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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.
von den bisherigen Voraussetzungen die eine ausscheidet, dass wir nur
mit Punkten eines geometrischen, bezw. eines erweiterten geometrischen
Systems zu thun hätten. Indessen auch dann verträgt sich eine flache
Tetrade a · b c d vom ersten Typus nicht mit einer solchen vom zweiten,
z. B. a b · c d, noch auch mit der obversen · a b c d ·, wegen
(a · b c d) (a b · c d) = (a · c d)
(a · b c d) (· a b c d ·) = {0 = (a + a1) b1 c1 d1 + (a1 + a) b c d} = (· b c d ·),
da noch, wie bisher, unter anderm (· a · c · d ·) und (· b · c · d ·) vorausgesetzt
bleibt.

Es bedeutet hier jede -- flache oder obverse -- Tetrade das
Vorhandensein je zweier Gruppen von Schnittpunkten für jedes der
drei Geradenpaare a b und c d, a c und b d, a d und b c; z. B., wie oben,
(a · 3) = S (a p · b) (· c d p ·) = S (a q · c) (· b d q ·) = S (a r · d) (· b c r ·)
= S (b p1 · a) (c d · p1) = S (c q1 · a) (b d · q1) = S (d r1 · a) (b c · r1),
wobei die Summationsvariabeln p, q, r bezw., wie auch im folgenden,
nicht besonders bezeichnet sind. Die p1-Gruppe enthält offenbar die
obversen der Punkte der p-Gruppe, usw. Das Zusammenfallen eines
Punktes x z. B. aus der p-Gruppe mit irgend einem aus der p1-Gruppe
(a x · b) (· c d x ·) (b x · a) (c d · x) = (a · b) (· c d ·)
würde gegen die Voraussetzungen (· a · b ·), (· c · d ·) verstossen.

Jede weitere hinzukommende Tetrade, z. B.
(b · a c d) = S (b p' · a) (· c d p' ·) = S (· a c q' ·) (b q' · d) = S (· a d r' ·) (b r' · c)
= S (a p'1 · b) (c d · p'1) = S (a c · q'1) (d q' 1 · b) = S (a d · r'1) (c r'1 · b)
bringt je ein weiteres (im allgemeinen anderes) Schnittpunkt-Gruppen-
paar mit sich für jedes der drei Geradenpaare. Indessen hat man auch:

(a · 3) (b · 3) = {0 = (a c1 + b d + a d + b c1) (a1 c + b1 d1 + a1 d1 + b1 c)
= (a + b) (c1 + d) (a1 + b1) (c + d1)
= (a c + b d1 + a d1 + b c) (a1 c1 + b1 d + a1 d + b1 c1)}
= S (a x · c) (· b d x ·) (· a d x ·) (b x · c) = S (· a c x' ·) (b x' · d) (a x' · d) (· b c x' ·)
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d. h. die q-Gruppe hat mit der r'-Gruppe gewisse Punkte x gemein,
ebenso die r-Gruppe mit der q'-Gruppe Punkte x', und entsprechendes
gilt von den obversen Gruppen; es gibt also bei zwei gleichzeitig
bestehenden (mit einander verträglichen) Tetraden gemeinsame Schnitt-
punkte für vier von den sechs Geraden.

Anhang 8.
von den bisherigen Voraussetzungen die eine ausscheidet, dass wir nur
mit Punkten eines geometrischen, bezw. eines erweiterten geometrischen
Systems zu thun hätten. Indessen auch dann verträgt sich eine flache
Tetrade a · b c d vom ersten Typus nicht mit einer solchen vom zweiten,
z. B. a b · c d, noch auch mit der obversen · a b c d ·, wegen
(a · b c d) (a b · c d) = (a · c d)
(a · b c d) (· a b c d ·) = {0 = (a + a1) b1 c1 d1 + (a1 + a) b c d} = (· b c d ·),
da noch, wie bisher, unter anderm (·̅ a̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) und (·̅ b̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) vorausgesetzt
bleibt.

Es bedeutet hier jede — flache oder obverse — Tetrade das
Vorhandensein je zweier Gruppen von Schnittpunkten für jedes der
drei Geradenpaare a b und c d, a c und b d, a d und b c; z. B., wie oben,
(a · 3) = Σ (a p · b) (· c d p ·) = Σ (a q · c) (· b d q ·) = Σ (a r · d) (· b c r ·)
= Σ (b p1 · a) (c d · p1) = Σ (c q1 · a) (b d · q1) = Σ (d r1 · a) (b c · r1),
wobei die Summationsvariabeln p, q, r bezw., wie auch im folgenden,
nicht besonders bezeichnet sind. Die p1-Gruppe enthält offenbar die
obversen der Punkte der p-Gruppe, usw. Das Zusammenfallen eines
Punktes x z. B. aus der p-Gruppe mit irgend einem aus der p1-Gruppe
(a x · b) (· c d x ·) (b x · a) (c d · x) = (a · b) (· c d ·)
würde gegen die Voraussetzungen (·̅ a̅ ·̅ b̅ ·̅), (·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) verstossen.

