Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 49. Studien über die Klausel. ist, die Fälle zu charakterisiren, in welchen es unmöglich ist, aus jedemGebiete rk der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete sl der andern Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zur Negation u1 dieser Klasse zu schlagen.*) Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän- Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden Ich will dieselbe für den letztern Fall k = 1 aussprechen und Sei also -- h = n -- 1 gedacht --: Sind einzelne von den Klassen rk singuläre, das ist Individuen, so Da jene Summe 0 wäre, wenn kein rk mehr übrig, nämlich alle Dass obige Bedingung notwendig ist, erkennt man so. Ist sie *) Dies habe ich schon in 6 der unter meinem Namen im Literaturverzeich-
niss angeführten Schriften mitgeteilt. § 49. Studien über die Klausel. ist, die Fälle zu charakterisiren, in welchen es unmöglich ist, aus jedemGebiete rϰ der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete sλ der andern Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zur Negation u1 dieser Klasse zu schlagen.*) Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän- Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden Ich will dieselbe für den letztern Fall k = 1 aussprechen und Sei also — h = n — 1 gedacht —: Sind einzelne von den Klassen rϰ singuläre, das ist Individuen, so Da jene Summe 0 wäre, wenn kein rϰ mehr übrig, nämlich alle Dass obige Bedingung notwendig ist, erkennt man so. Ist sie *) Dies habe ich schon in 6 der unter meinem Namen im Literaturverzeich-
niss angeführten Schriften mitgeteilt. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0417" n="393"/><fw place="top" type="header">§ 49. Studien über die Klausel.</fw><lb/> ist, <hi rendition="#i">die Fälle zu charakterisiren</hi>, <hi rendition="#i">in welchen es unmöglich ist</hi>, <hi rendition="#i">aus jedem<lb/> Gebiete r<hi rendition="#sup">ϰ</hi> der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer<lb/> Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete s<hi rendition="#sup">λ</hi> der andern Reihe (mindestens)<lb/> ein Punktindividuum zur Negation u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">dieser Klasse zu schlagen</hi>.<note place="foot" n="*)">Dies habe ich schon in <hi rendition="#sup">6</hi> der unter meinem Namen im Literaturverzeich-<lb/> niss angeführten Schriften mitgeteilt.</note></p><lb/> <p>Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän-<lb/> dig aufzuzählen, so wird es ein leichtes sein, ihre <hi rendition="#i">Ausschliessung</hi> zu<lb/> fordern, und die Aussage, welche solche Forderung statuirt, wird die<lb/> betreffende, auf die beim vorliegenden Problem zugrunde gelegten An-<lb/> nahmen bezügliche Teil-Klausel sein.</p><lb/> <p>Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden<lb/> einfachsten Fällen des jetzt zu erledigenden Problemes, nämlich in<lb/> denen wo entweder <hi rendition="#i">h</hi> = 1 oder aber <hi rendition="#i">k</hi> = <hi rendition="#i">n</hi> — <hi rendition="#i">h</hi> = 1 ist, wo also fast<lb/> alle Ungleichungsfaktoren zur einen Sorte und nur einer zur andern<lb/> Sorte gehört.</p><lb/> <p>Ich will dieselbe für den letztern Fall <hi rendition="#i">k</hi> = 1 aussprechen und<lb/> begründen; alsdann ist nur eine Vertauschung der Buchstaben <hi rendition="#i">r</hi> und <hi rendition="#i">s</hi>,<lb/> sowie von <hi rendition="#i">h</hi> mit <hi rendition="#i">k</hi> erforderlich, um die Antwort auch für den andern<lb/> Fall zu erhalten.