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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 49. Studien über die Klausel.

Gilt S A k, ist diese Voraussetzung erfüllt, so muss wegen
(S A k = i) = S (A k = i)
-- vergl. § 45, b+) -- auch mindestens eine ihrer Gliederaussagen gelten;
und sei etwa A k selbst ebendiese.

Wir haben dann, weil A k volle Resultante für Ax sein sollte:
A k [Formel 1] Ax,
und umsomehr [weil nach Th. 6n+) Ax S Ax, das Glied der Summe ein-
geordnet ist und diese Subsumtion wieder nach x gemäss Th. 17+) sum-
mirt werden kann, sonach auch [Formel 2] Ax [Formel 3] S Ax sein muss]:
A k [Formel 4] S Ax oder A k [Formel 5] 10).
Gälte zugleich mit A k, was nicht ausgeschlossen ist, auch A' k', so hätten
wir kraft derselben Schlüsse auch A' k' [Formel 6] 10). Gilt aber -- was eben-
falls zugelassen -- A' k' nicht, so ist es = 0 und haben wir wiederum
A' k' [Formel 7] 10) kraft Def. (2x), und so weiter.

Wir können uns also die Subsumtionen:
A k [Formel 8] 10), A' k' [Formel 9] 10), A'' k'' [Formel 10] 10), ...
als jedenfalls gleichzeitig zutreffende nach Def. (3+) zusammenziehen in
S A k [Formel 11] 10), oder 30), = K [Formel 12] 10),
was noch zu zeigen gewesen. --

Man könnte wähnen, dass die Bedingung K auch nicht notwendig er-
füllt zu sein brauche, indem man sich etwa folgenden Fall vergegenwärtigt.

Gesetzt, es gilt A in 20), aber nicht A k, sodass es kein x geben
muss und wird, welches Ax in 10) erfüllt. So wäre denkbar, dass es als-
dann doch noch ein x gibt, welches ein anderes Glied von 10) als Ax, zum
Beispiel Ax' erfüllt -- sodass also der Zusatz von k zu A als nicht er-
forderlich sich darstellt.

Dieses allerdings ist richtig. Allein dann hätten wir wegen Ax' A' k'
dafür die Gewissheit, dass A' k' erfüllt ist (als Konklusion und Resultante,
sintemal es laut ebengemachter Annahme ein Ax' erfüllendes x gibt).

Sicher wäre dann auch die Alternative S A k = i erfüllt, eben wegen
des Erfülltseins des zweiten Gliedes A' k' = i linkseitiger Summe, und ob
-- was das erste Glied betrifft -- bei dem zufällig miterfüllten A auch
der Faktor k noch miterfüllt ist oder nicht, bleibt sich egal.

Wir können darnach behufs Ermittelung der Klausel oder vollen
Resultante von den Summenzeichen in 10) und 20) absehen und brauchen
uns nur noch mit Aufsuchung der vollen Resultante des allgemeinen
Gliedes Ax in 10) zu beschäftigen. Eine ähnliche Vereinfachung

§ 49. Studien über die Klausel.

Gilt Σ A k, ist diese Voraussetzung erfüllt, so muss wegen
(Σ A k = i) = Σ (A k = i)
— vergl. § 45, β+) — auch mindestens eine ihrer Gliederaussagen gelten;
und sei etwa A k selbst ebendiese.

Wir haben dann, weil A k volle Resultante für Ax sein sollte:
A k ⊆ [Formel 1] Ax,
und umsomehr [weil nach Th. 6̄+) Ax ⊆ Σ Ax, das Glied der Summe ein-
geordnet ist und diese Subsumtion wieder nach x gemäss Th. 1̅7̅+) sum-
mirt werden kann, sonach auch [Formel 2] Ax ⊆ [Formel 3] Σ Ax sein muss]:
A k ⊆ [Formel 4] Σ Ax oder A k ⊆ [Formel 5] 10).
Gälte zugleich mit A k, was nicht ausgeschlossen ist, auch A' k', so hätten
wir kraft derselben Schlüsse auch A' k' ⊆ [Formel 6] 10). Gilt aber — was eben-
falls zugelassen — A' k' nicht, so ist es = 0 und haben wir wiederum
A' k' ⊆ [Formel 7] 10) kraft Def. (2×), und so weiter.

