Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. x y und x y z bleiben bei dieser Annahme unverändert; dagegenwird einfacher: x y z u = (p x u + q x u1 + r x1 u + s x1 u1) (y z + y1 z1) + + (a' x u + b' x u1 + g' x1 u + h' x1 u1) (y z1 + y1 z), x y z u v = = (a x v + b x v1 + e x1 v + f x1 v1) (y z u + y z1 u1 + y1 z u1 + y1 z1 u) + + (c x v + d x v1 + g x1 v + h x1 v1) (y z u1 + y z1 u + y1 z u + y1 z1 u1), x y z u v w = = (p x w + q x w1 + r x1 w + s x1 w1) · · (y z u v + y z u1 v1 + y z1 u v1 + y z1 u1 v + y1 z u v1 + y1 z u1 v + y1 z1 u v + y1 z1 u1 v1) + + (a' x w + b' x w1 + g' x1 w + h' x1 w1) · · (y z u v1 + y z u1 v + y z1 u v + y1 z u v + y z1 u1 v1 + y1 z u1 v1 + y1 z1 u v1 + y1 z1 u1 v), und so weiter! Das symbolische Produkt x y ... u v w beliebig vieler
man sich die identische 1 nach diesen y, ... u, v entwickelt, und be- zeichnet man die eine Hälfte dieser Entwicklung, nämlich die Summe derjenigen Entwicklungsglieder, welche eine gerade Anzahl (0, 2, 4, ...) Negate aufweisen, also y ... u v + y ... u1 v1 + ..., durch deren erstes Glied mit vorgesetztem Summenzeichen, und ebenso entsprechend die andere Hälfte, so gilt für eine gerade Zahl von symbolischen Faktoren: x y ... u v w = (x w) S y ... u v + (x [Formel 4] w) S y ... u v1, für eine ungerade Zahl dagegen: x y ... u v w = (x [Formel 5] w) S y ... u v + (x [Formel 6] w) S y ... u v1. Die vier Knüpfungen b11) sollen einander "konjugirte" heissen, die § 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. x ∘ y und x ∘ y ∘ z bleiben bei dieser Annahme unverändert; dagegenwird einfacher: x ∘ y ∘ z ∘ u = (p x u + q x u1 + r x1 u + s x1 u1) (y z + y1 z1) + + (a' x u + b' x u1 + g' x1 u + h' x1 u1) (y z1 + y1 z), x ∘ y ∘ z ∘ u ∘ v = = (a x v + b x v1 + e x1 v + f x1 v1) (y z u + y z1 u1 + y1 z u1 + y1 z1 u) + + (c x v + d x v1 + g x1 v + h x1 v1) (y z u1 + y z1 u + y1 z u + y1 z1 u1), x ∘ y ∘ z ∘ u ∘ v ∘ w = = (p x w + q x w1 + r x1 w + s x1 w1) · · (y z u v + y z u1 v1 + y z1 u v1 + y z1 u1 v + y1 z u v1 + y1 z u1 v + y1 z1 u v + y1 z1 u1 v1) + + (a' x w + b' x w1 + g' x1 w + h' x1 w1) · · (y z u v1 + y z u1 v + y z1 u v + y1 z u v + y z1 u1 v1 + y1 z u1 v1 + y1 z1 u v1 + y1 z1 u1 v), und so weiter! Das symbolische Produkt x ∘ y ∘ … ∘ u ∘ v ∘ w beliebig vieler
man sich die identische 1 nach diesen y, … u, v entwickelt, und be- zeichnet man die eine Hälfte dieser Entwicklung, nämlich die Summe derjenigen Entwicklungsglieder, welche eine gerade Anzahl (0, 2, 4, …) Negate aufweisen, also y … u v + y … u1 v1 + …, durch deren erstes Glied mit vorgesetztem Summenzeichen, und ebenso entsprechend die andere Hälfte, so gilt für eine gerade Zahl von symbolischen Faktoren: x ∘ y ∘ … ∘ u ∘ v ∘ w = (x ∘ w) Σ y … u v + (x [Formel 4] w) Σ y … u v1, für eine ungerade Zahl dagegen: x ∘ y ∘ … ∘ u ∘ v ∘ w = (x [Formel 5] w) Σ y … u v + (x [Formel 6] w) Σ y … u v1. Die vier Knüpfungen β11) sollen einander „konjugirte“ heissen, die <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0145" n="501"/><fw place="top" type="header">§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.</fw><lb/><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> und <hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> ∘ <hi rendition="#i">z</hi> bleiben bei dieser Annahme unverändert; dagegen<lb/> wird einfacher:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> ∘ <hi rendition="#i">z</hi> ∘ <hi rendition="#i">u</hi> = (<hi rendition="#i">p x u</hi> + <hi rendition="#i">q x u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">s x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">y z</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) +<lb/> + (<hi rendition="#i">a</hi>' <hi rendition="#i">x u</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>' <hi rendition="#i">x u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g</hi>' <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">h</hi>' <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi>),<lb/><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> ∘ <hi