Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

In diesem hatten wir uns der "intensiven" Schreibung bedient und
haben lediglich zu thun gehabt mit den drei identischen Spezies der Multi-
plikation, Addition und Negation. In Anhang 4, 5 und 6 aber studirten
wir den Kalkul mit "Gruppen" von Funktionalgleichungen, Algorithmen
und Kalkuln, (sowie mit "Gruppen" überhaupt,) indem wir uns der "exten-
siven" Schreibung bedienten, bei welcher das Produkt der intensiven als
Summe sich darstellte. Die Funktionalgleichungen waren aber blos eine
gewisse Kategorie von Aussagen, und der fragliche Gruppenkalkul mochte,
wie schon bei dessen Begründung Bd. 1, S. 618 angedeutet wurde, auch
geradezu als "Aussagenkalkul" schlechtweg aufgefasst werden. Die besondre
Natur des gewählten Gruppensubstrates, nämlich der Funktionalgleichungen,
brachte es mit sich, dass die Operationen der Negation und identischen
Addition (in intensiver Deutung, nämlich der Alternativenbildung) als
interesselos ausser Betracht blieben. Dafür aber drängte sich eine neue
Operation oder Knüpfungsweise in den Vordergrund des Interesses, die wir
extensiv schreibend als Multiplikation hinstellten, die wir aber, falls wir
jetzt einmal bei der intensiven Schreibung des gewöhnlichen Aussagenkalkuls
bleiben wollen, mit einem neuen, von + und · verschiedenen Knüpfungs-
zeichen darstellen werden. Wählen wir etwa ein Ringelchen , gelesen:
(verknüpft) "mit", so wird, wenn A und B nun Aussagen (konstanten
Sinnes) bedeuten, zur Verneinung A1 und den Knüpfungen A B und A + B
der beiden Aussagen, als simultan bez. alternativ geltender, das Knüpfungs-
ergebniss A B mit einer bestimmten Bedeutung hinzutreten, welche dann
noch durch gewisse Nebenbestimmungen verschiedentlich regulirt werden
kann. Und zwar wäre solche Regulirung logisch auf viererlei Weisen
denkbar, von welchen aber nicht a priori ersichtlich ist, ob sie sämtlich
sich haltbar erweisen, ob sei einen präzisen Sinn liefern und konsequent
durchgeführt werden können; vielmehr steht dies nur von einer dieser
Regulirungen von vornherein fest. -- Es hätte nämlich A B zu bedeuten
die Gesamtheit derjenigen Urteile, welche die sämtlichen denknotwendigen
Folgerungen der Aussage A äusserlich gemein haben mit denen der Aus-
sage B, -- sei es schlechtweg, absolut genommen, sei es auch relativ,
nämlich innerhalb eines Aussagenfeldes oder Universums U, das blos aus
den Aussagen von einer bestimmt vorgeschriebenen Form besteht, die als
Konsequenzen von A, B, ... in Betracht gezogen werden, -- und zwar
die "denknotwendigen Konsequenzen" entweder im absoluten Sinne, an sich,
ohne, oder im relativen Sinne, mit Bezugnahme auf ein axiomatisch an-
erkanntes System von "Prinzipien P" verstanden. Mit den beiden ein-
schränkenden Relativitäten ist, wie unsere Anhänge geoffenbart haben, die
Begriffsbestimmung sicherlich eine zulässige, der vollkommensten Präzision
nicht ermangelnde. Und sofern sich ein gleiches auch für die drei andern
Kombinationen (zwischen absolut und relativ in der einen und in der
andern Hinsicht) herausstellen sollte, haben wir in Gestalt von A B
jedenfalls eine Knüpfung vor uns, die für sich betrachtet eindeutig, kommu-

In diesem hatten wir uns der „intensiven“ Schreibung bedient und
haben lediglich zu thun gehabt mit den drei identischen Spezies der Multi-
plikation, Addition und Negation. In Anhang 4, 5 und 6 aber studirten
wir den Kalkul mit „Gruppen“ von Funktionalgleichungen, Algorithmen
und Kalkuln, (sowie mit „Gruppen“ überhaupt,) indem wir uns der „exten-
siven“ Schreibung bedienten, bei welcher das Produkt der intensiven als
Summe sich darstellte. Die Funktionalgleichungen waren aber blos eine
gewisse Kategorie von Aussagen, und der fragliche Gruppenkalkul mochte,
wie schon bei dessen Begründung Bd. 1, S. 618 angedeutet wurde, auch
geradezu als „Aussagenkalkul“ schlechtweg aufgefasst werden. Die besondre
Natur des gewählten Gruppensubstrates, nämlich der Funktionalgleichungen,
brachte es mit sich, dass die Operationen der Negation und identischen
Addition (in intensiver Deutung, nämlich der Alternativenbildung) als
interesselos ausser Betracht blieben. Dafür aber drängte sich eine neue
Operation oder Knüpfungsweise in den Vordergrund des Interesses, die wir
extensiv schreibend als Multiplikation hinstellten, die wir aber, falls wir
jetzt einmal bei der intensiven Schreibung des gewöhnlichen Aussagenkalkuls
bleiben wollen, mit einem neuen, von + und · verschiedenen Knüpfungs-
zeichen darstellen werden. Wählen wir etwa ein Ringelchen ∘, gelesen:
(verknüpft) „mit“, so wird, wenn A und B nun Aussagen (konstanten
Sinnes) bedeuten, zur Verneinung A1 und den Knüpfungen A B und A + B
der beiden Aussagen, als simultan bez. alternativ geltender, das Knüpfungs-
ergebniss A ∘ B mit einer bestimmten Bedeutung hinzutreten, welche dann
noch durch gewisse Nebenbestimmungen verschiedentlich regulirt werden
kann. Und zwar wäre solche Regulirung logisch auf viererlei Weisen
denkbar, von welchen aber nicht a priori ersichtlich ist, ob sie sämtlich
sich haltbar erweisen, ob sei einen präzisen Sinn liefern und konsequent
durchgeführt werden können; vielmehr steht dies nur von einer dieser
Regulirungen von vornherein fest. — Es hätte nämlich A ∘ B zu bedeuten
die Gesamtheit derjenigen Urteile, welche die sämtlichen denknotwendigen
Folgerungen der Aussage A äusserlich gemein haben mit denen der Aus-
sage B, — sei es schlechtweg, absolut genommen, sei es auch relativ,
nämlich innerhalb eines Aussagenfeldes oder Universums U, das blos aus
den Aussagen von einer bestimmt vorgeschriebenen Form besteht, die als
Konsequenzen von A, B, … in Betracht gezogen werden, — und zwar
die „denknotwendigen Konsequenzen“ entweder im absoluten Sinne, an sich,
ohne, oder im relativen Sinne, mit Bezugnahme auf ein axiomatisch an-
erkanntes System von „Prinzipien P“ verstanden. Mit den beiden ein-
schränkenden Relativitäten ist, wie unsere Anhänge geoffenbart haben, die
Begriffsbestimmung sicherlich eine zulässige, der vollkommensten Präzision
nicht ermangelnde. Und sofern sich ein gleiches auch für die drei andern
Kombinationen (zwischen absolut und relativ in der einen und in der
andern Hinsicht) herausstellen sollte, haben wir in Gestalt von A ∘ B
jedenfalls eine Knüpfung vor uns, die für sich betrachtet eindeutig, kommu-