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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 47. Duales Gegenstück zum Individuum.
in welcher sie die Mission erfüllt, anstatt das Individuum selbst nun-
mehr die Individuumsnegation direkt zu definiren, sintemal in ihr gar
nicht mehr von i, sondern blos noch von i1 die Rede ist, mit dem
Begriff des Individuums zugleich aber derjenige seiner Negation be-
stimmt oder gegeben sein musste.

Stellen wir noch in (l') die beiden Glieder der unter dem Zeichen
P stehenden Summe gemäss dem Kommutationsgesetze 12+) der Addi-
tion um, so zeigt die Vergleichung dieser Definition von i1 mit der-
jenigen (l`) von i`, dass die beiden Definitionen bis auf den Namen
des zu Definirenden vollkommen, sozusagen Wort für Wort, überein-
stimmen, weshalb der von beiden definirte Begriff denn auch derselbe
sein muss; ein i` welches die erste Def. erfüllt, wird, wenn mit i1 be-
zeichnet, auch die zweite erfüllen, und umgekehrt -- q. e. d. --

Auch wenn wir uns jedoch jener Gliederumstellung enthalten, lässt
sich dasselbe Resultat gewinnen, obzwar auf einem Umwege. Dieser bietet
indessen einige lehrreiche Momente dar:

Ohne die Berücksichtigung des Th. 12+) geht aus der Vergleichung
des allgemeinen Faktors in (l') mit dem von (l`) hervor, dass -- auch
abgesehn von dem einmal accentuirten, einmal mit Suffix versehenen i --
die beiden noch nicht übereinstimmen, sondern dass in ihnen x und x1
obendrein noch ausgetauscht erscheinen.

Nach § 30 war indessen bei einem mittelst des Zeichens P in Ab-
kürzung zusammengefassten Produkte die Bezeichnung der Produktations-
variabeln gleichgültig. Folglich können wir (um ganz penibel zuwerke zu
gehen) in (l') rechts auch y für x schreiben, wodurch entsteht:
(i 0) [Formel 1] {(y1 i1) + (y i1)} = i
und hierin mögen wir nach demselben Prinzip auch x1 für y schreiben,
wodurch wir als Def. von i1 erhalten:
(i 0) [Formel 2] {(x i1) + (x1 i1)} = i.

Es war m. a. W. nach genanntem Prinzip gestattet, in (l') auch x
mit x1 zu vertauschen.

Die letzte Fassung stimmt nun mit der obigen (l`) auch im allge-
meinen Faktor überein, unterscheidet sich aber dadurch noch von ihr, dass
hier [Formel 3] , dort [Formel 4] vor besagten Faktor gesetzt erscheint.

Solcher Umstand aber muss überall da gleichgültig sein, wo wir --
wie hier -- mit einem "absoluten" Produkte zu thun haben, d. h. mit
einem solchen, welches über alle erdenklichen Werte der Produktations-
variabeln (aus der Mn. 1) sich zu erstrecken hat:

Wir haben, mag F (x, x1) eine "Gebietsfunktion" von x, oder mag es,
noch allgemeiner, eine "Aussagenfunktion" vorstellen, offenbar:

§ 47. Duales Gegenstück zum Individuum.
in welcher sie die Mission erfüllt, anstatt das Individuum selbst nun-
mehr die Individuumsnegation direkt zu definiren, sintemal in ihr gar
nicht mehr von i, sondern blos noch von i1 die Rede ist, mit dem
Begriff des Individuums zugleich aber derjenige seiner Negation be-
stimmt oder gegeben sein musste.

Stellen wir noch in (λ') die beiden Glieder der unter dem Zeichen
Π stehenden Summe gemäss dem Kommutationsgesetze 12+) der Addi-
tion um, so zeigt die Vergleichung dieser Definition von i1 mit der-
jenigen (λ`) von i`, dass die beiden Definitionen bis auf den Namen
des zu Definirenden vollkommen, sozusagen Wort für Wort, überein-
stimmen, weshalb der von beiden definirte Begriff denn auch derselbe
sein muss; ein i` welches die erste Def. erfüllt, wird, wenn mit i1 be-
zeichnet, auch die zweite erfüllen, und umgekehrt — q. e. d. —

Auch wenn wir uns jedoch jener Gliederumstellung enthalten, lässt
sich dasselbe Resultat gewinnen, obzwar auf einem Umwege. Dieser bietet
indessen einige lehrreiche Momente dar:

Ohne die Berücksichtigung des Th. 12+) geht aus der Vergleichung
des allgemeinen Faktors in (λ') mit dem von (λ`) hervor, dass — auch
abgesehn von dem einmal accentuirten, einmal mit Suffix versehenen i —
die beiden noch nicht übereinstimmen, sondern dass in ihnen x und x1
obendrein noch ausgetauscht erscheinen.

