Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über-
trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher
als bei den Integralen.

Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei
andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des
Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch
mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr
ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze
einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden;
es ist hier nicht gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst.

Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu
tragen sein:
Man definire: p (x -- a) = (a x), sonach p (x) = (0 x), und
p' (x -- a) = (x < a), p' (x) = (x < 0), wie früher; so wird jetzt p' (x)
exakt = p1 (x) = {p (x)}1 die Negation von p (x) sein, und ist das
frühere Verhältniss hergestellt.

Die "unteren" Summengrenzen für eine Summationsvariable x
treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen
wird man die oberen Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in-
klusive gerechnet werden sollen, je nur um 1 vermehrt in die Grenzen-
tafel und in die Aussagensymbole p eintreten lassen dürfen, um sie
zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende
mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an-
zuschreiben.

Darnach werden die drei McColl'schen Regeln, auf denen alle
Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und
seine Methode sofort anwendbar sein.

Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand
erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder-
lichkeit auf das Gebiet der ganzen Zahlen beschränkt und in diesem
angewiesen sind, stets eine Sequenz von solchen zu durchlaufen.

Beweis der Regel 1, Seite 528/9:
g1) x1, 3, 5, ... = x1 a1 + x3 a3 + x5 a5 + ...
sowie der zugehörigen Sätze e1), z1).

Zunächst ist e1) oder
ak al = 0 für k l
evident; denn ak enthält nach der Definition d1) den Faktor p (xk -- xl),
dagegen al den p (xl -- xk), und nach ps) ist:
p (xk -- xl) p (xl -- xk) = p (xk -- xl) p {-- (xk -- xl)} = 0.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über-
trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher
als bei den Integralen.

Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei
andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des
Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch
mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr
ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze
einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden;
es ist hier nicht gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst.

Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu
tragen sein:
Man definire: p (x — a) = (a x), sonach p (x) = (0 x), und
p' (x — a) = (x < a), p' (x) = (x < 0), wie früher; so wird jetzt p' (x)
exakt = p1 (x) = {p (x)}1 die Negation von p (x) sein, und ist das
frühere Verhältniss hergestellt.

Die „unteren“ Summengrenzen für eine Summationsvariable x
treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen
wird man die oberen Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in-
klusive gerechnet werden sollen, je nur um 1 vermehrt in die Grenzen-
tafel und in die Aussagensymbole p eintreten lassen dürfen, um sie
zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende
mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an-
zuschreiben.

Darnach werden die drei McColl’schen Regeln, auf denen alle
Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und
seine Methode sofort anwendbar sein.

Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand
erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder-
lichkeit auf das Gebiet der ganzen Zahlen beschränkt und in diesem
angewiesen sind, stets eine Sequenz von solchen zu durchlaufen.

Beweis der Regel 1, Seite 528/9:
γ1) x1, 3, 5, … = x1 α1 + x3 α3 + x5 α5 + …
sowie der zugehörigen Sätze ε1), ζ1).

