Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Zur Erläuterung sei bemerkt: (gebietsdual) einander kontrapositiv ent-
sprechende Aussagen können als "der Art nach" einander schlechthin ge-
bietsduale hingestellt werden, sobald man die in sie eingehenden Buch-
stabensymbole als völlig allgemeine Klassensymbole deutet, und zwar bei
jeder von den beiden Aussagen für sich, ohne Rücksichtnahme auf die
andere, d. h. absehend von den Beziehungen, welche durch etwaige Über-
einstimmung der Namen festgelegt erscheinen zwischen den Elementen der
beiden Aussagen. So ist z. B. (b + c a) exakt das duale Gegenstück
zur Aussage (a b c); aber (b1 + c1 a1) ist es wenigstens der Form oder
Art nach, ist es ebenfalls unter dem Vorbehalte, dass man gleichwie a, b, c,
so auch a1, b1, c1 als schlechthin allgemeine, völlig unbestimmte oder will-
kürliche Gebietssymbole auffasst, unbekümmert darum, dass a1 gerade die
Negation von a uns darzustellen hatte, b1 die von b, etc.

Diese Aussage b1 + c1 a1 nun ist als das kontrapositive Gegenstück
äquivalent der Aussage a b c. Etc.

Stellt nun z. B. als Bedingung für die Zulässigkeit einer gewissen
Folgerung sich (die) heraus, dass eine Klasse a keine singuläre sein, kein
Individuum vorstellen dürfe, dass also [Formel 1] (a i) gelte, so ist von selbst
auch als Bedingung ebendafür hinstellbar, was der Art nach das duale
Gegenstück der vorigen ausmacht, dass [Formel 2] (a1 i1) gelte, d. h. dass die
Negation von a kein Simplum vorstelle. Denn diese Bedingung fällt als
kontrapositives Gegenstück mit jener zusammen und braucht die eine nicht
mehr ausgesprochen zu werden sofern die andre es wurde.

Oder -- um noch eines der häufigst vorkommenden Beispiele aus der
technischen Praxis unsres Kalkuls anzuführen -- involvirt eine Konklusion
etwa die Forderung dass zwei Klassen a und b1 nicht in ein und dasselbe
Individuum zusammenschrumpfen dürfen, gehört mithin zu unsern Folge-
rungen diese, dass [Formel 3] {(a = i) (b1 = i) = 0} gelten müsse, so wird hiezu
auch deren der Art nach duales, nämlich kontrapositives Gegenstück:
[Formel 4] {(a1 = i1) (b = i1) = 0}
als Folgerung gelten müssen -- die Produkte natürlich allemal nur aus-
gedehnt über alle diejenigen Klassen i, welche der Definition des Indivi-
duums genügen. Etc.

Macht also auch der durch den ganzen identischen Kalkul sich hin-
durchziehende "Gebietsdualismus" keineswegs halt vor der Definition
und Theorie des Individuums, so zeigen sich doch in der letzteren die
beiden einander dual zugeordneten Zweige stets in einen verwachsen
oder wenigstens der Art nach verschmolzen. Und so ist es denn als
eine erfreuliche Thatsache zu verzeichnen, dass wir uns mit den
Simplen überhaupt nicht herumzuschlagen brauchen, weshalb denn

Zur Erläuterung sei bemerkt: (gebietsdual) einander kontrapositiv ent-
sprechende Aussagen können als „der Art nach“ einander schlechthin ge-
bietsduale hingestellt werden, sobald man die in sie eingehenden Buch-
stabensymbole als völlig allgemeine Klassensymbole deutet, und zwar bei
jeder von den beiden Aussagen für sich, ohne Rücksichtnahme auf die
andere, d. h. absehend von den Beziehungen, welche durch etwaige Über-
einstimmung der Namen festgelegt erscheinen zwischen den Elementen der
beiden Aussagen. So ist z. B. (b + c ⊆ a) exakt das duale Gegenstück
zur Aussage (a ⊆ b c); aber (b1 + c1 ⊆ a1) ist es wenigstens der Form oder
Art nach, ist es ebenfalls unter dem Vorbehalte, dass man gleichwie a, b, c,
so auch a1, b1, c1 als schlechthin allgemeine, völlig unbestimmte oder will-
kürliche Gebietssymbole auffasst, unbekümmert darum, dass a1 gerade die
Negation von a uns darzustellen hatte, b1 die von b, etc.

Diese Aussage b1 + c1 ⊆ a1 nun ist als das kontrapositive Gegenstück
äquivalent der Aussage a ⊆ b c. Etc.

Stellt nun z. B. als Bedingung für die Zulässigkeit einer gewissen
Folgerung sich (die) heraus, dass eine Klasse a keine singuläre sein, kein
Individuum vorstellen dürfe, dass also [Formel 1] (a ≠ i) gelte, so ist von selbst
auch als Bedingung ebendafür hinstellbar, was der Art nach das duale
Gegenstück der vorigen ausmacht, dass [Formel 2] (a1 ≠ i1) gelte, d. h. dass die
Negation von a kein Simplum vorstelle. Denn diese Bedingung fällt als
kontrapositives Gegenstück mit jener zusammen und braucht die eine nicht
mehr ausgesprochen zu werden sofern die andre es wurde.

Oder — um noch eines der häufigst vorkommenden Beispiele aus der
technischen Praxis unsres Kalkuls anzuführen — involvirt eine Konklusion
etwa die Forderung dass zwei Klassen a und b1 nicht in ein und dasselbe
Individuum zusammenschrumpfen dürfen, gehört mithin zu unsern Folge-
rungen diese, dass [Formel 3] {(a = i) (b1 = i) = 0} gelten müsse, so wird hiezu
auch deren der Art nach duales, nämlich kontrapositives Gegenstück:
[Formel 4] {(a1 = i1) (b = i1) = 0}
als Folgerung gelten müssen — die Produkte natürlich allemal nur aus-
gedehnt über alle diejenigen Klassen i, welche der Definition des Indivi-
duums genügen. Etc.

Macht also auch der durch den ganzen identischen Kalkul sich hin-
durchziehende „Gebietsdualismus“ keineswegs halt vor der Definition
und Theorie des Individuums, so zeigen sich doch in der letzteren die
beiden einander dual zugeordneten Zweige stets in einen verwachsen
oder wenigstens der Art nach verschmolzen. Und so ist es denn als
eine erfreuliche Thatsache zu verzeichnen, dass wir uns mit den
Simplen überhaupt nicht herumzuschlagen brauchen, weshalb denn