rendition="#i">z</hi> ∘ <hi rendition="#i">u</hi> ∘ <hi rendition="#i">v</hi> =<lb/> = (<hi rendition="#i">a x v</hi> + <hi rendition="#i">b x v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">e x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> + <hi rendition="#i">f x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">y z u</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi>) +<lb/> + (<hi rendition="#i">c x v</hi> + <hi rendition="#i">d x v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> + <hi rendition="#i">h x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">y z u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z u</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),<lb/><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> ∘ <hi rendition="#i">z</hi> ∘ <hi rendition="#i">u</hi> ∘ <hi rendition="#i">v</hi> ∘ <hi rendition="#i">w</hi> =<lb/> = (<hi rendition="#i">p x w</hi> + <hi rendition="#i">q x w</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi> + <hi rendition="#i">s x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) ·<lb/> · (<hi rendition="#i">y z u v</hi> + <hi rendition="#i">y z u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u v</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) +<lb/> + (<hi rendition="#i">a</hi>' <hi rendition="#i">x w</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>' <hi rendition="#i">x w</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g</hi>' <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi> + <hi rendition="#i">h</hi>' <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) ·<lb/> · (<hi rendition="#i">y z u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y z u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u v</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z u v</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi>),</hi><lb/> und so weiter!</p><lb/> <p>Das symbolische Produkt <hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> ∘ … ∘ <hi rendition="#i">u</hi> ∘ <hi rendition="#i">v</hi> ∘ <hi rendition="#i">w</hi> beliebig vieler<lb/> Argumente stellt sich offenbar hier stets dar als Binom zweier (iden-<lb/> tischer) Produkte aus je zwei Faktoren, von denen der eine das erste<lb/> Argument <hi rendition="#i">x</hi> mit dem letzten <hi rendition="#i">w</hi> verknüpft nach einem der vier<lb/> Knüpfungsschemata:<lb/><list rend="braced"><head><hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">11</hi>)</head><item><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">w</hi> = <hi rendition="#i">p x w</hi> + <hi rendition="#i">q x w</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi> + <hi rendition="#i">s x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/><hi rendition="#i">x <formula/> w</hi> = <hi rendition="#i">a</hi>' <hi rendition="#i">x w</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>' <hi rendition="#i">x w</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g</hi>' <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi> + <hi rendition="#i">h</hi>' <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/><hi rendition="#i">x <formula/> w</hi> = <hi rendition="#i">a x w</hi> + <hi rendition="#i">b x w</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">e x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi> + <hi rendition="#i">f x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/><hi rendition="#i">x <formula/> w</hi> = <hi rendition="#i">c x w</hi> + <hi rendition="#i">d x w</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">g x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi> + <hi rendition="#i">h x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">w</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi></item></list><lb/> während der andere die übrigen Argumente <hi rendition="#i">y</hi>, … <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi> enthält. Denkt<lb/> man sich die identische 1 nach diesen <hi rendition="#i">y</hi>, … <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi> entwickelt, und