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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.
wobei die unterstrichenen Faktoren je als durch die beiden andern mit-
bedingt oder aber nach der Voraussetzung a > 0 schon überflüssig unter-
drückt werden dürfen, der letzte Koeffizient aber als einen Widerspruch
(2 a < a) (a > 0) (2 < 1) involvirend, verschwindet. Demgemäss wird
denn auch von den vier Konstituenten:
x2',1 = (a < x < 2 a), x2',3 = (y -- a < x < 2 a), x4',1 = (a < x < y + a),
x4',3 = (y -- a < x < y + a)
der letzte ausser Betracht bleiben dürfen, wird ausfallen, und ist gefunden:
A = (a < y < 2 a) (a < x < 2 a) + (2 a < y < 3a) (y -- a < x < 2 a) +
+ (0 < y < a) (a < x < y + a)
was nach Voranstellung des dritten Gliedes die gesuchte Transformation
der Aussage A ist, die uns das Doppelintegral sogleich mit der umgekehrten
Integrationsfolge anzuschreiben gestattet, so wie sie oben S. 516 zum vor-
aus angegeben worden.

Hätten wir -- gelegentlich der letzten Operationen -- der Grenzen-
tabelle rechts noch die Werte angefügt:
y0 = 0, y3 = a, y4 = 2 a, y5 = 3a,
so würde die Aussage als ihren konzisesten Ausdruck diesen erhalten haben:
A = y3',0 x4',1 + y4',3 x2',1 + y5',4 x2' 3.

[Wie man sieht, tritt hier die Zahl y3 sowie y4 teils als untere teils
als obere Grenze auf, sodass die Unterscheidung von unteren und oberen
Grenzen mittelst ungerader und gerader Indices nicht vollkommen durch-
geführt ist. Auch bei y5, das nur als obere Grenze auftritt, sind wir von
dem Grundsatz abgewichen, weil bei Bezeichnung dieser Zahl mit y6 der
Index 5 übersprungen wäre. So werden wir denn an solchem Prinzip der
Nomenklatur auch inskünftige nicht unbedingt festhalten, wie sehr dasselbe
sich auch zur Schematisirung der allgemeinen Regeln empfohlen hatte.]

Nunmehr soll auch ein bedeutend komplizirteres Problem in exten-
so nach der Methode durchgerechnet werden.

Wir wählen die von McColl in 1) behandelte Muster-Aufgabe,
an welcher er seine Methode erstmalig auseinandersetzt, um dabei die
von ihm gegebene Lösung, wie sie dessen bedürftig ist, zu berichtigen.

Aufgabe: In dem vierfachen Integrale:
J = [Formel 1] d w [Formel 2] d x [Formel 3] d y [Formel 4] d z · f (w, x, y, z),
worin a > 0 gedacht sei, soll die Reihenfolge der Integrationen in die
entgegengesetzte verwandelt werden.

Als Endergebniss findet Herr McColl eine Summe von sieben vier-
fachen Integralen nach z, y, x, w, die sich durch ihre Grenzen soweit

Anhang 7.
wobei die unterstrichenen Faktoren je als durch die beiden andern mit-
bedingt oder aber nach der Voraussetzung a > 0 schon überflüssig unter-
drückt werden dürfen, der letzte Koeffizient aber als einen Widerspruch
(2 a < a) (a > 0) (2 < 1) involvirend, verschwindet. Demgemäss wird
denn auch von den vier Konstituenten:
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was nach Voranstellung des dritten Gliedes die gesuchte Transformation
der Aussage A ist, die uns das Doppelintegral sogleich mit der umgekehrten
Integrationsfolge anzuschreiben gestattet, so wie sie oben S. 516 zum vor-
aus angegeben worden.

Hätten wir — gelegentlich der letzten Operationen — der Grenzen-
tabelle rechts noch die Werte angefügt:
y0 = 0, y3 = a, y4 = 2 a, y5 = 3a,
so würde die Aussage als ihren konzisesten Ausdruck diesen erhalten haben:
A = y3',0 x4',1 + y4',3 x2',1 + y5',4 x2' 3.

