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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.

Ebendarum ist auch
1 = p (xk -- xl) + p (xl -- xk);
denkt man sich nun diese Gleichung angesetzt für alle erdenklichen Paare
von unter sich verschiedenen x-Grössen x1, x3, x5, ... und überschiebend
mit einander multiplizirt:
m1) 1 = {p (x1 -- x3) + p (x3 -- x1)} {p (x1 -- x5) + p (x5 -- x1)}.
· {p (x3 -- x5) + p (x5 -- x3)} ...
so muss daraus die Gleichung z1) 1 = a1 + a3 + a5 + ... entstehen, (aus
welcher dann g1) leicht abzuleiten sein wird,) -- wofern man nur in m1)
rechterhand ausmultiplizirt, die kraft ps) etc. verschwindenden Terme des
ausmultiplizirten Produktes fortlässt, und bei den stehen bleibenden die
"überflüssigen" Faktoren ("redundant" factors) unterdrückt, die kraft des
Absorptionsgesetzes in den übrigen eingehen.

Um dies einzusehen, hätte man, wenn n die Anzahl der unteren
Grenzen oder Symbole der x-Reihe ist, von den [Formel 1] Faktoren in
m1) [Formel 2] Partialprodukte im Geiste durchzugehen. Dieser Gedanke,
dessen Ausführung sich freilich meist umständlich gestalten dürfte, lässt
sich immerhin allgemein in folgender Weise verwirklichen.

Irgend ein Glied von z1), z. B. a1, wird in m1) aus denjenigen n -- 1
von den [Formel 3] binomischen Faktoren entstehen, in welchen das Zahlen-
symbol x1 vorkommt; und zwar wird, wenn wir uns diese n -- 1 Faktoren
zunächst für sich ausmultiplizirt denken, a1, als eines der 2n -- 1 Partial-
produkte, herrühren von den Binomgliedern der Form p (x1 -- xl), in
welchen x1 hinter p als Minuend steht. Im Gesamtprodukt von m1) findet
sich dann jedes dieser 2n -- 1 Partialprodukte, darunter also auch a1, noch
multiplizirt mit allen übrigen [Formel 4] binomischen Faktoren von m1),
in welchen x1 nicht vorkommt, -- deren jeder aber = 1 ist. Also
tritt a1 auch im Gesamtprodukt m1) als einzelner Term mit dem Koeffi-
zienten 1 auf.

Ebenso wie a1 lassen sich hierauf auch a3, sodann a5, u. s. w. in m1)
als besondere Glieder aussondern, unter Mitbenützung freilich von Faktoren
und Gliedern, die auch schon zur Bildung früherer a-Produkte Verwendung
fanden. Ungeachtet dieses letztern Umstandes dürfen wir -- wegen des
Tautologiegesetzes 14) -- nunmehr das expandirte Produkt m1) in der
Gestalt
a1 + a3 + a5 + ... + R
uns vorstellen, wenn hier unter dem Zeichen R die restirenden, noch zu
den a hinzutretenden Glieder zusammengefasst sind. z1) ist bewiesen, wenn
noch gezeigt ist, dass R = 0 wird.

Anhang 7.

Ebendarum ist auch
1̇ = p (xϰ — xλ) + p (xλ — xϰ);
denkt man sich nun diese Gleichung angesetzt für alle erdenklichen Paare
von unter sich verschiedenen x-Grössen x1, x3, x5, … und überschiebend
mit einander multiplizirt:
μ1) 1̇ = {p (x1 — x3) + p (x3 — x1)} {p (x1 — x5) + p (x5 — x1)}.
· {p (x3 — x5) + p (x5 — x3)} …
so muss daraus die Gleichung ζ1) 1̇ = α1 + α3 + α5 + … entstehen, (aus
welcher dann γ1) leicht abzuleiten sein wird,) — wofern man nur in μ1)
rechterhand ausmultiplizirt, die kraft ψ) etc. verschwindenden Terme des
ausmultiplizirten Produktes fortlässt, und bei den stehen bleibenden die
„überflüssigen“ Faktoren („redundant“ factors) unterdrückt, die kraft des
Absorptionsgesetzes in den übrigen eingehen.

Um dies einzusehen, hätte man, wenn n die Anzahl der unteren
Grenzen oder Symbole der x-Reihe ist, von den [Formel 1] Faktoren in
μ1) [Formel 2] Partialprodukte im Geiste durchzugehen. Dieser Gedanke,
dessen Ausführung sich freilich meist umständlich gestalten dürfte, lässt
sich immerhin allgemein in folgender Weise verwirklichen.

