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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.

Zur Übung fordert McColl auf, für das positive Zahlengebiet die folgenden
Aussagenäquivalenzen zu beweisen:
p (x2 + y2 -- a2) = p (y -- [Formel 1] ) p' (x -- a) + p (x -- a),
p' (x2 + y2 -- a2) = p' (y -- [Formel 2] ) p' (x -- a).

Andeutung des Beweises. Entweder ist x > a, d. h. es gilt p (x -- a).
Weil ohnehin a > 0 gedacht wurde, gilt dann nach o) auch x x > a a oder
x2 -- a2 > 0, um so mehr auch x2 + y2 -- a2 > 0, d. h. p (x2 + y2 -- a2).

Oder es ist x < a; dann gilt p' (x -- a) und kann man zerlegen:
x2 + y2 -- a2 = (y + [Formel 3] ) (y -- [Formel 4] ),
die dann reelle Wurzel positiv verstanden. Da der erste Faktor rechts von
selbst positiv, somit p (y + [Formel 5] ) = 1 ist, so ist das Positivsein des
zweiten Faktors notwendige und hinreichende Bedingung für das der linken
Seite. Etc.

Soll dagegen x2 + y2 -- a2 < 0 sein, so muss um so mehr auch
x2 -- a2 < 0, und wie leicht indirekt zu beweisen, dann jedenfalls auch
x -- a < 0, d. h. p' (x -- a) gelten. Ausserdem muss aber nach der obigen
Zerlegung auch y -- [Formel 6] < 0 sein oder p' (y -- [Formel 7] ) gelten. Und
umgekehrt, wenn diese beiden Annahmen zugleich gelten, so gilt auch
p' (x2 + y2 -- a2). Etc. Nach diesen Andeutungen ist der Beweis der beiden
Sätze leicht aussagenrechnerisch in aller Form -- wenn man will, ganz
pedantisch -- durchzuführen.

Eine andre Übungsaufgabe McColl's: für das reelle Zahlengebiet die
Äquivalenz darzuthun
p (x + y) = p (x) p (y) + p' (x) p (y2 -- x2) + p' (y) p (x2 -- y2)
überlassen wir ganz dem Leser. --

Besteht für eine Variable x bei gegebenem a die Bedingung:
p (x -- a), oder also: x > a,
so nennen wir a eine "untere Grenze" für (oder von) x. Besteht dagegen
eine Bedingung:
p' (x -- b), oder also: x < b,
so nennen wir b eine "obere Grenze" für x.

Weil x = x -- 0, so wird insbesondere, wenn x die Anforderung
p (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine untere, und wenn es die Anforderung
p' (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine obere Grenze zu bezeichnen sein.

Ist x Integrationsvariable in einem mehrfachen Integrale, so werden
für dieselbe zumeist mehrere untere und mehrere obere Grenzen an-
gebbar sein als von x nicht unterschreitbare, resp. nicht zu über-
schreitende Zahlen, und diese "konkurrirenden" Grenzen einer jeden
Sorte (die unteren sowol als die oberen) werden selbst mannigfach

Anhang 7.

Zur Übung fordert McColl auf, für das positive Zahlengebiet die folgenden
Aussagenäquivalenzen zu beweisen:
p (x2 + y2 — a2) = p (y — [Formel 1] ) p' (x — a) + p (x — a),
p' (x2 + y2 — a2) = p' (y — [Formel 2] ) p' (x — a).

Andeutung des Beweises. Entweder ist x > a, d. h. es gilt p (x — a).
Weil ohnehin a > 0 gedacht wurde, gilt dann nach ο) auch x x > a a oder
x2 — a2 > 0, um so mehr auch x2 + y2 — a2 > 0, d. h. p (x2 + y2 — a2).

Oder es ist x < a; dann gilt p' (x — a) und kann man zerlegen:
x2 + y2 — a2 = (y + [Formel 3] ) (y — [Formel 4] ),
die dann reelle Wurzel positiv verstanden. Da der erste Faktor rechts von
selbst positiv, somit p (y + [Formel 5] ) = 1̇ ist, so ist das Positivsein des
zweiten Faktors notwendige und hinreichende Bedingung für das der linken
Seite. Etc.

