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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.

lich zu u geschlagen werden, u sein; dasselbe ist dann auch mit
der Summe aller singulären rk, und da in dieser die Summe der
übrigen laut Annahme schon enthalten ist mit der Summe aller rk
der Fall. Nun haben wir r u, und wegen r = s1 auch s1 u oder
s1 u1 = 0; unmöglich bleibt es hienach zu bewirken, dass s1 u1 0
werde, q. e. d.

Dass sie hinreicht, beweise ich so. Sind eventuell einzelne rk Indi-
viduen, so bilde man deren Summe und schlage sie zu u (eventuell
ist sie 0). Für jede Klasse rk (eventuell keine), welche mit dieser
Summe wertgemein ist, ein Individuum gemein hat, ist dann sicher
die Forderung rk u 0 erfüllt.

Da jedoch nach der Annahme die übrigen rk nicht alle eingeordnet
jener Summe sein können (weil sonst auch deren Summe es sein
müsste) so greift mindestens eines dieser rk über jene Summe hinaus
(liegt eventuell ganz ausserhalb derselben). Dann braucht man nur
ein Individuum aus dem hinausgreifenden Teil (resp. dem ganz ausser-
halb liegenden rk) zu u1 zu schlagen, um für s1 die Forderung s1 u1 0
erfüllt zu haben.

Diejenigen Klassen rk, für welche die Forderung rku 0 dann
noch zu erfüllen bleibt, liegen durchweg ganz ausserhalb jener Summe
der singulären Klassen rk, und da sie ihrerseits nicht singulär sind,
enthält eine jede derselben mindestens zwei Individuen, sonach ausser
dem bereits zu u1 geschlagenen Individuum (wenn sie dieses überhaupt
enthielt) noch mindestens ein neues Individuum (eventuell als ein ihrer
mehrern oder sämtlichen gemeinsames), und man braucht nun blos
das letztere je noch zu u zu schlagen um alle Forderungen durchweg
erfüllt zu haben, q. e. d.

Beispielsweise würde so die "Konjunktur" oder spezielle Zusammen-
setzungsweise der (,Individuenverteilung auf die) Klassen der r-Reihe:
r1 = i1, r2 = i2, r3 = i3, r4 = i1 + i2, r5 = i1 + i3 | s1 = i1 + i2 + i3
-- desgleichen mit r5 = i1 + i2 + i3, etc. (bei h = 5, k = 1) unzulässig sein.
Dagegen die Konjunktur:
r1 = i1, r2 = i2, r3 = i1 + i2, r4 = i1 + i3, r5 = i2 + i3 | s1 = i1 + i2 +i3
würde zulässig sein, und wären blos die einmal unterstrichenen Individuen
zu u, das zweimal unterstrichene zu u1 zu schlagen.

Das hier bethätigte Verfahren des einmaligen Unterstreichens von
jedem notwendig zu u und des zweimaligen von jedem ersichtlich zu u1 zu
schlagenden Individuum empfiehlt sich sehr, wenn man eine vorgelegte Kon-
junktur schnellstens auf ihre Zulässigkeit prüfen will. Die Fälle wo ein
zwingender Grund vorliegt, sich für das eine oder andere zu entscheiden

Dreiundzwanzigste Vorlesung.

lich zu u geschlagen werden, ⊆ u sein; dasselbe ist dann auch mit
der Summe aller singulären rϰ, und da in dieser die Summe der
übrigen laut Annahme schon enthalten ist mit der Summe aller rϰ
der Fall. Nun haben wir r ⊆ u, und wegen r = s1 auch s1 ⊆ u oder
s1 u1 = 0; unmöglich bleibt es hienach zu bewirken, dass s1 u1 ≠ 0
werde, q. e. d.

Dass sie hinreicht, beweise ich so. Sind eventuell einzelne rϰ Indi-
viduen, so bilde man deren Summe und schlage sie zu u (eventuell
ist sie 0). Für jede Klasse rϰ (eventuell keine), welche mit dieser
Summe wertgemein ist, ein Individuum gemein hat, ist dann sicher
die Forderung rϰ u ≠ 0 erfüllt.

Da jedoch nach der Annahme die übrigen rϰ nicht alle eingeordnet
jener Summe sein können (weil sonst auch deren Summe es sein
müsste) so greift mindestens eines dieser rϰ über jene Summe hinaus
(liegt eventuell ganz ausserhalb derselben). Dann braucht man nur
ein Individuum aus dem hinausgreifenden Teil (resp. dem ganz ausser-
halb liegenden rϰ) zu u1 zu schlagen, um für s1 die Forderung s1 u1 ≠ 0
erfüllt zu haben.