Irgend ein Glied von ζ1), z. B. α1, wird in μ1) aus denjenigen n — 1
von den [Formel 3] binomischen Faktoren entstehen, in welchen das Zahlen-
symbol x1 vorkommt; und zwar wird, wenn wir uns diese n — 1 Faktoren
zunächst für sich ausmultiplizirt denken, α1, als eines der 2n — 1 Partial-
produkte, herrühren von den Binomgliedern der Form p (x1 — xλ), in
welchen x1 hinter p als Minuend steht. Im Gesamtprodukt von μ1) findet
sich dann jedes dieser 2n — 1 Partialprodukte, darunter also auch α1, noch
multiplizirt mit allen übrigen [Formel 4] binomischen Faktoren von μ1),
in welchen x1 nicht vorkommt, — deren jeder aber = 1̇ ist. Also
tritt α1 auch im Gesamtprodukt μ1) als einzelner Term mit dem Koeffi-
zienten 1̇ auf.

Ebenso wie α1 lassen sich hierauf auch α3, sodann α5, u. s. w. in μ1)
als besondere Glieder aussondern, unter Mitbenützung freilich von Faktoren
und Gliedern, die auch schon zur Bildung früherer α-Produkte Verwendung
fanden. Ungeachtet dieses letztern Umstandes dürfen wir — wegen des
Tautologiegesetzes 1̅4̅) — nunmehr das expandirte Produkt μ1) in der
Gestalt
α1 + α3 + α5 + … + R
uns vorstellen, wenn hier unter dem Zeichen R die restirenden, noch zu
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[556/0200] Anhang 7. Ebendarum ist auch 1̇ = p (xϰ — xλ) + p (xλ — xϰ); denkt man sich nun diese Gleichung angesetzt für alle erdenklichen Paare von unter sich verschiedenen x-Grössen x1, x3, x5, … und überschiebend mit einander multiplizirt: μ1) 1̇ = {p (x1 — x3) + p (x3 — x1)} {p (x1 — x5) + p (x5 — x1)}. · {p (x3 — x5) + p (x5 — x3)} … so muss daraus die Gleichung ζ1) 1̇ = α1 + α3 + α5 + … entstehen, (aus welcher dann γ1) leicht abzuleiten sein wird,) — wofern man nur in μ1) rechterhand ausmultiplizirt, die kraft ψ) etc. verschwindenden Terme des ausmultiplizirten Produktes fortlässt, und bei den stehen bleibenden die „überflüssigen“ Faktoren („redundant“ factors) unterdrückt, die kraft des Absorptionsgesetzes in den übrigen eingehen. Um dies einzusehen, hätte man, wenn n die Anzahl der unteren Grenzen oder Symbole der x-Reihe ist, von den [FORMEL] Faktoren in μ1) [FORMEL] Partialprodukte im Geiste durchzugehen. Dieser Gedanke, dessen Ausführung sich freilich meist umständlich gestalten dürfte, lässt sich immerhin allgemein in folgender Weise verwirklichen. Irgend ein Glied von ζ1), z. B. α1, wird in μ1) aus denjenigen n — 1 von den [FORMEL] binomischen Faktoren entstehen, in welchen das Zahlen- symbol x1 vorkommt; und zwar wird, wenn wir uns diese n — 1 Faktoren zunächst für sich ausmultiplizirt denken, α1, als eines der 2n — 1 Partial- produkte, herrühren von den Binomgliedern der Form p (x1 — xλ), in welchen x1 hinter p als Minuend steht. Im Gesamtprodukt von μ1) findet sich dann jedes dieser 2n — 1 Partialprodukte, darunter also auch α1, noch multiplizirt mit allen übrigen [FORMEL] binomischen Faktoren von μ1), in welchen x1 nicht vorkommt, — deren jeder aber = 1̇ ist. Also tritt α1 auch im Gesamtprodukt μ1) als einzelner Term mit dem Koeffi- zienten 1̇ auf. Ebenso wie α1 lassen sich hierauf auch α3, sodann α5, u. s. w. in μ1) als besondere Glieder aussondern, unter Mitbenützung freilich von Faktoren und Gliedern, die auch schon zur Bildung früherer α-Produkte Verwendung fanden. Ungeachtet dieses letztern Umstandes dürfen wir — wegen des Tautologiegesetzes 1̅4̅) — nunmehr das expandirte Produkt μ1) in der Gestalt α1 + α3 + α5 + … + R uns vorstellen, wenn hier unter dem Zeichen R die restirenden, noch zu den α hinzutretenden Glieder zusammengefasst sind. ζ1) ist bewiesen, wenn noch gezeigt ist, dass R = 0 wird.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 556. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/200>, abgerufen am 21.11.2024.

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