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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
gestellt als Produkt zweier flacher Tetraden, nämlich einer vom ersten
und einer vom zweiten Typus der unter u) zusammengestellten denk-
baren flachen Tetraden:
erster Typus: a · 3, b · 3, c · 3, d · 3,
zweiter Typus: a b · 2, a c · 2, a b · 2;
es ist dann leicht zu erkennen, dass man die 4 x 3 Triaden sämtlich
erhält, indem man jede der vier Formen vom ersten Typus mit den dreien
des zweiten Typus der Reihe nach multiplizirt. So ergibt sich aus
den vier Formen des ersten Typus mit einer, der ersten, vom zweiten
Typus:
(a · 3) (a b · 2) = (a · c d)
(b · 3) (a b · 2) = (b · c d)
(c · 3) (a b · 2) = (c · a b)
(d · 3) (a b · 2) = (d · a b),
eine Tetrade linearer Triaden, worin jede Kombination der vier Elemente
a, b, c, d zu dreien einmal vertreten ist, -- eine Triaden-Tetrade,
welche unseren Voraussetzungen ersichtlichermassen entspricht. Wie
die erste Form des zweiten Typus, so ergibt auch die zweite und
die dritte je eine solche Triaden-Tetrade: in zweien von den Tri-
aden werden die geraden Glieder übereinstimmend von dem einen
Paar von Elementen gebildet, in den beiden andern Triaden von dem
andern Elementepaar.

Tetraden anderer, zweiter Art erhält man, wenn man zwei Formen
des zweiten Typus mit zweien vom ersten verbindet, -- sofern daraus
keine Elementegleichheit hervorgeht. Nach t) ist nämlich z. B.
(a · b) = (a · 3) (b · 3) (a c · 2) (a d · 2)
wogegen wir schon in K 8 Seite 576
(a b · c) (b c · d) = (c · 3) (d · 3) (a b · 2) (a d · 2) = (a b · d) (a d · c)
vier Triaden hatten, von denen ein Paar das andere bedingt, und unter
denen jede der vier kollinearen Triaden von a, b, c, d einmal vertreten
ist; die "vier Triaden nach K 8" bilden einen Vertauschungszyklus:

[Formel 1] oder [Formel 2]

Man kann die 6 Paare der 4 Triaden ersten Typus mit den drei
Paaren von Triaden des zweiten Typus auf 3 x 6 Arten zusammenstellen.

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
gestellt als Produkt zweier flacher Tetraden, nämlich einer vom ersten
und einer vom zweiten Typus der unter υ) zusammengestellten denk-
baren flachen Tetraden:
erster Typus: a · 3, b · 3, c · 3, d · 3,
zweiter Typus: a b · 2, a c · 2, a b · 2;
es ist dann leicht zu erkennen, dass man die 4 × 3 Triaden sämtlich
erhält, indem man jede der vier Formen vom ersten Typus mit den dreien
des zweiten Typus der Reihe nach multiplizirt. So ergibt sich aus
den vier Formen des ersten Typus mit einer, der ersten, vom zweiten
Typus:
(a · 3) (a b · 2) = (a · c d)
(b · 3) (a b · 2) = (b · c d)
(c · 3) (a b · 2) = (c · a b)
(d · 3) (a b · 2) = (d · a b),
eine Tetrade linearer Triaden, worin jede Kombination der vier Elemente
a, b, c, d zu dreien einmal vertreten ist, — eine Triaden-Tetrade,
welche unseren Voraussetzungen ersichtlichermassen entspricht. Wie
die erste Form des zweiten Typus, so ergibt auch die zweite und
die dritte je eine solche Triaden-Tetrade: in zweien von den Tri-
aden werden die geraden Glieder übereinstimmend von dem einen
Paar von Elementen gebildet, in den beiden andern Triaden von dem
andern Elementepaar.

Tetraden anderer, zweiter Art erhält man, wenn man zwei Formen
des zweiten Typus mit zweien vom ersten verbindet, — sofern daraus
keine Elementegleichheit hervorgeht. Nach τ) ist nämlich z. B.
(a · b) = (a · 3) (b · 3) (a c · 2) (a d · 2)
wogegen wir schon in K 8 Seite 576
(a b · c) (b c · d) = (c · 3) (d · 3) (a b · 2) (a d · 2) = (a b · d) (a d · c)
vier Triaden hatten, von denen ein Paar das andere bedingt, und unter
denen jede der vier kollinearen Triaden von a, b, c, d einmal vertreten
ist; die „vier Triaden nach K 8“ bilden einen Vertauschungszyklus:

[Formel 1] oder [Formel 2]

Man kann die 6 Paare der 4 Triaden ersten Typus mit den drei
Paaren von Triaden des zweiten Typus auf 3 × 6 Arten zusammenstellen.

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[583/0227] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. gestellt als Produkt zweier flacher Tetraden, nämlich einer vom ersten und einer vom zweiten Typus der unter υ) zusammengestellten denk- baren flachen Tetraden: erster Typus: a · 3, b · 3, c · 3, d · 3, zweiter Typus: a b · 2, a c · 2, a b · 2; es ist dann leicht zu erkennen, dass man die 4 × 3 Triaden sämtlich erhält, indem man jede der vier Formen vom ersten Typus mit den dreien des zweiten Typus der Reihe nach multiplizirt. So ergibt sich aus den vier Formen des ersten Typus mit einer, der ersten, vom zweiten Typus: (a · 3) (a b · 2) = (a · c d) (b · 3) (a b · 2) = (b · c d) (c · 3) (a b · 2) = (c · a b) (d · 3) (a b · 2) = (d · a b), eine Tetrade linearer Triaden, worin jede Kombination der vier Elemente a, b, c, d zu dreien einmal vertreten ist, — eine Triaden-Tetrade, welche unseren Voraussetzungen ersichtlichermassen entspricht. Wie die erste Form des zweiten Typus, so ergibt auch die zweite und die dritte je eine solche Triaden-Tetrade: in zweien von den Tri- aden werden die geraden Glieder übereinstimmend von dem einen Paar von Elementen gebildet, in den beiden andern Triaden von dem andern Elementepaar. Tetraden anderer, zweiter Art erhält man, wenn man zwei Formen des zweiten Typus mit zweien vom ersten verbindet, — sofern daraus keine Elementegleichheit hervorgeht. Nach τ) ist nämlich z. B. (a · b) = (a · 3) (b · 3) (a c · 2) (a d · 2) wogegen wir schon in K 8 Seite 576 (a b · c) (b c · d) = (c · 3) (d · 3) (a b · 2) (a d · 2) = (a b · d) (a d · c) vier Triaden hatten, von denen ein Paar das andere bedingt, und unter denen jede der vier kollinearen Triaden von a, b, c, d einmal vertreten ist; die „vier Triaden nach K 8“ bilden einen Vertauschungszyklus: [FORMEL] oder [FORMEL] Man kann die 6 Paare der 4 Triaden ersten Typus mit den drei Paaren von Triaden des zweiten Typus auf 3 × 6 Arten zusammenstellen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 583. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/227>, abgerufen am 25.11.2024.