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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 30. Fortsetzung über S, P.
Produkte von irgendwieviel Gliedern, also um allgemeine Untersuchungen,
so kann man immer die aus dem Gebrauch der Zeichen S, P resultirenden
Vorteile sich dadurch sichern, dass man sich für eine zweckmässige, eine
systematische Bezeichnung ihrer Terme von vornherein entscheidet, nämlich
wie in g) numerirte Buchstaben, einen Buchstaben mit verschiedenen
Stellenzeigern, Suffixen oder Indices, wie a1, a2, a3, ... an, dazu verwendet.

Und es steht dem nun nichts im Wege, auch ebendieses im identischen
Kalkul zu thun, wenn also die Summen und Produkte nicht als arith-
metische sondern als identische aufgefasst werden. Kommen hier auch
Negationen in Betracht, so werden wir nur, um den Platz für den Nega-
tionsstrich offen zu halten, am besten obere Indices oder Exponenten
wählen vergl. Bd. 1, S. 261 sq.

Damit werden nun allerdings neben den Buchstaben und der 1 (even-
tuell auch der 0) als Gebietsymbolen auch ebensolche als Zahlzeichen ein-
geführt, und zwar für laufende Zeiger, Indices und Summengrenzen. Aber
eben wegen dieser ihrer Beschränkung auf einen bestimmten Platz im
Ausdrucke, steht eine Verwechselung derselben mit jenen nicht zu be-
fürchten.

Und indem wir von einer ganzen Reihe in Betracht kommender Gebiete
eines als das "erste" mit a1, ein anderes als das "zweite" mit a2, und so
weiter der Übersicht wegen benennen, wird man doch nicht sagen können,
dass dadurch das der Logik (im allerengsten Sinne) von rechtswegen
fremde Element der Zahl wesentlich in diese Disziplin hereingezogen werde;
es bleibt vielmehr die Angelegenheit nur eine untergeordnete Bezeichnungs-
oder Benennungsfrage.

Zur Illustration wollen wir einmal die namhaftesten unsrer bisherigen
Sätze, die eine Erweiterung auf beliebig viele Operationsglieder zugelassen
haben, in geschilderter Weise mittelst Summen- oder Produktenzeichen
darstellen.

Die Formel:
II. [Formel 1]
stellt den n-gliedrigen Kettenschluss oder Sorites dar. Ausführlich inter-
pretirt würde diese Verallgemeinerung des Prinzipes II lauten:
II'. [Formel 2]
und können hierin die sämtlichen in Klammer stehenden, d. h. hier nur auf
Gebiete (nicht auf Aussagen) bezüglichen Subsumtionszeichen auch durch-
weg in Gleichheitszeichen verwandelt werden, wodurch sich eine Erweite-
rung von Th. 4) ergäbe:
4) [Formel 3]

Endlich dürfen von den linkerhand in II' auftretenden Subsumtions-
zeichen beliebige Gruppen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden, wofern

§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.
Produkte von irgendwieviel Gliedern, also um allgemeine Untersuchungen,
so kann man immer die aus dem Gebrauch der Zeichen Σ, Π resultirenden
Vorteile sich dadurch sichern, dass man sich für eine zweckmässige, eine
systematische Bezeichnung ihrer Terme von vornherein entscheidet, nämlich
wie in γ) numerirte Buchstaben, einen Buchstaben mit verschiedenen
Stellenzeigern, Suffixen oder Indices, wie a1, a2, a3, … an, dazu verwendet.

Und es steht dem nun nichts im Wege, auch ebendieses im identischen
Kalkul zu thun, wenn also die Summen und Produkte nicht als arith-
metische sondern als identische aufgefasst werden. Kommen hier auch
Negationen in Betracht, so werden wir nur, um den Platz für den Nega-
tionsstrich offen zu halten, am besten obere Indices oder Exponenten
wählen vergl. Bd. 1, S. 261 sq.

Damit werden nun allerdings neben den Buchstaben und der 1 (even-
tuell auch der 0) als Gebietsymbolen auch ebensolche als Zahlzeichen ein-
geführt, und zwar für laufende Zeiger, Indices und Summengrenzen. Aber
eben wegen dieser ihrer Beschränkung auf einen bestimmten Platz im
Ausdrucke, steht eine Verwechselung derselben mit jenen nicht zu be-
fürchten.

