Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.Siebenundzwanzigste Vorlesung. Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder g) Distributiver Zusammenhang. Welches sind die Bedingungen Es wird Siebenundzwanzigste Vorlesung. Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder γ) Distributiver Zusammenhang. Welches sind die Bedingungen Es wird <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <pb facs="#f0146" n="502"/> <fw place="top" type="header">Siebenundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/> <p>Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder<lb/> symbolische Multiplikationen; denn die Charakteristik <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">2</hi>) ist erfüllt<lb/> wie für die erste derselben:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">s</hi> + (<hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">s</hi>) (<hi rendition="#i">q r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r</hi>) = 0,</hi><lb/> so auch für die ihr zugeordneten Knüpfungen:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi>'<hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">h</hi>' + (<hi rendition="#i">a</hi>'<hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">h</hi>') (<hi 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Multiplikation und<lb/> Addition bezeichnet werden mögen:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">p x y</hi> + <hi rendition="#i">q x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">s x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/><hi rendition="#i">x <g ref="addhook"/> y</hi> = <hi rendition="#i">a x y</hi> + <hi rendition="#i">b x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/> in dem distributiven Zusammenhang stehen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> ∘ (<hi rendition="#i">y <g ref="addhook"/> z</hi>) = <hi rendition="#i">x</hi> ∘ <hi rendition="#i">y <g ref="addhook"/> x</hi> ∘ <hi 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Siebenundzwanzigste Vorlesung.
Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder
symbolische Multiplikationen; denn die Charakteristik β2) ist erfüllt
wie für die erste derselben:
p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) = 0,
so auch für die ihr zugeordneten Knüpfungen:
a'1 h' + (a'1 + h') (b' g'1 + b'1 g') = 0
a1 f + (a1 + f) (b e1 + b1 e) = 0
c1 h + (c1 + h) (d g1 + d1 g) = 0,
wie man leicht nachrechnet.
γ) Distributiver Zusammenhang. Welches sind die Bedingungen
dafür, dass zwei Knüpfungen, die als symbolische Multiplikation und
Addition bezeichnet werden mögen:
x ∘ y = p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1
x y = a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1,
in dem distributiven Zusammenhang stehen:
x ∘ (y z) = x ∘ y x ∘ z?
Es wird
x ∘ (y z) = (p x + r x1) (a y z + b y z1 + c y1 z + d y1 z1 +
+ (q x + s x1) (a1 y z + b1 y z1 + c1 y1 z + d1 y1 z1) =
= (a p + a1 q) x y z + (b p + b1 q) x y z1 +
+ (c p + c1 q) x y1 z + (d p + d1 q) x y1 z1 +
+ (a r + a1 s) x1 y z + (b r + b1 s) x1 y z1 +
+ (c r + c1 s) x1 y1 z + (d r + d1 s) x1 y1 z1,
und andrerseits
x ∘ y x ∘ z =
= a (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p x z + q x z1 + r x1 z + s x1 z1) +
+ b (p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1) (p1 x z + q1 x z1 + r1 x1 z + s1 x1 z1) +
+ c (p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1) (p x z + q x z1 + r x1 z + s x1 z1) +
+ d (p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1) (p1 x z + q1 x z1 + r1 x1 z + s1 x1 z1) =
= a (p y + q y1) (p z + q z1) x + a (r y + s y1) (r z + s z1) x1 +
+ b (p y + q y1) (p1 z + q1 z1) x + b (r y + s y1) (r1 z + s1 z1) x1 +
+ c (p1 y + q1 y1) (p z + q z1) x + c (r1 y + s1 y1) (r z + s z1) x1 +
+ d (p1 y + q1 y1) (p1 z + q1 z1) x + d (r1 y + s1 y1) (r1 z + s1 z1) x1 =
= (a p + d p1) x y z + (a p q + b p q1 + c p1 q + d p1 q1) x y z1 +
+ (a p q + c p q1 + b p1 q + d p1 q1) x y1 z + (a q + d q1) x y1 z1 +
+ (a r + d r1) x1 y z + (a r s + b r s1 + c r1 s + d r1 s1) x1 y z1 +
+ (a r s + c r s1 + b r1 s + d r1 s1) x1 y1 z + (a s + d s1) x1 y1 z1.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 502. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/146>, abgerufen am 18.02.2025. |