Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
und indem wir uns die folgende "Grenzentabelle" anlegen:
x1 = ay1 = x -- a
x2 = 2 ay2 = x + a
x3 = y -- a
x4 = y + a
deren erste beiden Zeilen durch vorstehende Data direkt nahegelegt erscheinen,
wogegen sich die Fortsetzung mit der dritten und vierten Zeile erst (gleich
nachher) ergeben wird, so haben wir in der eingeführten Symbolik:
A = x2', 1 y2', 1.

Da es darauf ankommt, die Integration nach x zur erstauszuführenden
oder innern Integration zu machen, so werden wir die nach y "aufgelöst"
erscheinende Doppelungleichung y2', 1 = (x -- a < y < x + a) nun nach x
"auflösen", d. h. diese Variable aus ihr (in der Mitte) isoliren. Es ergibt
sich -- hier durch blosse Umstellung der Glieder nach bekannten Sätzen:
(x -- a < y < x + a) = (y -- a < x < y + a), oder
y2', 1 = x4', 3
womit nun auch jene Fortsetzung unsrer Grenzentabelle gewonnen ist. Dar-
nach ist:
A = x2',1 x4',3 = x2',4',1,3 = x2',4' x1,3
und haben wir nach Regel 2:
x2',4' = x2' a2' + x4, a4', wo a2' = p' (x2 -- x4) = (a -- y < 0)
a4' = p' (x4 -- x2) = (y -- a < 0)
sowie nach Regel 1:
x1,3 = x1 a1 + x3 a3, wo a1 = p (x1 -- x3) = (2 a -- y > 0)
a3 = p (x3 -- x1) = (y -- 2 a > 0)
mithin:
A = (x2' a2' + x4' a4') (x1 a1 + x3 a3) =
= x2',1 a2' a1 + x2',3 a2' a3 + x4',1 a4' a1 + x4',3 a4' a3;
[Formel 1] nach Regel 3 sollen den Koeffizienten rechts noch die darunter gesetzten
Faktoren beigesetzt werden, und wollen wir sie mit diesen vereinigt aus-
führlich hinschreiben, um dieselben nach y aufzubrechen; es ist:
a2' a1 p (x2 -- x1) = (y -- a > 0) (2 a -- y > 0) (a > 0) = (a < y < 2 a),
a2' a3 p (x2 -- x3) = (y -- a > 0) (y -- 2 a > 0) (3a -- y > 0) = (2 a < y < 3a),
a4' a1 p (x4 -- x1) = (a -- y > 0) (2 a -- y > 0) (y > 0) = (0 < y < a),
a4' a3 p (x4 -- x3) = (a -- y > 0) (y -- 2 a > 0) (2 a > 0) =
= (2 a < y < a) (a > 0) = 0,

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
und indem wir uns die folgende „Grenzentabelle“ anlegen:
x1 = ay1 = x — a
x2 = 2 ay2 = x + a
x3 = y — a
x4 = y + a
deren erste beiden Zeilen durch vorstehende Data direkt nahegelegt erscheinen,
wogegen sich die Fortsetzung mit der dritten und vierten Zeile erst (gleich
nachher) ergeben wird, so haben wir in der eingeführten Symbolik:
A = x2', 1 y2', 1.