Nach § 30 war indessen bei einem mittelst des Zeichens Π in Ab-
kürzung zusammengefassten Produkte die Bezeichnung der Produktations-
variabeln gleichgültig. Folglich können wir (um ganz penibel zuwerke zu
gehen) in (λ') rechts auch y für x schreiben, wodurch entsteht:
(i ≠ 0) [Formel 1] {(y1 ⊆ i1) + (y ⊆ i1)} = i
und hierin mögen wir nach demselben Prinzip auch x1 für y schreiben,
wodurch wir als Def. von i1 erhalten:
(i ≠ 0) [Formel 2] {(x ⊆ i1) + (x1 ⊆ i1)} = i.

Es war m. a. W. nach genanntem Prinzip gestattet, in (λ') auch x
mit x1 zu vertauschen.

Die letzte Fassung stimmt nun mit der obigen (λ`) auch im allge-
meinen Faktor überein, unterscheidet sich aber dadurch noch von ihr, dass
hier [Formel 3] , dort [Formel 4] vor besagten Faktor gesetzt erscheint.

Solcher Umstand aber muss überall da gleichgültig sein, wo wir —
wie hier — mit einem „absoluten“ Produkte zu thun haben, d. h. mit
einem solchen, welches über alle erdenklichen Werte der Produktations-
variabeln (aus der Mn. 1) sich zu erstrecken hat:

Wir haben, mag F (x, x1) eine „Gebietsfunktion“ von x, oder mag es,
noch allgemeiner, eine „Aussagenfunktion“ vorstellen, offenbar:

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[333/0357] § 47. Duales Gegenstück zum Individuum. in welcher sie die Mission erfüllt, anstatt das Individuum selbst nun- mehr die Individuumsnegation direkt zu definiren, sintemal in ihr gar nicht mehr von i, sondern blos noch von i1 die Rede ist, mit dem Begriff des Individuums zugleich aber derjenige seiner Negation be- stimmt oder gegeben sein musste. Stellen wir noch in (λ') die beiden Glieder der unter dem Zeichen Π stehenden Summe gemäss dem Kommutationsgesetze 12+) der Addi- tion um, so zeigt die Vergleichung dieser Definition von i1 mit der- jenigen (λ`) von i`, dass die beiden Definitionen bis auf den Namen des zu Definirenden vollkommen, sozusagen Wort für Wort, überein- stimmen, weshalb der von beiden definirte Begriff denn auch derselbe sein muss; ein i` welches die erste Def. erfüllt, wird, wenn mit i1 be- zeichnet, auch die zweite erfüllen, und umgekehrt — q. e. d. — Auch wenn wir uns jedoch jener Gliederumstellung enthalten, lässt sich dasselbe Resultat gewinnen, obzwar auf einem Umwege. Dieser bietet indessen einige lehrreiche Momente dar: Ohne die Berücksichtigung des Th. 12+) geht aus der Vergleichung des allgemeinen Faktors in (λ') mit dem von (λ`) hervor, dass — auch abgesehn von dem einmal accentuirten, einmal mit Suffix versehenen i — die beiden noch nicht übereinstimmen, sondern dass in ihnen x und x1 obendrein noch ausgetauscht erscheinen. Nach § 30 war indessen bei einem mittelst des Zeichens Π in Ab- kürzung zusammengefassten Produkte die Bezeichnung der Produktations- variabeln gleichgültig. Folglich können wir (um ganz penibel zuwerke zu gehen) in (λ') rechts auch y für x schreiben, wodurch entsteht: (i ≠ 0) [FORMEL] {(y1  i1) + (y  i1)} = i und hierin mögen wir nach demselben Prinzip auch x1 für y schreiben, wodurch wir als Def. von i1 erhalten: (i ≠ 0) [FORMEL] {(x  i1) + (x1  i1)} = i. Es war m. a. W. nach genanntem Prinzip gestattet, in (λ') auch x mit x1 zu vertauschen. Die letzte Fassung stimmt nun mit der obigen (λ`) auch im allge- meinen Faktor überein, unterscheidet sich aber dadurch noch von ihr, dass hier [FORMEL], dort [FORMEL] vor besagten Faktor gesetzt erscheint. Solcher Umstand aber muss überall da gleichgültig sein, wo wir — wie hier — mit einem „absoluten“ Produkte zu thun haben, d. h. mit einem solchen, welches über alle erdenklichen Werte der Produktations- variabeln (aus der Mn. 1) sich zu erstrecken hat: Wir haben, mag F (x, x1) eine „Gebietsfunktion“ von x, oder mag es, noch allgemeiner, eine „Aussagenfunktion“ vorstellen, offenbar:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 333. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/357>, abgerufen am 24.11.2024.