d i1, wo c d = 0
ist, an, so ist a b = i, also die Prämisse links erfüllt; dagegen ist weder

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[331/0355] § 47. Auf Individuen bezügliche Sätze. für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob — vergl. § 45, α×) — a, b, i drei Aussagen wären. Da (a  c) = (a b  a) (a  c)  (a b  c) und ebenso (b  c)  (a b  c) ist, so muss nach Def. (3̄+) ohnehin sein: (a  c) + (b  c)  (a b  c) und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge- wesne Klasse c = i eine singuläre sein sollte. Für letztre lässt es sich auch so beweisen. Wir haben — vergl. § 35, S. 109: (a  b) = (a ⊂ b) + (a = b), und nach σ) (a ⊂ i) = (a = 0), sonach gilt der Satz: υ) (a  i) = (a = 0) + (a = i). Desgleichen ist (b  i) = (b = 0) + (b = i) und (a b  i) = (a b = 0) + (a b = i). Die zu beweisende Relation (a  i) + (b  i)  (a b  i) läuft also hinaus auf: (a = 0) + (b = 0) + (a = i) + (b = i)  (a b = 0) + (a b = i). Nun ist schon bekanntermassen: (a = 0)  (a b = 0) sowie (b = 0)  (a b = 0). Ferner haben wir: (a = i) = (a = i) {(a b = 0) + (a b ≠ 0)}  (a b = 0) + (a = i) (a b ≠ 0); aber: (a = i) (a b ≠ 0)  (i b ≠ 0) = (i b = i) = (a b = i), sonach: (a = i)  (a b = 0) + (a b = i), ebenso (b = i)  (a b = 0) + (a b = i) und durch überschiebendes Addiren der vier (Subsumtionen-)Ansätze ge- winnen wir die behauptete Subsumtion. Es wäre nun also noch die umgekehrte Subsumtion: (a b  i)  (a  i) + (b  i) zu prüfen. Dass diese aber nicht zu gelten braucht, zeigt ein Beispiel. Nehmen wir a = i + c = i + c i1 und b = i + d = i + d i1, wo c d = 0 ist, an, so ist a b = i, also die Prämisse links erfüllt; dagegen ist weder

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 331. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/355>, abgerufen am 24.11.2024.