Da es darauf ankommt, die Integration nach x zur erstauszuführenden
oder innern Integration zu machen, so werden wir die nach y „aufgelöst“
erscheinende Doppelungleichung y2', 1 = (x — a < y < x + a) nun nach x
„auflösen“, d. h. diese Variable aus ihr (in der Mitte) isoliren. Es ergibt
sich — hier durch blosse Umstellung der Glieder nach bekannten Sätzen:
(x — a < y < x + a) = (y — a < x < y + a), oder
y2', 1 = x4', 3
womit nun auch jene Fortsetzung unsrer Grenzentabelle gewonnen ist. Dar-
nach ist:
A = x2',1 x4',3 = x2',4',1,3 = x2',4' x1,3
und haben wir nach Regel 2:
x2',4' = x2' α2' + x4, α4', wo α2' = p' (x2 — x4) = (a — y < 0)
α4' = p' (x4 — x2) = (y — a < 0)
sowie nach Regel 1:
x1,3 = x1 α1 + x3 α3, wo α1 = p (x1 — x3) = (2 a — y > 0)
α3 = p (x3 — x1) = (y — 2 a > 0)
mithin:
A = (x2' α2' + x4' α4') (x1 α1 + x3 α3) =
= x2',1 α2' α1 + x2',3 α2' α3 + x4',1 α4' α1 + x4',3 α4' α3;
[Formel 1] nach Regel 3 sollen den Koeffizienten rechts noch die darunter gesetzten
Faktoren beigesetzt werden, und wollen wir sie mit diesen vereinigt aus-
führlich hinschreiben, um dieselben nach y aufzubrechen; es ist:
α2' α1 p (x2 — x1) = (y — a > 0) (2 a — y > 0) (a > 0) = (a < y < 2 a),
α2' α3 p (x2 — x3) = (y — a > 0) (y — 2 a > 0) (3a — y > 0) = (2 a < y < 3a),
α4' α1 p (x4 — x1) = (a — y > 0) (2 a — y > 0) (y > 0) = (0 < y < a),
α4' α3 p (x4 — x3) = (a — y > 0) (y — 2 a > 0) (2 a > 0) =
= (2 a < y < a) (a > 0) = 0,

