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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 30. Fortsetzung über S, P.
brauchen sie dann nach dem Tautologiegesetze nicht wiederholt zu
werden]. Etc. (den Rest sich noch einfacher zu schreiben überlassen
wir dem Leser).

Jedenfalls tritt durch solches Preisgeben des Beiwerks der Kern
der Sätze besser hervor. Da es für die Geltung dieser Sätze gleich-
gültig ist, wie viele es der von a oder b beiderseits zu durchlaufenden
Werte sein und wie diese Werte heissen sollen, so braucht letzteres in
den Sätzen auch nicht gesagt, nicht zum Ausdruck gebracht zu werden.

Wird zu einem Zeichen [Formel 1] , [Formel 2] keine Wertenreihe als die von dem
x zu durchlaufende ausdrücklich angeführt, so findet gewöhnlich einer
von den folgenden beiden Fällen statt:

Entweder diese Wertenreihe ist in unser Belieben gestellt; für
den ersten, zweiten, dritten, etc. Wert derselben können wir jedesmal
ein individuelles Gebiet nach Gutdünken nehmen, auch ist es gleich-
gültig ob die Reihe unbegrenzt fortgesetzt oder irgendwo abgebrochen
wird; auch die Anzahl der Werte steht dahin. Solches war in der
That bei den allgemeinen Sätzen der Fall, welche wir vorhin zu-
sammengestellt haben.

Oder diese Wertenreihe ist eine bestimmte, die Werte sind (wenn
auch ihre Reihenfolge als belanglos offen gelassen sein mag) in ihrer
Gesamtheit gegeben, durch eine allgemeine Abmachung ein für allemal
festgesetzt.

Bei den von Anfang als Rekapitulation der Sätze des identischen
Kalkuls in diesem Paragraphen gegebenen Formeln (welche überhaupt
Zeichen S oder P enthalten -- vergl. (2), 7) .. 11), 43), 47), 48) Zus.,
50) und 51) -- war das letztere der Fall, und zwar sollte die von
der Variabeln x zu durchlaufende Wertenreihe bestehen aus allen denk-
baren Gebieten, die Variable sollte sämtliche Gebiete oder Klassen der
Mannigfaltigkeit hier stets als Bedeutung nacheinander untergelegt be-
kommen (wobei Wiederholungen nicht einmal ausgeschlossen, aber be-
langlos).

Stellt nun Fx eine das Gebiet x betreffende Aussage vor, so wird
die Aussage
[Formel 3] als ein identisches Produkt von Aussagen der Def. gemäss aussagen,
dass die Aussagen Fa, Fb, Fc, ... gleichzeitig wahr seien, m. a. W. dass
die Aussage Fx sowol für x = a, als auch für x = b, x = c, etc. gelte.
Und das Urteil

§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.
brauchen sie dann nach dem Tautologiegesetze nicht wiederholt zu
werden]. Etc. (den Rest sich noch einfacher zu schreiben überlassen
wir dem Leser).

Jedenfalls tritt durch solches Preisgeben des Beiwerks der Kern
der Sätze besser hervor. Da es für die Geltung dieser Sätze gleich-
gültig ist, wie viele es der von a oder b beiderseits zu durchlaufenden
Werte sein und wie diese Werte heissen sollen, so braucht letzteres in
den Sätzen auch nicht gesagt, nicht zum Ausdruck gebracht zu werden.

Wird zu einem Zeichen [Formel 1] , [Formel 2] keine Wertenreihe als die von dem
x zu durchlaufende ausdrücklich angeführt, so findet gewöhnlich einer
von den folgenden beiden Fällen statt:

Entweder diese Wertenreihe ist in unser Belieben gestellt; für
den ersten, zweiten, dritten, etc. Wert derselben können wir jedesmal
ein individuelles Gebiet nach Gutdünken nehmen, auch ist es gleich-
gültig ob die Reihe unbegrenzt fortgesetzt oder irgendwo abgebrochen
wird; auch die Anzahl der Werte steht dahin. Solches war in der
That bei den allgemeinen Sätzen der Fall, welche wir vorhin zu-
sammengestellt haben.

