Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Wenn man will, können auch alle jene Teilintegrale, die mit demselben
Vorzeichen in das Aggregat eingehen, gemeinsam -- mithin in zwei
Gruppen gesondert -- behandelt werden, und liefern dann eine Alternativ-
Aussage oder Aussagensumme, deren Glieder von der Art sind der jetzt
für J in's Auge zu fassenden Aussage.

Man stelle nunmehr die "Integralaussage" auf, welche den Inte-
grationsbereich bestimmt, und für unser J lautet:
A = (a < w < b) {ph (w) < x < ps (w)} {ps (w, x) < y < ps (w, x)}
{ph (w, x, y) < z < ps (w, x, y)}.
Beim nfachen Integrale wird dieselbe ein Produkt von n Doppel-
ungleichungen, oder, was dasselbe sagt, von 2 n Ungleichungen sein, --
im allgemeinsten Falle ein Aggregat von dergleichen Produkten.

Es könnte nämlich auch irgend welche von den successiven Inte-
grationen sich über getrennte (oder "diskrete") Intervalle von stetiger
Erfüllung zu erstrecken haben, z. B. das [Formel 1] d x · vertreten sein durch
[Formel 2] d x · + [Formel 3] d x · + ..., wo dann der zweite Faktor von A durch die Summe
{ph1 (w) < x < ps1 (w)} + {ph2 (w) < x < ps2 (w)} + ... zu ersetzen wäre,
und mit den andern ausmultiplizirt ein Polynom von Aussagen als "Inte-
gralaussage" liefern würde. Was weiter von A gesagt wird, ist auf jedes
Glied solchen Polynoms dann anzuwenden.

Wie üblich sollen beim mehrfachen Integrale die successiven Inte-
grationen und ihre Variabeln in der Richtung (von links nach rechts)
gezählt werden, in welcher sie geschrieben und gelesen werden. Die
Reihenfolge, in welcher die Integrationen ausgeführt werden müssen
und in welcher sie überhaupt stets ausgeführt zu denken sind, ist aber
die umgekehrte, sodass die "letzte" oder innerste Integration allemal
die zuerst auszuführende ist, die Integration nach der ersten Variabeln
auch die zuletzt auszuführende.

Unsere Aufgabe ist gelöst, wenn wir zeigen, wie man die Inte-
gration nach irgend einer vorgegebenen von den Integrationsvariabeln zur
innersten oder letzten machen kann -- z. B. die nach x.

Um die Integrationsordnung umzukehren, braucht man nämlich blos
die Integration nach w zur letzten zu machen, von den hernach dieser
vorausgehenden Integrationen hierauf die nach x und von den diesen
beiden vorausgehenden Integrationen endlich die nach y, so wird die Inte-
gration nach z von selbst auch zur ersten oder äussersten geworden sein.

Die Lösung der hiermit gekennzeichneten Aufgabe: die Aussage A

Wenn man will, können auch alle jene Teilintegrale, die mit demselben
Vorzeichen in das Aggregat eingehen, gemeinsam — mithin in zwei
Gruppen gesondert — behandelt werden, und liefern dann eine Alternativ-
Aussage oder Aussagensumme, deren Glieder von der Art sind der jetzt
für J in’s Auge zu fassenden Aussage.

Man stelle nunmehr die „Integralaussage“ auf, welche den Inte-
grationsbereich bestimmt, und für unser J lautet:
A = (a < w < b) {φ (w) < x < ψ (w)} {ψ (w, x) < y < ψ (w, x)}
{φ (w, x, y) < z < ψ (w, x, y)}.
Beim nfachen Integrale wird dieselbe ein Produkt von n Doppel-
ungleichungen, oder, was dasselbe sagt, von 2 n Ungleichungen sein, —
im allgemeinsten Falle ein Aggregat von dergleichen Produkten.

Es könnte nämlich auch irgend welche von den successiven Inte-
grationen sich über getrennte (oder „diskrete“) Intervalle von stetiger
Erfüllung zu erstrecken haben, z. B. das [Formel 1] d x · vertreten sein durch
[Formel 2] d x · + [Formel 3] d x · + …, wo dann der zweite Faktor von A durch die Summe
{φ1 (w) < x < ψ1 (w)} + {φ2 (w) < x < ψ2 (w)} + … zu ersetzen wäre,
und mit den andern ausmultiplizirt ein Polynom von Aussagen als „Inte-
gralaussage“ liefern würde. Was weiter von A gesagt wird, ist auf jedes
Glied solchen Polynoms dann anzuwenden.

Wie üblich sollen beim mehrfachen Integrale die successiven Inte-
grationen und ihre Variabeln in der Richtung (von links nach rechts)
gezählt werden, in welcher sie geschrieben und gelesen werden. Die
Reihenfolge, in welcher die Integrationen ausgeführt werden müssen
und in welcher sie überhaupt stets ausgeführt zu denken sind, ist aber
die umgekehrte, sodass die „letzte“ oder innerste Integration allemal
die zuerst auszuführende ist, die Integration nach der ersten Variabeln
auch die zuletzt auszuführende.

Unsere Aufgabe ist gelöst, wenn wir zeigen, wie man die Inte-
gration nach irgend einer vorgegebenen von den Integrationsvariabeln zur
innersten oder letzten machen kann — z. B. die nach x.

Um die Integrationsordnung umzukehren, braucht man nämlich blos
die Integration nach w zur letzten zu machen, von den hernach dieser
vorausgehenden Integrationen hierauf die nach x und von den diesen
beiden vorausgehenden Integrationen endlich die nach y, so wird die Inte-
gration nach z von selbst auch zur ersten oder äussersten geworden sein.

Die Lösung der hiermit gekennzeichneten Aufgabe: die Aussage A