be-<lb/> zeichnet man die eine Hälfte dieser Entwicklung, nämlich die Summe<lb/> derjenigen Entwicklungsglieder, welche eine <hi rendition="#i">gerade</hi> Anzahl (0, 2, 4, …)<lb/> Negate aufweisen, also <hi rendition="#i">y</hi> … <hi rendition="#i">u v</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> … <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">v</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + …, durch deren erstes<lb/> Glied mit vorgesetztem Summenzeichen, und ebenso entsprechend<lb/> die andere Hälfte, so gilt für eine <hi rendition="#i">gerade</hi> Zahl von symbolischen<lb/> Faktoren:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> ∘ … ∘ <hi rendition="#i">u</hi> ∘ <hi rendition="#i">v</hi> ∘ <hi rendition="#i">w</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">w</hi>) <hi rendition="#i">Σ y</hi> … <hi rendition="#i">u v</hi> + (<hi rendition="#i">x <formula/> w</hi>) <hi rendition="#i">Σ y</hi> … <hi rendition="#i">u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/> für eine <hi rendition="#i">ungerade</hi> Zahl dagegen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> ∘ … ∘ <hi rendition="#i">u</hi> ∘ <hi rendition="#i">v</hi> ∘ <hi rendition="#i">w</hi> = (<hi rendition="#i">x <formula/> w</hi>) <hi rendition="#i">Σ y</hi> … <hi rendition="#i">u v</hi> + (<hi rendition="#i">x <formula/> w</hi>) <hi rendition="#i">Σ y</hi> … <hi rendition="#i">u v</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</hi></p><lb/> <p>Die vier Knüpfungen <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">11</hi>) sollen einander „<hi rendition="#i">konjugirte</hi>“ heissen, die<lb/> drei letzten auch „der ersten <hi rendition="#i">zugeordnet</hi>“.</p><lb/> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [501/0145]
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
x ∘ y und x ∘ y ∘ z bleiben bei dieser Annahme unverändert; dagegen
wird einfacher:
x ∘ y ∘ z ∘ u = (p x u + q x u1 + r x1 u + s x1 u1) (y z + y1 z1) +
+ (a' x u + b' x u1 + g' x1 u + h' x1 u1) (y z1 + y1 z),
x ∘ y ∘ z ∘ u ∘ v =
= (a x v + b x v1 + e x1 v + f x1 v1) (y z u + y z1 u1 + y1 z u1 + y1 z1 u) +
+ (c x v + d x v1 + g x1 v + h x1 v1) (y z u1 + y z1 u + y1 z u + y1 z1 u1),
x ∘ y ∘ z ∘ u ∘ v ∘ w =
= (p x w + q x w1 + r x1 w + s x1 w1) ·
· (y z u v + y z u1 v1 + y z1 u v1 + y z1 u1 v + y1 z u v1 + y1 z u1 v + y1 z1 u v + y1 z1 u1 v1) +
+ (a' x w + b' x w1 + g' x1 w + h' x1 w1) ·
· (y z u v1 + y z u1 v + y z1 u v + y1 z u v + y z1 u1 v1 + y1 z u1 v1 + y1 z1 u v1 + y1 z1 u1 v),
und so weiter!
Das symbolische Produkt x ∘ y ∘ … ∘ u ∘ v ∘ w beliebig vieler
Argumente stellt sich offenbar hier stets dar als Binom zweier (iden-
tischer) Produkte aus je zwei Faktoren, von denen der eine das erste
Argument x mit dem letzten w verknüpft nach einem der vier
Knüpfungsschemata:
β11) x ∘ w = p x w + q x w1 + r x1 w + s x1 w1
x [FORMEL] w = a' x w + b' x w1 + g' x1 w + h' x1 w1
x [FORMEL] w = a x w + b x w1 + e x1 w + f x1 w1
x [FORMEL] w = c x w + d x w1 + g x1 w + h x1 w1,
während der andere die übrigen Argumente y, … u, v enthält. Denkt
man sich die identische 1 nach diesen y, … u, v entwickelt, und be-
zeichnet man die eine Hälfte dieser Entwicklung, nämlich die Summe
derjenigen Entwicklungsglieder, welche eine gerade Anzahl (0, 2, 4, …)
Negate aufweisen, also y … u v + y … u1 v1 + …, durch deren erstes
Glied mit vorgesetztem Summenzeichen, und ebenso entsprechend
die andere Hälfte, so gilt für eine gerade Zahl von symbolischen
Faktoren:
x ∘ y ∘ … ∘ u ∘ v ∘ w = (x ∘ w) Σ y … u v + (x [FORMEL] w) Σ y … u v1,
für eine ungerade Zahl dagegen:
x ∘ y ∘ … ∘ u ∘ v ∘ w = (x [FORMEL] w) Σ y … u v + (x [FORMEL] w) Σ y … u v1.
Die vier Knüpfungen β11) sollen einander „konjugirte“ heissen, die
drei letzten auch „der ersten zugeordnet“.
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/145 |
Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 501. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/145>, abgerufen am 18.02.2025. |