Soll dagegen x2 + y2 — a2 < 0 sein, so muss um so mehr auch
x2 — a2 < 0, und wie leicht indirekt zu beweisen, dann jedenfalls auch
x — a < 0, d. h. p' (x — a) gelten. Ausserdem muss aber nach der obigen
Zerlegung auch y — [Formel 6] < 0 sein oder p' (y — [Formel 7] ) gelten. Und
umgekehrt, wenn diese beiden Annahmen zugleich gelten, so gilt auch
p' (x2 + y2 — a2). Etc. Nach diesen Andeutungen ist der Beweis der beiden
Sätze leicht aussagenrechnerisch in aller Form — wenn man will, ganz
pedantisch — durchzuführen.

Eine andre Übungsaufgabe McColl’s: für das reelle Zahlengebiet die
Äquivalenz darzuthun
p (x + y) = p (x) p (y) + p' (x) p (y2 — x2) + p' (y) p (x2 — y2)
überlassen wir ganz dem Leser. —

Besteht für eine Variable x bei gegebenem a die Bedingung:
p (x — a), oder also: x > a,
so nennen wir a eine „untere Grenze“ für (oder von) x. Besteht dagegen
eine Bedingung:
p' (x — b), oder also: x < b,
so nennen wir b eine „obere Grenze“ für x.

Weil x = x — 0, so wird insbesondere, wenn x die Anforderung
p (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine untere, und wenn es die Anforderung
p' (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine obere Grenze zu bezeichnen sein.

Ist x Integrationsvariable in einem mehrfachen Integrale, so werden
für dieselbe zumeist mehrere untere und mehrere obere Grenzen an-
gebbar sein als von x nicht unterschreitbare, resp. nicht zu über-
schreitende Zahlen, und diese „konkurrirenden“ Grenzen einer jeden
Sorte (die unteren sowol als die oberen) werden selbst mannigfach

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[526/0170] Anhang 7. Zur Übung fordert McColl auf, für das positive Zahlengebiet die folgenden Aussagenäquivalenzen zu beweisen: p (x2 + y2 — a2) = p (y — [FORMEL]) p' (x — a) + p (x — a), p' (x2 + y2 — a2) = p' (y — [FORMEL]) p' (x — a). Andeutung des Beweises. Entweder ist x > a, d. h. es gilt p (x — a). Weil ohnehin a > 0 gedacht wurde, gilt dann nach ο) auch x x > a a oder x2 — a2 > 0, um so mehr auch x2 + y2 — a2 > 0, d. h. p (x2 + y2 — a2). Oder es ist x < a; dann gilt p' (x — a) und kann man zerlegen: x2 + y2 — a2 = (y + [FORMEL]) (y — [FORMEL]), die dann reelle Wurzel positiv verstanden. Da der erste Faktor rechts von selbst positiv, somit p (y + [FORMEL]) = 1̇ ist, so ist das Positivsein des zweiten Faktors notwendige und hinreichende Bedingung für das der linken Seite. Etc. Soll dagegen x2 + y2 — a2 < 0 sein, so muss um so mehr auch x2 — a2 < 0, und wie leicht indirekt zu beweisen, dann jedenfalls auch x — a < 0, d. h. p' (x — a) gelten. Ausserdem muss aber nach der obigen Zerlegung auch y — [FORMEL] < 0 sein oder p' (y — [FORMEL]) gelten. Und umgekehrt, wenn diese beiden Annahmen zugleich gelten, so gilt auch p' (x2 + y2 — a2). Etc. Nach diesen Andeutungen ist der Beweis der beiden Sätze leicht aussagenrechnerisch in aller Form — wenn man will, ganz pedantisch — durchzuführen. Eine andre Übungsaufgabe McColl’s: für das reelle Zahlengebiet die Äquivalenz darzuthun p (x + y) = p (x) p (y) + p' (x) p (y2 — x2) + p' (y) p (x2 — y2) überlassen wir ganz dem Leser. — Besteht für eine Variable x bei gegebenem a die Bedingung: p (x — a), oder also: x > a, so nennen wir a eine „untere Grenze“ für (oder von) x. Besteht dagegen eine Bedingung: p' (x — b), oder also: x < b, so nennen wir b eine „obere Grenze“ für x. Weil x = x — 0, so wird insbesondere, wenn x die Anforderung p (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine untere, und wenn es die Anforderung p' (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine obere Grenze zu bezeichnen sein. Ist x Integrationsvariable in einem mehrfachen Integrale, so werden für dieselbe zumeist mehrere untere und mehrere obere Grenzen an- gebbar sein als von x nicht unterschreitbare, resp. nicht zu über- schreitende Zahlen, und diese „konkurrirenden“ Grenzen einer jeden Sorte (die unteren sowol als die oberen) werden selbst mannigfach

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 526. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/170>, abgerufen am 21.11.2024.

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