Und indem wir von einer ganzen Reihe in Betracht kommender Gebiete
eines als das „erste“ mit a1, ein anderes als das „zweite“ mit a2, und so
weiter der Übersicht wegen benennen, wird man doch nicht sagen können,
dass dadurch das der Logik (im allerengsten Sinne) von rechtswegen
fremde Element der Zahl wesentlich in diese Disziplin hereingezogen werde;
es bleibt vielmehr die Angelegenheit nur eine untergeordnete Bezeichnungs-
oder Benennungsfrage.

Zur Illustration wollen wir einmal die namhaftesten unsrer bisherigen
Sätze, die eine Erweiterung auf beliebig viele Operationsglieder zugelassen
haben, in geschilderter Weise mittelst Summen- oder Produktenzeichen
darstellen.

Die Formel:
II. [Formel 1]
stellt den n-gliedrigen Kettenschluss oder Sorites dar. Ausführlich inter-
pretirt würde diese Verallgemeinerung des Prinzipes II lauten:
II'. [Formel 2]
und können hierin die sämtlichen in Klammer stehenden, d. h. hier nur auf
Gebiete (nicht auf Aussagen) bezüglichen Subsumtionszeichen auch durch-
weg in Gleichheitszeichen verwandelt werden, wodurch sich eine Erweite-
rung von Th. 4) ergäbe:
4) [Formel 3]

Endlich dürfen von den linkerhand in II' auftretenden Subsumtions-
zeichen beliebige Gruppen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden, wofern

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[37/0061] § 30. Fortsetzung über Σ, Π. Produkte von irgendwieviel Gliedern, also um allgemeine Untersuchungen, so kann man immer die aus dem Gebrauch der Zeichen Σ, Π resultirenden Vorteile sich dadurch sichern, dass man sich für eine zweckmässige, eine systematische Bezeichnung ihrer Terme von vornherein entscheidet, nämlich wie in γ) numerirte Buchstaben, einen Buchstaben mit verschiedenen Stellenzeigern, Suffixen oder Indices, wie a1, a2, a3, … an, dazu verwendet. Und es steht dem nun nichts im Wege, auch ebendieses im identischen Kalkul zu thun, wenn also die Summen und Produkte nicht als arith- metische sondern als identische aufgefasst werden. Kommen hier auch Negationen in Betracht, so werden wir nur, um den Platz für den Nega- tionsstrich offen zu halten, am besten obere Indices oder Exponenten wählen vergl. Bd. 1, S. 261 sq. Damit werden nun allerdings neben den Buchstaben und der 1 (even- tuell auch der 0) als Gebietsymbolen auch ebensolche als Zahlzeichen ein- geführt, und zwar für laufende Zeiger, Indices und Summengrenzen. Aber eben wegen dieser ihrer Beschränkung auf einen bestimmten Platz im Ausdrucke, steht eine Verwechselung derselben mit jenen nicht zu be- fürchten. Und indem wir von einer ganzen Reihe in Betracht kommender Gebiete eines als das „erste“ mit a1, ein anderes als das „zweite“ mit a2, und so weiter der Übersicht wegen benennen, wird man doch nicht sagen können, dass dadurch das der Logik (im allerengsten Sinne) von rechtswegen fremde Element der Zahl wesentlich in diese Disziplin hereingezogen werde; es bleibt vielmehr die Angelegenheit nur eine untergeordnete Bezeichnungs- oder Benennungsfrage. Zur Illustration wollen wir einmal die namhaftesten unsrer bisherigen Sätze, die eine Erweiterung auf beliebig viele Operationsglieder zugelassen haben, in geschilderter Weise mittelst Summen- oder Produktenzeichen darstellen. Die Formel: II. [FORMEL] stellt den n-gliedrigen Kettenschluss oder Sorites dar. Ausführlich inter- pretirt würde diese Verallgemeinerung des Prinzipes II lauten: II'. [FORMEL] und können hierin die sämtlichen in Klammer stehenden, d. h. hier nur auf Gebiete (nicht auf Aussagen) bezüglichen Subsumtionszeichen auch durch- weg in Gleichheitszeichen verwandelt werden, wodurch sich eine Erweite- rung von Th. 4) ergäbe: 4) [FORMEL] Endlich dürfen von den linkerhand in II' auftretenden Subsumtions- zeichen beliebige Gruppen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden, wofern

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/61>, abgerufen am 27.11.2024.