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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 6. Die P und S von Relativen.
Ausdrucksformen als einen eben den Bedarf deckenden, das noch nicht
so grosse Heer der Methoden aber, über die unsre Disziplin bislang ver-
fügt, als ein zumeist noch recht unzulängliches.

So repräsentiren unsre Sätze zwar ein gewisses schon nicht zu ver-
achtendes Kapital an Hülfsmitteln, oft machtvollen Instrumenten des Den-
kens, dem aber eine Ausgestaltung zu immer noch grösserer Fülle, eine
Entwickelung zu noch viel grösserer Machtentfaltung dringend zu wün-
schen bleibt.

Schliesslich erübrigt es uns noch, die wichtigsten von den Sätzen
oder Formeln zusammenzustellen welche für die (identischen) Pro-
dukt(ation)e(n) P und Summ(ation)en S von binären Relativen Geltung
haben, sei es dass man diese Symbole als selbständig definirt ansieht
in der Art, wie wir es am Schlusse des § 3, S. 36 geschildert haben
und wie es beispielsweise bei "kontinuirlichem" Erstreckungsbereiche der
P und S unumgänglich ist, sei es dass man dieselben blos als Ab-
kürzungen verwendet für die Ergebnisse binärer identischer Knüpfungs-
spezies zwischen irgendvielen Termen, welche nur unbequem sämtlich
hinzuschreiben wären.

Dass für beide Deutungsweisen unsre Formeln die nämlichen sein
müssen (indem eben die zweite Interpretation sich der ersten einordnet)
wird streng genommen erst mit der neunten Vorlesung als gesichert anzu-
sehen sein.

Überhaupt ist zu bemerken, dass die einschlägigen Sätze erst spät,
in schon ziemlich vorgerückten Partieen unsrer Theorie zur Anwendung
kommen werden, weshalb sie der Studirende auch bis dahin überschla-
gen mag.

Grösstenteils sind die Sätze schon im identischen Kalkul gültig
und bekannt. Sie bilden alsdann Gegenstücke, Pendants, eventuell aber
auch stark modifizirte (nämlich abgeschwächte oder defekte) Analoga
zu den Schemata des Aussagenkalkuls, welche wir unter a) bis x) am
Schlusse des § 3 bereits zusammengestellt haben -- und zwar Ana-
loga, weil, mit Rücksicht auf Festsetzung (14), im Grunde Konse-
quenzen derselben! Die Analogie ist aber keine durchgängige, viel-
mehr werden einzelne von jenen Aussagenschemata sogar ganz ohne
Gegenstück (bei Relativen) bleiben, und wird sich dem formelreichern
Aussagenkalkul gegenüber auch von unsern neufundirten Grundlagen
aus der identische Kalkul wiederum als der weniger Schlüsse gestat-
tende erweisen -- wofür der letzte Grund in dem Umstande zu er-
blicken ist, dass zu der mit Pi j konstruirten fundamentalen Festsetzung
(14) ein mit Si j konstruirtes "aussagenduales" Gegenstück fehlt, und
daselbst (vgl. Bd. 2, S. 43 sqq.) auch definitiv unzulässig bleibt. --


Schröder, Algebra der Relative. 7

§ 6. Die Π und Σ von Relativen.
Ausdrucksformen als einen eben den Bedarf deckenden, das noch nicht
so grosse Heer der Methoden aber, über die unsre Disziplin bislang ver-
fügt, als ein zumeist noch recht unzulängliches.

So repräsentiren unsre Sätze zwar ein gewisses schon nicht zu ver-
achtendes Kapital an Hülfsmitteln, oft machtvollen Instrumenten des Den-
kens, dem aber eine Ausgestaltung zu immer noch grösserer Fülle, eine
Entwickelung zu noch viel grösserer Machtentfaltung dringend zu wün-
schen bleibt.

Schliesslich erübrigt es uns noch, die wichtigsten von den Sätzen
oder Formeln zusammenzustellen welche für die (identischen) Pro-
dukt(ation)e(n) Π und Summ(ation)en Σ von binären Relativen Geltung
haben, sei es dass man diese Symbole als selbständig definirt ansieht
in der Art, wie wir es am Schlusse des § 3, S. 36 geschildert haben
und wie es beispielsweise bei „kontinuirlichem“ Erstreckungsbereiche der
Π und Σ unumgänglich ist, sei es dass man dieselben blos als Ab-
kürzungen verwendet für die Ergebnisse binärer identischer Knüpfungs-
spezies zwischen irgendvielen Termen, welche nur unbequem sämtlich
hinzuschreiben wären.

Dass für beide Deutungsweisen unsre Formeln die nämlichen sein
müssen (indem eben die zweite Interpretation sich der ersten einordnet)
wird streng genommen erst mit der neunten Vorlesung als gesichert anzu-
sehen sein.

