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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
thatsächlich unvertreten ist, als Glied faktisch fehlt, sobald in Bezug
auf sie jene Voraussetzung nicht zutrifft!

Von ferne streift auch einmal Herr Peirce 9 c p. 188 durch Ein-
führung sonderbarer numerischer Koeffizienten an unsre Abmachung (a1).

Der erste Teil dieser Konvention scheint übrigens gar nichts Neues
zu sein, vielmehr mit dem Th. 22x) a · 0 = 0 ohnehin zusammenzufallen,
sintemal wir ja den Punkt über der Aussagennull stets fortzulassen pflegten.
Ein wenig Sorgfalt lässt jedoch erkennen, dass solches zu glauben eine
Täuschung wäre, und dass Produkte aus Klassen und Aussagen bis jetzt
nie vorgekommen sind.

Um zunächst zur Erläuterung und Übung ein Beispiel zu bringen,
so wird man sich leicht auf Grund der Tautologie und Absorptions-
gesetze der Addition überzeugen, dass allgemein:
g1) [Formel 1] (b a) b = a
ist -- die Summe über alle erdenklichen Gebiete b unsrer bevorzugten
Mannigfaltigkeit erstreckt gedacht.

Denn unter diesen b figurirt auch a selber, welches links multiplizirt
erscheint in die Aussage (a a), = i, sodass zunächst a selbst ein Glied
jener Summe ist; fernere Glieder sind alle b, welche in a enthalten sind,
weil auch für diese b a gelten, = i sein wird; diese aber werden von
dem a verschluckt. Jedes b dagegen, welches nicht in a enthalten, er-
scheint in (b a), = 0 multiplizirt und fällt somit aus der Summe heraus.

Stellt nun i ein variables Gebiet unsrer Mannigfaltigkeit vor, und
bedeutet f (i) eine gegebene Klassenfunktion, so wird Ji die Forderung
ausdrücken, dass i ein Punkt sei und gibt von den beiden Ausdrücken:
d1) [Formel 2] Ji f (i), [Formel 3] Ji (i a) f (i)
der erste an: die Summe der f (i) gebildet für alle Punkte i unsrer
Mannigfaltigkeit 1, und nur für solche -- obzwar man das i (wie
früher die Summationsvariabele stets) alle Gebiete der Mannigfaltigkeit
überhaupt im Geiste durchlaufen zu lassen hat. Und ebenso wird der
zweite Ausdruck darstellen: die Summe der f (i) erstreckt über alle
diejenigen Individuen i, welche der Klasse a angehören -- und nur
über solche.

Sobald i kein Punkt ist, wird nämlich der Faktor Ji, sobald es
nicht in a enthalten ist, wird der Faktor (i a) verschwinden und
damit der Term aus der Summe herausfallen. Die Deutung findet
sonach ganz in der gleichen Weise statt; wie sie [auch ohne eine
spezifische Abmachung, wie (a1)] ohnehin zu erfolgen hätte gemäss
den Regeln des reinen Aussagenkalkuls, falls f (i) etwa eine Aussagen-
funktion, Aussage über i, vorstellte.

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
thatsächlich unvertreten ist, als Glied faktisch fehlt, sobald in Bezug
auf sie jene Voraussetzung nicht zutrifft!

Von ferne streift auch einmal Herr Peirce 9 c p. 188 durch Ein-
führung sonderbarer numerischer Koeffizienten an unsre Abmachung (α1).

Der erste Teil dieser Konvention scheint übrigens gar nichts Neues
zu sein, vielmehr mit dem Th. 22×) a · 0 = 0 ohnehin zusammenzufallen,
sintemal wir ja den Punkt über der Aussagennull stets fortzulassen pflegten.
Ein wenig Sorgfalt lässt jedoch erkennen, dass solches zu glauben eine
Täuschung wäre, und dass Produkte aus Klassen und Aussagen bis jetzt
nie vorgekommen sind.

Um zunächst zur Erläuterung und Übung ein Beispiel zu bringen,
so wird man sich leicht auf Grund der Tautologie und Absorptions-
gesetze der Addition überzeugen, dass allgemein:
γ1) [Formel 1] (b ⊆ a) b = a
ist — die Summe über alle erdenklichen Gebiete b unsrer bevorzugten
Mannigfaltigkeit erstreckt gedacht.

Denn unter diesen b figurirt auch a selber, welches links multiplizirt
erscheint in die Aussage (a ⊆ a), = i, sodass zunächst a selbst ein Glied
jener Summe ist; fernere Glieder sind alle b, welche in a enthalten sind,
weil auch für diese b ⊆ a gelten, = i sein wird; diese aber werden von
dem a verschluckt. Jedes b dagegen, welches nicht in a enthalten, er-
scheint in (b ⊆ a), = 0 multiplizirt und fällt somit aus der Summe heraus.