Wir können uns also die Subsumtionen:
A k ⊆ [Formel 8] 10), A' k' ⊆ [Formel 9] 10), A'' k'' ⊆ [Formel 10] 10), …
als jedenfalls gleichzeitig zutreffende nach Def. (3+) zusammenziehen in
Σ A k ⊆ [Formel 11] 10), oder 30), = K ⊆ [Formel 12] 10),
was noch zu zeigen gewesen. —

Man könnte wähnen, dass die Bedingung K auch nicht notwendig er-
füllt zu sein brauche, indem man sich etwa folgenden Fall vergegenwärtigt.

Gesetzt, es gilt A in 20), aber nicht A k, sodass es kein x geben
muss und wird, welches Ax in 10) erfüllt. So wäre denkbar, dass es als-
dann doch noch ein x gibt, welches ein anderes Glied von 10) als Ax, zum
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forderlich sich darstellt.

Dieses allerdings ist richtig. Allein dann hätten wir wegen Ax' ⊆ A' k'
dafür die Gewissheit, dass A' k' erfüllt ist (als Konklusion und Resultante,
sintemal es laut ebengemachter Annahme ein Ax' erfüllendes x gibt).

Sicher wäre dann auch die Alternative Σ A k = i erfüllt, eben wegen
des Erfülltseins des zweiten Gliedes A' k' = i linkseitiger Summe, und ob
— was das erste Glied betrifft — bei dem zufällig miterfüllten A auch
der Faktor k noch miterfüllt ist oder nicht, bleibt sich egal.

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[375/0399] § 49. Studien über die Klausel. Gilt Σ A k, ist diese Voraussetzung erfüllt, so muss wegen (Σ A k = i) = Σ (A k = i) — vergl. § 45, β+) — auch mindestens eine ihrer Gliederaussagen gelten; und sei etwa A k selbst ebendiese. Wir haben dann, weil A k volle Resultante für Ax sein sollte: A k [FORMEL] Ax, und umsomehr [weil nach Th. 6̄+) Ax Σ Ax, das Glied der Summe ein- geordnet ist und diese Subsumtion wieder nach x gemäss Th. 1̅7̅+) sum- mirt werden kann, sonach auch [FORMEL] Ax [FORMEL] Σ Ax sein muss]: A k [FORMEL] Σ Ax oder A k [FORMEL] 10). Gälte zugleich mit A k, was nicht ausgeschlossen ist, auch A' k', so hätten wir kraft derselben Schlüsse auch A' k' [FORMEL] 10). Gilt aber — was eben- falls zugelassen — A' k' nicht, so ist es = 0 und haben wir wiederum A' k' [FORMEL] 10) kraft Def. (2×), und so weiter. Wir können uns also die Subsumtionen: A k [FORMEL] 10), A' k' [FORMEL] 10), A'' k'' [FORMEL] 10), … als jedenfalls gleichzeitig zutreffende nach Def. (3+) zusammenziehen in Σ A k [FORMEL] 10), oder 30), = K [FORMEL] 10), was noch zu zeigen gewesen. — Man könnte wähnen, dass die Bedingung K auch nicht notwendig er- füllt zu sein brauche, indem man sich etwa folgenden Fall vergegenwärtigt. Gesetzt, es gilt A in 20), aber nicht A k, sodass es kein x geben muss und wird, welches Ax in 10) erfüllt. So wäre denkbar, dass es als- dann doch noch ein x gibt, welches ein anderes Glied von 10) als Ax, zum Beispiel Ax' erfüllt — sodass also der Zusatz von k zu A als nicht er- forderlich sich darstellt. Dieses allerdings ist richtig. Allein dann hätten wir wegen Ax' A' k' dafür die Gewissheit, dass A' k' erfüllt ist (als Konklusion und Resultante, sintemal es laut ebengemachter Annahme ein Ax' erfüllendes x gibt). Sicher wäre dann auch die Alternative Σ A k = i erfüllt, eben wegen des Erfülltseins des zweiten Gliedes A' k' = i linkseitiger Summe, und ob — was das erste Glied betrifft — bei dem zufällig miterfüllten A auch der Faktor k noch miterfüllt ist oder nicht, bleibt sich egal. Wir können darnach behufs Ermittelung der Klausel oder vollen Resultante von den Summenzeichen in 10) und 20) absehen und brauchen uns nur noch mit Aufsuchung der vollen Resultante des allgemeinen Gliedes Ax in 10) zu beschäftigen. Eine ähnliche Vereinfachung

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 375. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/399>, abgerufen am 23.11.2024.

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