Zunächst ist ε1) oder
αϰ αλ = 0 für ϰ ≠ λ
evident; denn αϰ enthält nach der Definition δ1) den Faktor p (xϰ — xλ),
dagegen αλ den p (xλ — xϰ), und nach ψ) ist:
p (xϰ — xλ) p (xλ — xϰ) = p (xϰ — xλ) p {— (xϰ — xλ)} = 0.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0199" n="555"/><fw place="top" type="header">McColl&#x2019;s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.</fw><lb/>
gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über-<lb/>
trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher<lb/>
als bei den Integralen.</p><lb/>
          <p>Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei<lb/>
andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des<lb/>
Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch<lb/>
mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr<lb/>
ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze<lb/>
einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden;<lb/>
es ist hier <hi rendition="#i">nicht</hi> gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst.</p><lb/>
          <p>Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu<lb/>
tragen sein:<lb/>
Man definire: <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">a <g ref="eqless"/> x</hi>), sonach <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) = (0 <g ref="eqless"/> <hi rendition="#i">x</hi>), und<lb/><hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> &lt; <hi rendition="#i">a</hi>), <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> &lt; 0), wie früher; so wird jetzt <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>)<lb/>
exakt = <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) = {<hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>)}<hi rendition="#sub">1</hi> die Negation von <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) sein, und ist das<lb/>
frühere Verhältniss hergestellt.</p><lb/>
          <p>Die &#x201E;unteren&#x201C; Summengrenzen für eine Summationsvariable <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen<lb/>
wird man die <hi rendition="#i">oberen</hi> Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in-<lb/>
klusive gerechnet werden sollen, je nur <hi rendition="#i">um 1 vermehrt</hi> in die Grenzen-<lb/>
tafel und in die Aussagensymbole <hi rendition="#i">p</hi> eintreten lassen dürfen, um sie<lb/>
zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende<lb/>
mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an-<lb/>
zuschreiben.</p><lb/>
          <p>Darnach werden die drei <hi rendition="#g">McColl&#x2019;</hi>schen Regeln, auf denen alle<lb/>
Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und<lb/>
seine Methode sofort anwendbar sein.</p><lb/>
          <p>Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand<lb/>
erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder-<lb/>
lichkeit auf das Gebiet der <hi rendition="#i">ganzen</hi> Zahlen beschränkt und in diesem<lb/>
angewiesen sind, stets eine <hi rendition="#i">Sequenz</hi> von solchen zu durchlaufen.</p><lb/>
          <milestone rendition="#hr" unit="section"/>
          <p><hi rendition="#i">Beweis der Regel 1</hi>, Seite 528/9:<lb/><hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1, 3, 5, &#x2026;</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">5</hi> + &#x2026;</hi><lb/>
sowie der zugehörigen Sätze <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), <hi rendition="#i">&#x03B6;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>).</p><lb/>
          <p>Zunächst ist <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) oder<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03B1;<hi rendition="#sup">&#x03F0;</hi> &#x03B1;<hi rendition="#sup">&#x03BB;</hi></hi> = 0 für <hi rendition="#i">&#x03F0;</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi></hi><lb/>
evident; denn <hi rendition="#i">&#x03B1;<hi rendition="#sup">&#x03F0;</hi></hi> enthält nach der Definition <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) den Faktor <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03F0;</hi></hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03BB;</hi></hi>),<lb/>
dagegen <hi rendition="#i">&#x03B1;<hi rendition="#sup">&#x03BB;</hi></hi> den <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03BB;</hi></hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03F0;</hi></hi>), und nach <hi rendition="#i">&#x03C8;</hi>) ist:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03F0;</hi></hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03BB;</hi></hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03BB;</hi></hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03F0;</hi></hi>) = <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03F0;</hi></hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03BB;</hi></hi>) <hi rendition="#i">p</hi> {&#x2014; (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03F0;</hi></hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">&#x03BB;</hi></hi>)} = 0.</hi></p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[555/0199] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über- trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher als bei den Integralen. Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden; es ist hier nicht gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst. Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu tragen sein: Man definire: p (x — a) = (a x), sonach p (x) = (0 x), und p' (x — a) = (x < a), p' (x) = (x < 0), wie früher; so wird jetzt p' (x) exakt = p1 (x) = {p (x)}1 die Negation von p (x) sein, und ist das frühere Verhältniss hergestellt. Die „unteren“ Summengrenzen für eine Summationsvariable x treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen wird man die oberen Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in- klusive gerechnet werden sollen, je nur um 1 vermehrt in die Grenzen- tafel und in die Aussagensymbole p eintreten lassen dürfen, um sie zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an- zuschreiben. Darnach werden die drei McColl’schen Regeln, auf denen alle Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und seine Methode sofort anwendbar sein. Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder- lichkeit auf das Gebiet der ganzen Zahlen beschränkt und in diesem angewiesen sind, stets eine Sequenz von solchen zu durchlaufen. Beweis der Regel 1, Seite 528/9: γ1) x1, 3, 5, … = x1 α1 + x3 α3 + x5 α5 + … sowie der zugehörigen Sätze ε1), ζ1). Zunächst ist ε1) oder αϰ αλ = 0 für ϰ ≠ λ evident; denn αϰ enthält nach der Definition δ1) den Faktor p (xϰ — xλ), dagegen αλ den p (xλ — xϰ), und nach ψ) ist: p (xϰ — xλ) p (xλ — xϰ) = p (xϰ — xλ) p {— (xϰ — xλ)} = 0.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/199
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 555. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/199>, abgerufen am 21.11.2024.