Diejenigen Klassen rϰ, für welche die Forderung rϰu ≠ 0 dann
noch zu erfüllen bleibt, liegen durchweg ganz ausserhalb jener Summe
der singulären Klassen rϰ, und da sie ihrerseits nicht singulär sind,
enthält eine jede derselben mindestens zwei Individuen, sonach ausser
dem bereits zu u1 geschlagenen Individuum (wenn sie dieses überhaupt
enthielt) noch mindestens ein neues Individuum (eventuell als ein ihrer
mehrern oder sämtlichen gemeinsames), und man braucht nun blos
das letztere je noch zu u zu schlagen um alle Forderungen durchweg
erfüllt zu haben, q. e. d.

Beispielsweise würde so die „Konjunktur“ oder spezielle Zusammen-
setzungsweise der (‚Individuenverteilung auf die) Klassen der r-Reihe:
r1 = i1, r2 = i2, r3 = i3, r4 = i1 + i2, r5 = i1 + i3 | s1 = i1 + i2 + i3
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Dagegen die Konjunktur:
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[394/0418] Dreiundzwanzigste Vorlesung. lich zu u geschlagen werden, u sein; dasselbe ist dann auch mit der Summe aller singulären rϰ, und da in dieser die Summe der übrigen laut Annahme schon enthalten ist mit der Summe aller rϰ der Fall. Nun haben wir r u, und wegen r = s1 auch s1 u oder s1 u1 = 0; unmöglich bleibt es hienach zu bewirken, dass s1 u1 ≠ 0 werde, q. e. d. Dass sie hinreicht, beweise ich so. Sind eventuell einzelne rϰ Indi- viduen, so bilde man deren Summe und schlage sie zu u (eventuell ist sie 0). Für jede Klasse rϰ (eventuell keine), welche mit dieser Summe wertgemein ist, ein Individuum gemein hat, ist dann sicher die Forderung rϰ u ≠ 0 erfüllt. Da jedoch nach der Annahme die übrigen rϰ nicht alle eingeordnet jener Summe sein können (weil sonst auch deren Summe es sein müsste) so greift mindestens eines dieser rϰ über jene Summe hinaus (liegt eventuell ganz ausserhalb derselben). Dann braucht man nur ein Individuum aus dem hinausgreifenden Teil (resp. dem ganz ausser- halb liegenden rϰ) zu u1 zu schlagen, um für s1 die Forderung s1 u1 ≠ 0 erfüllt zu haben. Diejenigen Klassen rϰ, für welche die Forderung rϰu ≠ 0 dann noch zu erfüllen bleibt, liegen durchweg ganz ausserhalb jener Summe der singulären Klassen rϰ, und da sie ihrerseits nicht singulär sind, enthält eine jede derselben mindestens zwei Individuen, sonach ausser dem bereits zu u1 geschlagenen Individuum (wenn sie dieses überhaupt enthielt) noch mindestens ein neues Individuum (eventuell als ein ihrer mehrern oder sämtlichen gemeinsames), und man braucht nun blos das letztere je noch zu u zu schlagen um alle Forderungen durchweg erfüllt zu haben, q. e. d. Beispielsweise würde so die „Konjunktur“ oder spezielle Zusammen- setzungsweise der (‚Individuenverteilung auf die) Klassen der r-Reihe: r1 = i1, r2 = i2, r3 = i3, r4 = i1 + i2, r5 = i1 + i3 | s1 = i1 + i2 + i3 — desgleichen mit r5 = i1 + i2 + i3, etc. (bei h = 5, k = 1) unzulässig sein. Dagegen die Konjunktur: r1 = i̱1, r2 = i̱2, r3 = i̱1 + i̱2, r4 = i̱1 + i̱̱3, r5 = i̱2 + i̱̱3 | s1 = i̱1 + i̱2 +i̱̱3 würde zulässig sein, und wären blos die einmal unterstrichenen Individuen zu u, das zweimal unterstrichene zu u1 zu schlagen. Das hier bethätigte Verfahren des einmaligen Unterstreichens von jedem notwendig zu u und des zweimaligen von jedem ersichtlich zu u1 zu schlagenden Individuum empfiehlt sich sehr, wenn man eine vorgelegte Kon- junktur schnellstens auf ihre Zulässigkeit prüfen will. Die Fälle wo ein zwingender Grund vorliegt, sich für das eine oder andere zu entscheiden

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 394. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/418>, abgerufen am 23.11.2024.

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