Oder diese Wertenreihe ist eine bestimmte, die Werte sind (wenn
auch ihre Reihenfolge als belanglos offen gelassen sein mag) in ihrer
Gesamtheit gegeben, durch eine allgemeine Abmachung ein für allemal
festgesetzt.

Bei den von Anfang als Rekapitulation der Sätze des identischen
Kalkuls in diesem Paragraphen gegebenen Formeln (welche überhaupt
Zeichen Σ oder Π enthalten — vergl. (2), 7) ‥ 11), 43), 47), 48) Zus.,
50) und 51) — war das letztere der Fall, und zwar sollte die von
der Variabeln x zu durchlaufende Wertenreihe bestehen aus allen denk-
baren Gebieten, die Variable sollte sämtliche Gebiete oder Klassen der
Mannigfaltigkeit hier stets als Bedeutung nacheinander untergelegt be-
kommen (wobei Wiederholungen nicht einmal ausgeschlossen, aber be-
langlos).

Stellt nun Fx eine das Gebiet x betreffende Aussage vor, so wird
die Aussage
[Formel 3] als ein identisches Produkt von Aussagen der Def. gemäss aussagen,
dass die Aussagen Fa, Fb, Fc, … gleichzeitig wahr seien, m. a. W. dass
die Aussage Fx sowol für x = a, als auch für x = b, x = c, etc. gelte.
Und das Urteil

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[41/0065] § 30. Fortsetzung über Σ, Π. brauchen sie dann nach dem Tautologiegesetze nicht wiederholt zu werden]. Etc. (den Rest sich noch einfacher zu schreiben überlassen wir dem Leser). Jedenfalls tritt durch solches Preisgeben des Beiwerks der Kern der Sätze besser hervor. Da es für die Geltung dieser Sätze gleich- gültig ist, wie viele es der von a oder b beiderseits zu durchlaufenden Werte sein und wie diese Werte heissen sollen, so braucht letzteres in den Sätzen auch nicht gesagt, nicht zum Ausdruck gebracht zu werden. Wird zu einem Zeichen [FORMEL], [FORMEL] keine Wertenreihe als die von dem x zu durchlaufende ausdrücklich angeführt, so findet gewöhnlich einer von den folgenden beiden Fällen statt: Entweder diese Wertenreihe ist in unser Belieben gestellt; für den ersten, zweiten, dritten, etc. Wert derselben können wir jedesmal ein individuelles Gebiet nach Gutdünken nehmen, auch ist es gleich- gültig ob die Reihe unbegrenzt fortgesetzt oder irgendwo abgebrochen wird; auch die Anzahl der Werte steht dahin. Solches war in der That bei den allgemeinen Sätzen der Fall, welche wir vorhin zu- sammengestellt haben. Oder diese Wertenreihe ist eine bestimmte, die Werte sind (wenn auch ihre Reihenfolge als belanglos offen gelassen sein mag) in ihrer Gesamtheit gegeben, durch eine allgemeine Abmachung ein für allemal festgesetzt. Bei den von Anfang als Rekapitulation der Sätze des identischen Kalkuls in diesem Paragraphen gegebenen Formeln (welche überhaupt Zeichen Σ oder Π enthalten — vergl. (2), 7) ‥ 11), 43), 47), 48) Zus., 50) und 51) — war das letztere der Fall, und zwar sollte die von der Variabeln x zu durchlaufende Wertenreihe bestehen aus allen denk- baren Gebieten, die Variable sollte sämtliche Gebiete oder Klassen der Mannigfaltigkeit hier stets als Bedeutung nacheinander untergelegt be- kommen (wobei Wiederholungen nicht einmal ausgeschlossen, aber be- langlos). Stellt nun Fx eine das Gebiet x betreffende Aussage vor, so wird die Aussage [FORMEL] als ein identisches Produkt von Aussagen der Def. gemäss aussagen, dass die Aussagen Fa, Fb, Fc, … gleichzeitig wahr seien, m. a. W. dass die Aussage Fx sowol für x = a, als auch für x = b, x = c, etc. gelte. Und das Urteil

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/65>, abgerufen am 27.11.2024.