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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.

Dabei ergibt jedes Triadenpaar vom ersten Typus mit einem bestimmten
Paar des zweiten Typus je eine Elementegleichheit, und man erhält
auf diese Weise die 6 nach Voraussetzung ausgeschlossenen Gleichungen
a · b, a · c, ... c · d, nebst 12 Triaden-Tetraden "zweiter Art" oder
"Tetraden nach K 8".

Andere Tetraden aber als solche erster und zweiter Art kann es
unter den obigen Voraussetzungen nicht geben (K 127). Denn soll
vom zweiten Typus der flachen Elemente-Tetraden überhaupt mehr als
eine Form bestehen, so müssen mindestens deren zwei vom ersten
Typus hinzutreten, womit aber mindestens eine Triaden-Tetrade zweiter
Art gegeben ist; mit einer solchen kann dann keine weitere Triade
mehr zusammen bestehen, ohne dass irgend zwei Elemente einander
gleich werden.

Zieht man nun aber noch ein fünftes Element e unseres linearen
Systems in betracht, so dass zu den bisherigen 10 Einzelvoraussetzungen
über die ersten vier Elemente noch 10 weitere auf e bezügliche:
(a · e) (b · e) (c · e) (d · e) (a · b · e) (a · c · e ·) (a · d · e) (b · c · e) (b · d · e) (c · d · e)
hinzukommen, so ergibt eine leichte, wenn auch etwas umständliche
Überlegung, dass von den beiden nach dem bisherigen noch möglichen
Arten von Triaden-Tetraden zwischen je vieren von den fünf Elementen
die erste Art nicht mehr statt hat und nur noch die zweite Art der
Tetraden nach K 8 sich behauptet.

Nehmen wir nämlich an, es bestehe zwischen a, b, c, d eine Triaden-
Tetrade T erster Art:
T = (a · c d) (b · c d) (c · a b) (d · a b) = (a · 3) (b · 3) (c · 3) (d · 3) (a b · 2) =

=	(a · 4) (b · 4) (c · 4) (d · 4) (a e · 3) (b e · 3) (c e · 3) (d e · 3) (a b · 3) (c d · 3),

worin von allen 15 überhaupt denkbaren fünfgliedrigen flachen Systemen
(cf. u) nur noch eine vom ersten Typus und vier vom zweiten Typus fehlen,
nämlich
A = (e · 4), B = (a c · 3), C = (a d · 3), D = (b c · 3), E = (b d · 3).

Diese fünf Formen seien zur Abkürzung mit den beigesetzten Buch-
staben bezeichnet. Man sieht leicht, wie dieselben mit den 10 Elemente-
gleichungen nach t) zusammenhängen:

(a · b) B C D E

(a · c) C D
(b · c) B E
(a · e) A B C
(b · e) A D E

(a · d) B E
(b · d) C D
(c · e) A B D
(d · e) A C E.

(c · d) B C D E

Anhang 8.

Dabei ergibt jedes Triadenpaar vom ersten Typus mit einem bestimmten
Paar des zweiten Typus je eine Elementegleichheit, und man erhält
auf diese Weise die 6 nach Voraussetzung ausgeschlossenen Gleichungen
a · b, a · c, … c · d, nebst 12 Triaden-Tetraden „zweiter Art“ oder
„Tetraden nach K 8“.

Zieht man nun aber noch ein fünftes Element e unseres linearen
Systems in betracht, so dass zu den bisherigen 10 Einzelvoraussetzungen
über die ersten vier Elemente noch 10 weitere auf e bezügliche:
(a̅ ·̅ e̅) (b̅ ·̅ e̅) (c̅ ·̅ e̅) (d̅ ·̅ e̅) (a · b · e) (a · c · e ·) (a · d · e) (b · c · e) (b · d · e) (c · d · e)
hinzukommen, so ergibt eine leichte, wenn auch etwas umständliche
Überlegung, dass von den beiden nach dem bisherigen noch möglichen
Arten von Triaden-Tetraden zwischen je vieren von den fünf Elementen
die erste Art nicht mehr statt hat und nur noch die zweite Art der
Tetraden nach K 8 sich behauptet.