[Wie man sieht, tritt hier die Zahl y3 sowie y4 teils als untere teils
als obere Grenze auf, sodass die Unterscheidung von unteren und oberen
Grenzen mittelst ungerader und gerader Indices nicht vollkommen durch-
geführt ist. Auch bei y5, das nur als obere Grenze auftritt, sind wir von
dem Grundsatz abgewichen, weil bei Bezeichnung dieser Zahl mit y6 der
Index 5 übersprungen wäre. So werden wir denn an solchem Prinzip der
Nomenklatur auch inskünftige nicht unbedingt festhalten, wie sehr dasselbe
sich auch zur Schematisirung der allgemeinen Regeln empfohlen hatte.]

Nunmehr soll auch ein bedeutend komplizirteres Problem in exten-
so nach der Methode durchgerechnet werden.

Wir wählen die von McColl in 1) behandelte Muster-Aufgabe,
an welcher er seine Methode erstmalig auseinandersetzt, um dabei die
von ihm gegebene Lösung, wie sie dessen bedürftig ist, zu berichtigen.

Aufgabe: In dem vierfachen Integrale:
J = [Formel 1] d w [Formel 2] d x [Formel 3] d y [Formel 4] d z · f (w, x, y, z),
worin a > 0 gedacht sei, soll die Reihenfolge der Integrationen in die
entgegengesetzte verwandelt werden.

Als Endergebniss findet Herr McColl eine Summe von sieben vier-
fachen Integralen nach z, y, x, w, die sich durch ihre Grenzen soweit

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[542/0186] Anhang 7. wobei die unterstrichenen Faktoren je als durch die beiden andern mit- bedingt oder aber nach der Voraussetzung a > 0 schon überflüssig unter- drückt werden dürfen, der letzte Koeffizient aber als einen Widerspruch (2 a < a) (a > 0) (2 < 1) involvirend, verschwindet. Demgemäss wird denn auch von den vier Konstituenten: x2',1 = (a < x < 2 a), x2',3 = (y — a < x < 2 a), x4',1 = (a < x < y + a), x4',3 = (y — a < x < y + a) der letzte ausser Betracht bleiben dürfen, wird ausfallen, und ist gefunden: A = (a < y < 2 a) (a < x < 2 a) + (2 a < y < 3a) (y — a < x < 2 a) + + (0 < y < a) (a < x < y + a) was nach Voranstellung des dritten Gliedes die gesuchte Transformation der Aussage A ist, die uns das Doppelintegral sogleich mit der umgekehrten Integrationsfolge anzuschreiben gestattet, so wie sie oben S. 516 zum vor- aus angegeben worden. Hätten wir — gelegentlich der letzten Operationen — der Grenzen- tabelle rechts noch die Werte angefügt: y0 = 0, y3 = a, y4 = 2 a, y5 = 3a, so würde die Aussage als ihren konzisesten Ausdruck diesen erhalten haben: A = y3',0 x4',1 + y4',3 x2',1 + y5',4 x2' 3. [Wie man sieht, tritt hier die Zahl y3 sowie y4 teils als untere teils als obere Grenze auf, sodass die Unterscheidung von unteren und oberen Grenzen mittelst ungerader und gerader Indices nicht vollkommen durch- geführt ist. Auch bei y5, das nur als obere Grenze auftritt, sind wir von dem Grundsatz abgewichen, weil bei Bezeichnung dieser Zahl mit y6 der Index 5 übersprungen wäre. So werden wir denn an solchem Prinzip der Nomenklatur auch inskünftige nicht unbedingt festhalten, wie sehr dasselbe sich auch zur Schematisirung der allgemeinen Regeln empfohlen hatte.] Nunmehr soll auch ein bedeutend komplizirteres Problem in exten- so nach der Methode durchgerechnet werden. Wir wählen die von McColl in 1) behandelte Muster-Aufgabe, an welcher er seine Methode erstmalig auseinandersetzt, um dabei die von ihm gegebene Lösung, wie sie dessen bedürftig ist, zu berichtigen. Aufgabe: In dem vierfachen Integrale: J = [FORMEL] d w [FORMEL] d x [FORMEL] d y [FORMEL] d z · f (w, x, y, z), worin a > 0 gedacht sei, soll die Reihenfolge der Integrationen in die entgegengesetzte verwandelt werden. Als Endergebniss findet Herr McColl eine Summe von sieben vier- fachen Integralen nach z, y, x, w, die sich durch ihre Grenzen soweit

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 542. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/186>, abgerufen am 21.11.2024.