</p><lb/> <p>Sei also — <hi rendition="#i">h</hi> = <hi rendition="#i">n</hi> — 1 gedacht —:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">r</hi> = <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sup">2</hi> + … + <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">h</hi></hi> = <hi rendition="#i">s</hi> = <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sup">1</hi></hi><lb/> so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Bestimm-<lb/> barkeit eines solchen <hi rendition="#i">u</hi>, dass sein Produkt in jedes der <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> ≠ 0 und<lb/> zugleich das Produkt seiner Negation <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> in das eine <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sup">1</hi> ≠ 0 ist,<lb/> wie folgt:</p><lb/> <p><hi rendition="#i">Sind einzelne von den Klassen r<hi rendition="#sup">ϰ</hi> singuläre</hi>, <hi rendition="#i">das ist Individuen</hi>, <hi rendition="#i">so<lb/> darf nicht die Summe der übrigen</hi> (der nicht singulären) <hi rendition="#i">Klassen r<hi rendition="#sup">ϰ</hi> ein-<lb/> geordnet sein der Summe von allen diesen</hi>.</p><lb/> <p>Da jene Summe 0 wäre, wenn kein <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> mehr übrig, nämlich <hi rendition="#i">alle<lb/> r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> Individuen wären, und die 0 jedem Gebiete eingeordnet ist, so ist<lb/> hiemit insbesondre auch der Fall ausgeschlossen, wo alle <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> Individuen<lb/> wären. —</p><lb/> <p>Dass obige Bedingung <hi rendition="#i">notwendig</hi> ist, erkennt man so. Ist sie<lb/> nicht erfüllt, ist also die Summe der nicht singulären Klassen der <hi rendition="#i">r</hi>-<lb/> Reihe in der Summe ihrer singulären Klassen enthalten, so muss <hi rendition="#i">Σ r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi><lb/> oder <hi rendition="#i">r</hi> ganz in <hi rendition="#i">u</hi> hineinfallen. Jede singuläre Klasse <hi rendition="#i">r<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> muss nämlich<lb/> als das einzige in ihr zur Verfügung stehende Individuum unweiger-<lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [393/0417]
§ 49. Studien über die Klausel.
ist, die Fälle zu charakterisiren, in welchen es unmöglich ist, aus jedem
Gebiete rϰ der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer
Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete sλ der andern Reihe (mindestens)
ein Punktindividuum zur Negation u1 dieser Klasse zu schlagen. *)
Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän-
dig aufzuzählen, so wird es ein leichtes sein, ihre Ausschliessung zu
fordern, und die Aussage, welche solche Forderung statuirt, wird die
betreffende, auf die beim vorliegenden Problem zugrunde gelegten An-
nahmen bezügliche Teil-Klausel sein.
Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden
einfachsten Fällen des jetzt zu erledigenden Problemes, nämlich in
denen wo entweder h = 1 oder aber k = n — h = 1 ist, wo also fast
alle Ungleichungsfaktoren zur einen Sorte und nur einer zur andern
Sorte gehört.
Ich will dieselbe für den letztern Fall k = 1 aussprechen und
begründen; alsdann ist nur eine Vertauschung der Buchstaben r und s,
sowie von h mit k erforderlich, um die Antwort auch für den andern
Fall zu erhalten.
Sei also — h = n — 1 gedacht —:
r = r1 + r2 + … + rh = s = s1
so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Bestimm-
barkeit eines solchen u, dass sein Produkt in jedes der rϰ ≠ 0 und
zugleich das Produkt seiner Negation u1 in das eine s1 ≠ 0 ist,
wie folgt:
Sind einzelne von den Klassen rϰ singuläre, das ist Individuen, so
darf nicht die Summe der übrigen (der nicht singulären) Klassen rϰ ein-
geordnet sein der Summe von allen diesen.
Da jene Summe 0 wäre, wenn kein rϰ mehr übrig, nämlich alle
rϰ Individuen wären, und die 0 jedem Gebiete eingeordnet ist, so ist
hiemit insbesondre auch der Fall ausgeschlossen, wo alle rϰ Individuen
wären. —
Dass obige Bedingung notwendig ist, erkennt man so. Ist sie
nicht erfüllt, ist also die Summe der nicht singulären Klassen der r-
Reihe in der Summe ihrer singulären Klassen enthalten, so muss Σ rϰ
oder r ganz in u hineinfallen. Jede singuläre Klasse rϰ muss nämlich
als das einzige in ihr zur Verfügung stehende Individuum unweiger-
*) Dies habe ich schon in 6 der unter meinem Namen im Literaturverzeich-
niss angeführten Schriften mitgeteilt.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 393. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/417>, abgerufen am 17.08.2024. |