Nehmen wir nämlich an, es bestehe zwischen a, b, c, d eine Triaden-
Tetrade T erster Art:
T = (a · c d) (b · c d) (c · a b) (d · a b) = (a · 3) (b · 3) (c · 3) (d · 3) (a b · 2) =

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worin von allen 15 überhaupt denkbaren fünfgliedrigen flachen Systemen
(cf. υ) nur noch eine vom ersten Typus und vier vom zweiten Typus fehlen,
nämlich
A = (e · 4), B = (a c · 3), C = (a d · 3), D = (b c · 3), E = (b d · 3).

Diese fünf Formen seien zur Abkürzung mit den beigesetzten Buch-
staben bezeichnet. Man sieht leicht, wie dieselben mit den 10 Elemente-
gleichungen nach τ) zusammenhängen:

(a · b) B C D E

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[584/0228] Anhang 8. Dabei ergibt jedes Triadenpaar vom ersten Typus mit einem bestimmten Paar des zweiten Typus je eine Elementegleichheit, und man erhält auf diese Weise die 6 nach Voraussetzung ausgeschlossenen Gleichungen a · b, a · c, … c · d, nebst 12 Triaden-Tetraden „zweiter Art“ oder „Tetraden nach K 8“. Andere Tetraden aber als solche erster und zweiter Art kann es unter den obigen Voraussetzungen nicht geben (K 127). Denn soll vom zweiten Typus der flachen Elemente-Tetraden überhaupt mehr als eine Form bestehen, so müssen mindestens deren zwei vom ersten Typus hinzutreten, womit aber mindestens eine Triaden-Tetrade zweiter Art gegeben ist; mit einer solchen kann dann keine weitere Triade mehr zusammen bestehen, ohne dass irgend zwei Elemente einander gleich werden. Zieht man nun aber noch ein fünftes Element e unseres linearen Systems in betracht, so dass zu den bisherigen 10 Einzelvoraussetzungen über die ersten vier Elemente noch 10 weitere auf e bezügliche: (a̅ ·̅ e̅) (b̅ ·̅ e̅) (c̅ ·̅ e̅) (d̅ ·̅ e̅) (a · b · e) (a · c · e ·) (a · d · e) (b · c · e) (b · d · e) (c · d · e) hinzukommen, so ergibt eine leichte, wenn auch etwas umständliche Überlegung, dass von den beiden nach dem bisherigen noch möglichen Arten von Triaden-Tetraden zwischen je vieren von den fünf Elementen die erste Art nicht mehr statt hat und nur noch die zweite Art der Tetraden nach K 8 sich behauptet. Nehmen wir nämlich an, es bestehe zwischen a, b, c, d eine Triaden- Tetrade T erster Art: T = (a · c d) (b · c d) (c · a b) (d · a b) = (a · 3) (b · 3) (c · 3) (d · 3) (a b · 2) = =(a · 4) (b · 4) (c · 4) (d · 4) (a e · 3) (b e · 3) (c e · 3) (d e · 3) (a b · 3) (c d · 3), worin von allen 15 überhaupt denkbaren fünfgliedrigen flachen Systemen (cf. υ) nur noch eine vom ersten Typus und vier vom zweiten Typus fehlen, nämlich A = (e · 4), B = (a c · 3), C = (a d · 3), D = (b c · 3), E = (b d · 3). Diese fünf Formen seien zur Abkürzung mit den beigesetzten Buch- staben bezeichnet. Man sieht leicht, wie dieselben mit den 10 Elemente- gleichungen nach τ) zusammenhängen: (a · b) B C D E (a · c) C D (b · c) B E (a · e) A B C (b · e) A D E (a · d) B E (b · d) C D (c · e) A B D (d · e) A C E. (c · d) B C D E

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 584. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/228>, abgerufen am 25.11.2024.

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