Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze. für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob -- vergl. § 45,ax) -- a, b, i drei Aussagen wären. Da
(a c) + (b c) (a b c) und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge- wesne Klasse c = i eine singuläre sein sollte. Für letztre lässt es sich auch so beweisen. Wir haben -- vergl. Es wäre nun also noch die umgekehrte Subsumtion: Dass diese aber nicht zu gelten braucht, zeigt ein Beispiel. Nehmen wir § 47. Auf Individuen bezügliche Sätze. für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob — vergl. § 45,α×) — a, b, i drei Aussagen wären. Da
(a ⊆ c) + (b ⊆ c) ⊆ (a b ⊆ c) und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge- wesne Klasse c = i eine singuläre sein sollte. Für letztre lässt es sich auch so beweisen. Wir haben — vergl. Es wäre nun also noch die umgekehrte Subsumtion: Dass diese aber nicht zu gelten braucht, zeigt ein Beispiel. Nehmen wir <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0355" n="331"/><fw place="top" type="header">§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.</fw><lb/> für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob — vergl. § 45,<lb/><hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">×</hi>) — <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">i</hi> drei Aussagen wären.</p><lb/> <p>Da<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) = (<hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>)</hi><lb/> und ebenso<lb/><table><row><cell>(<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>)</cell><cell><choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>)</cell></row><lb/></table> ist, so muss nach Def. (3̄<hi rendition="#sub">+</hi>) ohnehin sein:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) + (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>)</hi><lb/> und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge-<lb/> wesne Klasse <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> eine singuläre sein sollte.</p><lb/> <p>Für letztre lässt es sich auch so beweisen. 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§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob — vergl. § 45,
α×) — a, b, i drei Aussagen wären.
Da
(a  c) = (a b  a) (a  c)  (a b  c)
und ebenso
(b  c)  (a b  c)
ist, so muss nach Def. (3̄+) ohnehin sein:
(a  c) + (b  c)  (a b  c)
und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge-
wesne Klasse c = i eine singuläre sein sollte.
Für letztre lässt es sich auch so beweisen. Wir haben — vergl.
§ 35, S. 109:
(a  b) = (a ⊂ b) + (a = b), und nach σ) (a ⊂ i) = (a = 0),
sonach gilt der Satz:
υ) (a  i) = (a = 0) + (a = i).
Desgleichen ist
(b  i) = (b = 0) + (b = i)
und
(a b  i) = (a b = 0) + (a b = i).
Die zu beweisende Relation (a  i) + (b  i)  (a b  i) läuft also hinaus auf:
(a = 0) + (b = 0) + (a = i) + (b = i)  (a b = 0) + (a b = i).
Nun ist schon bekanntermassen:
(a = 0)  (a b = 0) sowie (b = 0)  (a b = 0).
Ferner haben wir:
(a = i) = (a = i) {(a b = 0) + (a b ≠ 0)}  (a b = 0) + (a = i) (a b ≠ 0);
aber:
(a = i) (a b ≠ 0)  (i b ≠ 0) = (i b = i) = (a b = i),
sonach:
(a = i)  (a b = 0) + (a b = i), ebenso (b = i)  (a b = 0) + (a b = i)
und durch überschiebendes Addiren der vier (Subsumtionen-)Ansätze ge-
winnen wir die behauptete Subsumtion.
Es wäre nun also noch die umgekehrte Subsumtion:
(a b  i)  (a  i) + (b  i)
zu prüfen.
Dass diese aber nicht zu gelten braucht, zeigt ein Beispiel. Nehmen wir
a = i + c = i + c i1 und b = i + d = i + d i1, wo c d = 0
ist, an, so ist a b = i, also die Prämisse links erfüllt; dagegen ist weder
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 331. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/355>, abgerufen am 26.06.2024. |