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0185" n="541"/><fw place="top" type="header">McColl&#x2019;s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.</fw><lb/>
und indem wir uns die folgende &#x201E;<hi rendition="#i">Grenzentabelle</hi>&#x201C; anlegen:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a</hi></cell><cell><hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = 2 <hi rendition="#i">a</hi></cell><cell><hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi></cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi></cell><cell/></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">a</hi></cell><cell/></row><lb/></table> deren erste beiden Zeilen durch vorstehende Data direkt nahegelegt erscheinen,<lb/>
wogegen sich die Fortsetzung mit der dritten und vierten Zeile erst (gleich<lb/>
nachher) ergeben wird, so haben wir in der eingeführten Symbolik:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2', 1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">2', 1</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Da es darauf ankommt, die Integration nach <hi rendition="#i">x</hi> zur erstauszuführenden<lb/>
oder innern Integration zu machen, so werden wir die nach <hi rendition="#i">y</hi> &#x201E;aufgelöst&#x201C;<lb/>
erscheinende Doppelungleichung <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">2', 1</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi> &lt; <hi rendition="#i">y</hi> &lt; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) nun nach <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
&#x201E;auflösen&#x201C;, d. h. diese Variable aus ihr (in der Mitte) isoliren. Es ergibt<lb/>
sich &#x2014; hier durch blosse Umstellung der Glieder nach bekannten Sätzen:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi> &lt; <hi rendition="#i">y</hi> &lt; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi> &lt; <hi rendition="#i">x</hi> &lt; <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">a</hi>), oder<lb/><hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">2', 1</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4', 3</hi></hi><lb/>
womit nun auch jene Fortsetzung unsrer Grenzentabelle gewonnen ist. Dar-<lb/>
nach ist:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2',1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4',3</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2',4',1,3</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2',4'</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1,3</hi></hi><lb/>
und haben wir nach Regel 2:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2',4'</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">2'</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4,</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">4'</hi>, wo <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">2'</hi> = <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">y</hi> &lt; 0)<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">4'</hi> = <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi>) = (<hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi> &lt; 0)</hi><lb/>
sowie nach Regel 1:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1,3</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi>, wo <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> = <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) = (2 <hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">y</hi> &gt; 0)<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> = <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = (<hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; 2 <hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0)</hi><lb/>
mithin:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">A</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">2'</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">4'</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi>) =<lb/>
= <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2',1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">2'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2',3</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">2'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4',1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">4'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4',3</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">4'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi>;<lb/><formula/></hi> nach Regel 3 sollen den Koeffizienten rechts noch die darunter gesetzten<lb/>
Faktoren beigesetzt werden, und wollen wir sie mit diesen vereinigt aus-<lb/>
führlich hinschreiben, um dieselben nach <hi rendition="#i">y</hi> aufzubrechen; es ist:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">2'</hi><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = (<hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0) (2 <hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">y</hi> &gt; 0) <hi rendition="#u">(<hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0)</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> &lt; <hi rendition="#i">y</hi> &lt; 2 <hi rendition="#i">a</hi>),<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">2'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) = (<hi rendition="#u"><hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0</hi>) (<hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; 2 <hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0) (3<hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">y</hi> &gt; 0) = (2 <hi rendition="#i">a</hi> &lt; <hi rendition="#i">y</hi> &lt; 3<hi rendition="#i">a</hi>),<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">4'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">y</hi> &gt; 0) (<hi rendition="#u">2 <hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">y</hi> &gt; 0</hi>) (<hi rendition="#i">y</hi> &gt; 0) = (0 &lt; <hi rendition="#i">y</hi> &lt; <hi rendition="#i">a</hi>),<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">4'</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">4</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">y</hi> &gt; 0) (<hi rendition="#i">y</hi> &#x2014; 2 <hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0) (2 <hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0) =<lb/>
= (2 <hi rendition="#i">a</hi> &lt; <hi rendition="#i">y</hi> &lt; <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> &gt; 0) = 0,</hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[541/0185] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. und indem wir uns die folgende „Grenzentabelle“ anlegen: x1 = a y1 = x — a x2 = 2 a y2 = x + a x3 = y — a x4 = y + a deren erste beiden Zeilen durch vorstehende Data direkt nahegelegt erscheinen, wogegen sich die Fortsetzung mit der dritten und vierten Zeile erst (gleich nachher) ergeben wird, so haben wir in der eingeführten Symbolik: A = x2', 1 y2', 1. Da es darauf ankommt, die Integration nach x zur erstauszuführenden oder innern Integration zu machen, so werden wir die nach y „aufgelöst“ erscheinende Doppelungleichung y2', 1 = (x — a < y < x + a) nun nach x „auflösen“, d. h. diese Variable aus ihr (in der Mitte) isoliren. Es ergibt sich — hier durch blosse Umstellung der Glieder nach bekannten Sätzen: (x — a < y < x + a) = (y — a < x < y + a), oder y2', 1 = x4', 3 womit nun auch jene Fortsetzung unsrer Grenzentabelle gewonnen ist. Dar- nach ist: A = x2',1 x4',3 = x2',4',1,3 = x2',4' x1,3 und haben wir nach Regel 2: x2',4' = x2' α2' + x4, α4', wo α2' = p' (x2 — x4) = (a — y < 0) α4' = p' (x4 — x2) = (y — a < 0) sowie nach Regel 1: x1,3 = x1 α1 + x3 α3, wo α1 = p (x1 — x3) = (2 a — y > 0) α3 = p (x3 — x1) = (y — 2 a > 0) mithin: A = (x2' α2' + x4' α4') (x1 α1 + x3 α3) = = x2',1 α2' α1 + x2',3 α2' α3 + x4',1 α4' α1 + x4',3 α4' α3; [FORMEL] nach Regel 3 sollen den Koeffizienten rechts noch die darunter gesetzten Faktoren beigesetzt werden, und wollen wir sie mit diesen vereinigt aus- führlich hinschreiben, um dieselben nach y aufzubrechen; es ist: α2' α1 p (x2 — x1) = (y — a > 0) (2 a — y > 0) (a > 0) = (a < y < 2 a), α2' α3 p (x2 — x3) = (y — a > 0) (y — 2 a > 0) (3a — y > 0) = (2 a < y < 3a), α4' α1 p (x4 — x1) = (a — y > 0) (2 a — y > 0) (y > 0) = (0 < y < a), α4' α3 p (x4 — x3) = (a — y > 0) (y — 2 a > 0) (2 a > 0) = = (2 a < y < a) (a > 0) = 0,

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/185
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 541. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/185>, abgerufen am 18.12.2024.