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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Siebenundzwanzigste Vorlesung.

Schreibt man:
[Formel 1] = p' a b + q' a b1 + r' a1 b + s' a1 b1,
so ist
p' = r1 u1 + p u, q' = s1 u1 + q u, r' = r u1 + p1 u, s' = s u1 + q1 u
und man erkennt unmittelbar (oder auch durch Elimination von p, q,
r, s, wobei u von selbst herausfällt,):
p' = r'1, q' = s'1;
also ist [Formel 2] von der Form:
[Formel 3] = r'1 a b + s'1 a b1 + r' a1 b + s' a1 b1. --

Ebenso gibt die Gleichung b x = a:
(p1 a b + r1 a b1 + p a1 b + r a1 b1) x + (q1 a b + s1 a b1 + q a1 b + s a1 b1) x1 = 0,
mit der Resultante:
p1 q1 a b + r1 s1 a b1 + p q a1 b + r s a1 b1 = 0
und der Auflösung:
a b = x = (q1 u1 + p u) a b + (s1 u1 + r u) a b1 + (q u1 + p1 u) a1 b +
+ (s u1 + r1 u) a1 b1;
es ist also auch a b von der Form
a b = r'1 a b + s'1 a b1 + r' a1 b + s' a1 b1.
Überhaupt ergibt sich alles auf a b bezügliche aus dem über [Formel 4] eru-
irten einfachst, indem man q mit r vertauscht.

b) Die allgemeinste assoziative Knüpfung im identischen Kalkul
soll jetzt ermittelt werden, -- mithin die "Lösung" (der Funktional-
gleichung) des Algorithmus
b1) a (b c) = (a b) c = a b c.

Wir erhalten gemäss a1):
(a b) c = p (a b) c + q (a b) c1 + r (a b) c + s (a b) c1 =
= (p + r) a b c + (p q + p1 s) a b c1 + (p q + q1 r) a b1 c +
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+ (p r + p1 s) a1 b c + (q r + q1 s) a1 b c1 + (r + s) a1 b1 c + r s a1 b1 c1.

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

Schreibt man:
[Formel 1] = p' a b + q' a b1 + r' a1 b + s' a1 b1,
so ist
p' = r1 u1 + p u, q' = s1 u1 + q u, r' = r u1 + p1 u, s' = s u1 + q1 u
und man erkennt unmittelbar (oder auch durch Elimination von p, q,
r, s, wobei u von selbst herausfällt,):
p' = r'1, q' = s'1;
also ist [Formel 2] von der Form:
[Formel 3] = r'1 a b + s'1 a b1 + r' a1 b + s' a1 b1. —

Ebenso gibt die Gleichung b ∘ x = a:
(p1 a b + r1 a b1 + p a1 b + r a1 b1) x + (q1 a b + s1 a b1 + q a1 b + s a1 b1) x1 = 0,
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a ⦂ b = r'1 a b + s'1 a b1 + r' a1 b + s' a1 b1.
Überhaupt ergibt sich alles auf a ⦂ b bezügliche aus dem über [Formel 4] eru-
irten einfachst, indem man q mit r vertauscht.

β) Die allgemeinste assoziative Knüpfung im identischen Kalkul
soll jetzt ermittelt werden, — mithin die „Lösung“ (der Funktional-
gleichung) des Algorithmus
β1) a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c = a ∘ b ∘ c.

Wir erhalten gemäss α1):
(a ∘ b) ∘ c = p (a ∘ b) c + q (a ∘ b) c1 + r (a̅ ∘̅ b̅) c + s (a̅ ∘̅ b̅) c1 =
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[494/0138] Siebenundzwanzigste Vorlesung. Schreibt man: [FORMEL] = p' a b + q' a b1 + r' a1 b + s' a1 b1, so ist p' = r1 u1 + p u, q' = s1 u1 + q u, r' = r u1 + p1 u, s' = s u1 + q1 u und man erkennt unmittelbar (oder auch durch Elimination von p, q, r, s, wobei u von selbst herausfällt,): p' = r'1, q' = s'1; also ist [FORMEL] von der Form: [FORMEL] = r'1 a b + s'1 a b1 + r' a1 b + s' a1 b1. — Ebenso gibt die Gleichung b ∘ x = a: (p1 a b + r1 a b1 + p a1 b + r a1 b1) x + (q1 a b + s1 a b1 + q a1 b + s a1 b1) x1 = 0, mit der Resultante: p1 q1 a b + r1 s1 a b1 + p q a1 b + r s a1 b1 = 0 und der Auflösung: a ⦂ b = x = (q1 u1 + p u) a b + (s1 u1 + r u) a b1 + (q u1 + p1 u) a1 b + + (s u1 + r1 u) a1 b1; es ist also auch a ⦂ b von der Form a ⦂ b = r'1 a b + s'1 a b1 + r' a1 b + s' a1 b1. Überhaupt ergibt sich alles auf a ⦂ b bezügliche aus dem über [FORMEL] eru- irten einfachst, indem man q mit r vertauscht. β) Die allgemeinste assoziative Knüpfung im identischen Kalkul soll jetzt ermittelt werden, — mithin die „Lösung“ (der Funktional- gleichung) des Algorithmus β1) a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c = a ∘ b ∘ c. Wir erhalten gemäss α1): (a ∘ b) ∘ c = p (a ∘ b) c + q (a ∘ b) c1 + r (a̅ ∘̅ b̅) c + s (a̅ ∘̅ b̅) c1 = = (p + r) a b c + (p q + p1 s) a b c1 + (p q + q1 r) a b1 c + + (q + s) a b1 c1 + p r a1 b c + (q r + r1 s) a1 b c1 + + (p s + r s1) a1 b1 c + q s a1 b1 c1, a ∘ (b ∘ c) = p a (b ∘ c) + q a (b̅ ∘̅ c̅) + r a1 (b ∘ c) + s a1 (b̅ ∘̅ c̅) = = (p + q) a b c + p q a b c1 + (p r + q r1) a b1 c + (p s + q s1) a b1 c1 + + (p r + p1 s) a1 b c + (q r + q1 s) a1 b c1 + (r + s) a1 b1 c + r s a1 b1 c1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 494. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/138>, abgerufen am 27.11.2024.