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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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x 47. Einkleidung der Punktpostulate in die Symbolik.

Wir haben damit das eine der uns vorgesetzten Ziele erreicht,
sofern nämlich Summen dabei in Betracht kamen.

Um auch für die Produkte Analoges zu verwirklichen, müssen
wir die zu (a1) dual entsprechende Festsetzung treffen:
(e1) a + 0 = 0 + a = a, a + i = i + a = 1,
durch welche auch die Summe
a + A oder A + a
aus einer Klasse a und einer Aussage A als eine Klasse erklärt wird
für alle (erdenklichen) Fälle (der Gültigkeit sowol als Ungültigkeit
der Aussage).

Fügen wir darnach dem Faktor a eines Produktes eine (ihn be-
treffende) Aussage A1a als Summanden hinzu, so wird die letztere und
damit die genannte Summe den Wert Eins annehmen sobald die Vor-
aussetzung Aa von a nicht erfüllt ist; und somit bleibt in solchem
Falle der Faktor ohne allen Einfluss auf den Wert des Produktes,
fällt sozusagen aus diesem heraus. Dagegen wird der Faktor a un-
geändert bleiben, indem nur A1a, gleich null, zu ihm hinzutritt, er
wird mithin schlechtweg im Produkte vertreten sein, sobald die For-
derung Aa von dem a erfüllt ist; dergestalt, dass
z1 [Formel 1] {a + A1a
das Produkt vorstellt von allen denjenigen Klassen resp. Gebieten a,
welche die Bedingung Aa erfüllen und nur von diesen -- obzwar die
Variable a doch alle erdenklichen Gebiete der Mn. durchläuft.

Beispielsweise mag man sich überzeugen, dass, analog zu g1) gilt:
e1) [Formel 2] {b + (a b)} = a,
wobei der zweite Term aus (a b)1 entstanden ist.

Hiernach wird uns von den beiden Ausdrücken
th1) [Formel 3] {f (i) + J1i}, [Formel 4] {f (i) + J1i + (i a)1}
der erste vorstellen: das Produkt der Funktionswerte f (i) gebildet für
alle Punkte der Mn. 1, und der zweite: gebildet für alle Punkte des
Gebietes a selbst -- und ausschliesslich für diese. Wir haben damit
auch unser zweites Vorhaben verwirklicht.

Überhaupt dürfte klar geworden sein, wie sich unsre Schemata b1)
und z1) nochmals verallgemeinern lassen, indem man das Operations-
glied a durch f (a) in ihnen ersetzt. Es stellt:
i1) [Formel 5] f (a) Aa resp. [Formel 6] {f (a) + A1a}

× 47. Einkleidung der Punktpostulate in die Symbolik.

Wir haben damit das eine der uns vorgesetzten Ziele erreicht,
sofern nämlich Summen dabei in Betracht kamen.

Um auch für die Produkte Analoges zu verwirklichen, müssen
wir die zu (α1) dual entsprechende Festsetzung treffen:
(ε1) a + 0̇ = 0̇ + a = a, a + i = i + a = 1,
durch welche auch die Summe
a + A oder A + a
aus einer Klasse a und einer Aussage A als eine Klasse erklärt wird
für alle (erdenklichen) Fälle (der Gültigkeit sowol als Ungültigkeit
der Aussage).

Fügen wir darnach dem Faktor a eines Produktes eine (ihn be-
treffende) Aussage A1a als Summanden hinzu, so wird die letztere und
damit die genannte Summe den Wert Eins annehmen sobald die Vor-
aussetzung Aa von a nicht erfüllt ist; und somit bleibt in solchem
Falle der Faktor ohne allen Einfluss auf den Wert des Produktes,
fällt sozusagen aus diesem heraus. Dagegen wird der Faktor a un-
geändert bleiben, indem nur A1a, gleich null, zu ihm hinzutritt, er
wird mithin schlechtweg im Produkte vertreten sein, sobald die For-
derung Aa von dem a erfüllt ist; dergestalt, dass
ζ1 [Formel 1] {a + A1a
das Produkt vorstellt von allen denjenigen Klassen resp. Gebieten a,
welche die Bedingung Aa erfüllen und nur von diesen — obzwar die
Variable a doch alle erdenklichen Gebiete der Mn. durchläuft.

Beispielsweise mag man sich überzeugen, dass, analog zu γ1) gilt:
η1) [Formel 2] {b + (a ⊆ b)} = a,
wobei der zweite Term aus (a ⊆ b)1 entstanden ist.

Hiernach wird uns von den beiden Ausdrücken
ϑ1) [Formel 3] {f (i) + J1i}, [Formel 4] {f (i) + J1i + (i ⊆ a)1}
der erste vorstellen: das Produkt der Funktionswerte f (i) gebildet für
alle Punkte der Mn. 1, und der zweite: gebildet für alle Punkte des
Gebietes a selbst — und ausschliesslich für diese. Wir haben damit
auch unser zweites Vorhaben verwirklicht.

Überhaupt dürfte klar geworden sein, wie sich unsre Schemata β1)
und ζ1) nochmals verallgemeinern lassen, indem man das Operations-
glied a durch f (a) in ihnen ersetzt. Es stellt:
ι1) [Formel 5] f (a) Aa resp. [Formel 6] {f (a) + A1a}

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 347. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/371>, abgerufen am 25.11.2024.