Jede weitere hinzukommende Tetrade, z. B.
(b · a c d) = Σ (b p' · a) (· c d p' ·) = Σ (· a c q' ·) (b q' · d) = Σ (· a d r' ·) (b r' · c)
= Σ (a p'1 · b) (c d · p'1) = Σ (a c · q'1) (d q' 1 · b) = Σ (a d · r'1) (c r'1 · b)
bringt je ein weiteres (im allgemeinen anderes) Schnittpunkt-Gruppen-
paar mit sich für jedes der drei Geradenpaare. Indessen hat man auch:

(a · 3) (b · 3) = {0 = (a c1 + b d + a d + b c1) (a1 c + b1 d1 + a1 d1 + b1 c)
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d. h. die q-Gruppe hat mit der r'-Gruppe gewisse Punkte x gemein,
ebenso die r-Gruppe mit der q'-Gruppe Punkte x', und entsprechendes
gilt von den obversen Gruppen; es gibt also bei zwei gleichzeitig
bestehenden (mit einander verträglichen) Tetraden gemeinsame Schnitt-
punkte für vier von den sechs Geraden.

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[590/0234] Anhang 8. von den bisherigen Voraussetzungen die eine ausscheidet, dass wir nur mit Punkten eines geometrischen, bezw. eines erweiterten geometrischen Systems zu thun hätten. Indessen auch dann verträgt sich eine flache Tetrade a · b c d vom ersten Typus nicht mit einer solchen vom zweiten, z. B. a b · c d, noch auch mit der obversen · a b c d ·, wegen (a · b c d) (a b · c d) = (a · c d) (a · b c d) (· a b c d ·) = {0 = (a + a1) b1 c1 d1 + (a1 + a) b c d} = (· b c d ·), da noch, wie bisher, unter anderm (·̅ a̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) und (·̅ b̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) vorausgesetzt bleibt. Es bedeutet hier jede — flache oder obverse — Tetrade das Vorhandensein je zweier Gruppen von Schnittpunkten für jedes der drei Geradenpaare a b und c d, a c und b d, a d und b c; z. B., wie oben, (a · 3) = Σ (a p · b) (· c d p ·) = Σ (a q · c) (· b d q ·) = Σ (a r · d) (· b c r ·) = Σ (b p1 · a) (c d · p1) = Σ (c q1 · a) (b d · q1) = Σ (d r1 · a) (b c · r1), wobei die Summationsvariabeln p, q, r bezw., wie auch im folgenden, nicht besonders bezeichnet sind. Die p1-Gruppe enthält offenbar die obversen der Punkte der p-Gruppe, usw. Das Zusammenfallen eines Punktes x z. B. aus der p-Gruppe mit irgend einem aus der p1-Gruppe (a x · b) (· c d x ·) (b x · a) (c d · x) = (a · b) (· c d ·) würde gegen die Voraussetzungen (·̅ a̅ ·̅ b̅ ·̅), (·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) verstossen. Jede weitere hinzukommende Tetrade, z. B. (b · a c d) = Σ (b p' · a) (· c d p' ·) = Σ (· a c q' ·) (b q' · d) = Σ (· a d r' ·) (b r' · c) = Σ (a p'1 · b) (c d · p'1) = Σ (a c · q'1) (d q' 1 · b) = Σ (a d · r'1) (c r'1 · b) bringt je ein weiteres (im allgemeinen anderes) Schnittpunkt-Gruppen- paar mit sich für jedes der drei Geradenpaare. Indessen hat man auch: (a · 3) (b · 3) = {0 = (a c1 + b d + a d + b c1) (a1 c + b1 d1 + a1 d1 + b1 c) = (a + b) (c1 + d) (a1 + b1) (c + d1) = (a c + b d1 + a d1 + b c) (a1 c1 + b1 d + a1 d + b1 c1)} = Σ (a x · c) (· b d x ·) (· a d x ·) (b x · c) = Σ (· a c x' ·) (b x' · d) (a x' · d) (· b c x' ·) = Σ (c x1 · a) (b d · x1) (a d · x1) (c x1 · b) = Σ (a c · x'1) (d x'1 · b) (d x'1 · a) (b c · x'1), d. h. die q-Gruppe hat mit der r'-Gruppe gewisse Punkte x gemein, ebenso die r-Gruppe mit der q'-Gruppe Punkte x', und entsprechendes gilt von den obversen Gruppen; es gibt also bei zwei gleichzeitig bestehenden (mit einander verträglichen) Tetraden gemeinsame Schnitt- punkte für vier von den sechs Geraden.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 590. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/234>, abgerufen am 26.11.2024.