Stellt nun i ein variables Gebiet unsrer Mannigfaltigkeit vor, und
bedeutet f (i) eine gegebene Klassenfunktion, so wird Ji die Forderung
ausdrücken, dass i ein Punkt sei und gibt von den beiden Ausdrücken:
δ1) [Formel 2] Ji f (i), [Formel 3] Ji (i ⊆ a) f (i)
der erste an: die Summe der f (i) gebildet für alle Punkte i unsrer
Mannigfaltigkeit 1, und nur für solche — obzwar man das i (wie
früher die Summationsvariabele stets) alle Gebiete der Mannigfaltigkeit
überhaupt im Geiste durchlaufen zu lassen hat. Und ebenso wird der
zweite Ausdruck darstellen: die Summe der f (i) erstreckt über alle
diejenigen Individuen i, welche der Klasse a angehören — und nur
über solche.

Sobald i kein Punkt ist, wird nämlich der Faktor Ji, sobald es
nicht in a enthalten ist, wird der Faktor (i ⊆ a) verschwinden und
damit der Term aus der Summe herausfallen. Die Deutung findet
sonach ganz in der gleichen Weise statt; wie sie [auch ohne eine
spezifische Abmachung, wie (α1)] ohnehin zu erfolgen hätte gemäss
den Regeln des reinen Aussagenkalkuls, falls f (i) etwa eine Aussagen-
funktion, Aussage über i, vorstellte.

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[346/0370] Zweiundzwanzigste Vorlesung. thatsächlich unvertreten ist, als Glied faktisch fehlt, sobald in Bezug auf sie jene Voraussetzung nicht zutrifft! Von ferne streift auch einmal Herr Peirce 9 c p. 188 durch Ein- führung sonderbarer numerischer Koeffizienten an unsre Abmachung (α1). Der erste Teil dieser Konvention scheint übrigens gar nichts Neues zu sein, vielmehr mit dem Th. 22×) a · 0 = 0 ohnehin zusammenzufallen, sintemal wir ja den Punkt über der Aussagennull stets fortzulassen pflegten. Ein wenig Sorgfalt lässt jedoch erkennen, dass solches zu glauben eine Täuschung wäre, und dass Produkte aus Klassen und Aussagen bis jetzt nie vorgekommen sind. Um zunächst zur Erläuterung und Übung ein Beispiel zu bringen, so wird man sich leicht auf Grund der Tautologie und Absorptions- gesetze der Addition überzeugen, dass allgemein: γ1) [FORMEL] (b  a) b = a ist — die Summe über alle erdenklichen Gebiete b unsrer bevorzugten Mannigfaltigkeit erstreckt gedacht. Denn unter diesen b figurirt auch a selber, welches links multiplizirt erscheint in die Aussage (a  a), = i, sodass zunächst a selbst ein Glied jener Summe ist; fernere Glieder sind alle b, welche in a enthalten sind, weil auch für diese b  a gelten, = i sein wird; diese aber werden von dem a verschluckt. Jedes b dagegen, welches nicht in a enthalten, er- scheint in (b  a), = 0 multiplizirt und fällt somit aus der Summe heraus. Stellt nun i ein variables Gebiet unsrer Mannigfaltigkeit vor, und bedeutet f (i) eine gegebene Klassenfunktion, so wird Ji die Forderung ausdrücken, dass i ein Punkt sei und gibt von den beiden Ausdrücken: δ1) [FORMEL] Ji f (i), [FORMEL] Ji (i  a) f (i) der erste an: die Summe der f (i) gebildet für alle Punkte i unsrer Mannigfaltigkeit 1, und nur für solche — obzwar man das i (wie früher die Summationsvariabele stets) alle Gebiete der Mannigfaltigkeit überhaupt im Geiste durchlaufen zu lassen hat. Und ebenso wird der zweite Ausdruck darstellen: die Summe der f (i) erstreckt über alle diejenigen Individuen i, welche der Klasse a angehören — und nur über solche. Sobald i kein Punkt ist, wird nämlich der Faktor Ji, sobald es nicht in a enthalten ist, wird der Faktor (i  a) verschwinden und damit der Term aus der Summe herausfallen. Die Deutung findet sonach ganz in der gleichen Weise statt; wie sie [auch ohne eine spezifische Abmachung, wie (α1)] ohnehin zu erfolgen hätte gemäss den Regeln des reinen Aussagenkalkuls, falls f (i) etwa eine Aussagen- funktion, Aussage über i, vorstellte.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 346. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/370>, abgerufen am 02.06.2024.