Überhaupt ist zu bemerken, dass die einschlägigen Sätze erst spät,
in schon ziemlich vorgerückten Partieen unsrer Theorie zur Anwendung
kommen werden, weshalb sie der Studirende auch bis dahin überschla-
gen mag.

Grösstenteils sind die Sätze schon im identischen Kalkul gültig
und bekannt. Sie bilden alsdann Gegenstücke, Pendants, eventuell aber
auch stark modifizirte (nämlich abgeschwächte oder defekte) Analoga
zu den Schemata des Aussagenkalkuls, welche wir unter α) bis ξ) am
Schlusse des § 3 bereits zusammengestellt haben — und zwar Ana-
loga, weil, mit Rücksicht auf Festsetzung (14), im Grunde Konse-
quenzen derselben! Die Analogie ist aber keine durchgängige, viel-
mehr werden einzelne von jenen Aussagenschemata sogar ganz ohne
Gegenstück (bei Relativen) bleiben, und wird sich dem formelreichern
Aussagenkalkul gegenüber auch von unsern neufundirten Grundlagen
aus der identische Kalkul wiederum als der weniger Schlüsse gestat-
tende erweisen — wofür der letzte Grund in dem Umstande zu er-
blicken ist, dass zu der mit Πi j konstruirten fundamentalen Festsetzung
(14) ein mit Σi j konstruirtes „aussagenduales“ Gegenstück fehlt, und
daselbst (vgl. Bd. 2, S. 43 sqq.) auch definitiv unzulässig bleibt. —


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[97/0111] § 6. Die Π und Σ von Relativen. Ausdrucksformen als einen eben den Bedarf deckenden, das noch nicht so grosse Heer der Methoden aber, über die unsre Disziplin bislang ver- fügt, als ein zumeist noch recht unzulängliches. So repräsentiren unsre Sätze zwar ein gewisses schon nicht zu ver- achtendes Kapital an Hülfsmitteln, oft machtvollen Instrumenten des Den- kens, dem aber eine Ausgestaltung zu immer noch grösserer Fülle, eine Entwickelung zu noch viel grösserer Machtentfaltung dringend zu wün- schen bleibt. Schliesslich erübrigt es uns noch, die wichtigsten von den Sätzen oder Formeln zusammenzustellen welche für die (identischen) Pro- dukt(ation)e(n) Π und Summ(ation)en Σ von binären Relativen Geltung haben, sei es dass man diese Symbole als selbständig definirt ansieht in der Art, wie wir es am Schlusse des § 3, S. 36 geschildert haben und wie es beispielsweise bei „kontinuirlichem“ Erstreckungsbereiche der Π und Σ unumgänglich ist, sei es dass man dieselben blos als Ab- kürzungen verwendet für die Ergebnisse binärer identischer Knüpfungs- spezies zwischen irgendvielen Termen, welche nur unbequem sämtlich hinzuschreiben wären. Dass für beide Deutungsweisen unsre Formeln die nämlichen sein müssen (indem eben die zweite Interpretation sich der ersten einordnet) wird streng genommen erst mit der neunten Vorlesung als gesichert anzu- sehen sein. Überhaupt ist zu bemerken, dass die einschlägigen Sätze erst spät, in schon ziemlich vorgerückten Partieen unsrer Theorie zur Anwendung kommen werden, weshalb sie der Studirende auch bis dahin überschla- gen mag. Grösstenteils sind die Sätze schon im identischen Kalkul gültig und bekannt. Sie bilden alsdann Gegenstücke, Pendants, eventuell aber auch stark modifizirte (nämlich abgeschwächte oder defekte) Analoga zu den Schemata des Aussagenkalkuls, welche wir unter α) bis ξ) am Schlusse des § 3 bereits zusammengestellt haben — und zwar Ana- loga, weil, mit Rücksicht auf Festsetzung (14), im Grunde Konse- quenzen derselben! Die Analogie ist aber keine durchgängige, viel- mehr werden einzelne von jenen Aussagenschemata sogar ganz ohne Gegenstück (bei Relativen) bleiben, und wird sich dem formelreichern Aussagenkalkul gegenüber auch von unsern neufundirten Grundlagen aus der identische Kalkul wiederum als der weniger Schlüsse gestat- tende erweisen — wofür der letzte Grund in dem Umstande zu er- blicken ist, dass zu der mit Πi j konstruirten fundamentalen Festsetzung (14) ein mit Σi j konstruirtes „aussagenduales“ Gegenstück fehlt, und daselbst (vgl. Bd. 2, S. 43 sqq.) auch definitiv unzulässig bleibt. — Schröder, Algebra der Relative. 7

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 97. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/111>, abgerufen am 27.11.2024.