weise in Anhang 6 des Bd. 1 auseinandergesetzt sind, denselben zu führen dem Leser überlassen.
Was die Sätze betrifft, die im Vorstehenden mitenthalten sind, so erscheinen die in 6) nebenher mit angeführten Subsumtionen als einerlei mit den Sätzen 2) des § 8. Aus ihnen ergibt sich durch überschiebendes Multipliziren derer rechts vom Mittelstriche alsbald die Subsumtion links in 7) und dual entsprechend die rechts -- vergleiche auch das Korollar zu 2) des § 8.
Ausserdem dürfte der in 8) mitenthaltene Satz am bemerkenswer- testen sein:
1'a = 1'a
0' + a = 0' + a
dessen Beweis gegeben ist durch die Bemerkung, dass die Gleichung 1'i jai j = 1'i jaj i für ij auf 0 = 0, für i = j aber auf ai i = ai i hinausläuft.
Im übrigen erheischt es schon einiges analytische Geschick in der Handhabung des identischen Kalkuls, unter Verwertung der Sätze 2) des § 8 und ihrer Korollare in 7) des gegenwärtigen, nachzuweisen, dass irgend ein durch die genannten 4 Spezies aus den Verwandten von a und Moduln gebildeter Ausdruck notwendig auf eines der 64 Relative der Gruppe hinausläuft -- und damit den Ausdruck jeweils auf seine typische oder einfachste Form zu bringen. Auf den ersten Blick nämlich scheinen sich noch viel mehr als die angeführten 64 Ausdrücke bilden zu lassen.
Beispielsweise wird man leicht erkennen, dass die folgenden Ausdrücke mit Fug und Recht in unsrer Zusammenstellung ausgelassen sind (unge- achtet ihres anscheinend analogen Baues mit andern darin angeführten), weil sie sich eben reduziren:
1'aan = 0, 1'(a + an) = 1'
0' + a + an = 1, 0' + aan = 0'
1'ana = 0, 1'(an + a) = 1'
0' + an + a = 1, 0' + ana = 0'
1'(aa + anan) = 1'
0' + aan + ana = 0'
1'(aan + ana) = 1'
0' + aa + anan = 1
und so weiter. Hätte man beispielsweise den Ausdruck 1'(an + an) + aan + ana, so wäre, indem man den Faktor von 1' in an + aan umformt, die Unter- drückbarkeit des Termes 1'an in unserm Ausdruck nachzuweisen und dürfte solche nicht übersehen werden. Dergleichen Vereinfachungen sind beim Nachweis der Vollständigkeit der Gruppe in grosser Menge auszuführen.
Quintessenz der vorstehenden Untersuchung ist also: dass sich schon bei Ausschluss der beiden relativen Knüpfungen aus einem ge- gebnen binären Relativ a nicht weniger als -- es selbst und die vier Moduln eingerechnet -- sechzig vier Relative ableiten lassen.
Die Entstehungsweise eines jeden dieser Relative aus dem ursprüng- lichen a wird -- eine empfehlenswerte Übung -- der Leser sich un- schwer mit Worten beschreiben. Es müssen in jedem Falle von den
Vierte Vorlesung.
weise in Anhang 6 des Bd. 1 auseinandergesetzt sind, denselben zu führen dem Leser überlassen.
Was die Sätze betrifft, die im Vorstehenden mitenthalten sind, so erscheinen die in 6) nebenher mit angeführten Subsumtionen als einerlei mit den Sätzen 2) des § 8. Aus ihnen ergibt sich durch überschiebendes Multipliziren derer rechts vom Mittelstriche alsbald die Subsumtion links in 7) und dual entsprechend die rechts — vergleiche auch das Korollar zu 2) des § 8.
Ausserdem dürfte der in 8) mitenthaltene Satz am bemerkenswer- testen sein:
1'a = 1'ă
0' + a = 0' + ă
dessen Beweis gegeben ist durch die Bemerkung, dass die Gleichung 1'i jai j = 1'i jaj i für i ≠ j auf 0 = 0, für i = j aber auf ai i = ai i hinausläuft.
Im übrigen erheischt es schon einiges analytische Geschick in der Handhabung des identischen Kalkuls, unter Verwertung der Sätze 2) des § 8 und ihrer Korollare in 7) des gegenwärtigen, nachzuweisen, dass irgend ein durch die genannten 4 Spezies aus den Verwandten von a und Moduln gebildeter Ausdruck notwendig auf eines der 64 Relative der Gruppe hinausläuft — und damit den Ausdruck jeweils auf seine typische oder einfachste Form zu bringen. Auf den ersten Blick nämlich scheinen sich noch viel mehr als die angeführten 64 Ausdrücke bilden zu lassen.
Beispielsweise wird man leicht erkennen, dass die folgenden Ausdrücke mit Fug und Recht in unsrer Zusammenstellung ausgelassen sind (unge- achtet ihres anscheinend analogen Baues mit andern darin angeführten), weil sie sich eben reduziren:
1'aā̆ = 0, 1'(a + ā̆) = 1'
0' + a + ā̆ = 1, 0' + aā̆ = 0'
1'āă = 0, 1'(ā + ă) = 1'
0' + ā + ă = 1, 0' + āă = 0'
1'(aă + āā̆) = 1'
0' + aā̆ + āă = 0'
1'(aā̆ + āă) = 1'
0' + aă + āā̆ = 1
und so weiter. Hätte man beispielsweise den Ausdruck 1'(ā + ā̆) + aā̆ + āă, so wäre, indem man den Faktor von 1' in ā + aā̆ umformt, die Unter- drückbarkeit des Termes 1'ā̆ in unserm Ausdruck nachzuweisen und dürfte solche nicht übersehen werden. Dergleichen Vereinfachungen sind beim Nachweis der Vollständigkeit der Gruppe in grosser Menge auszuführen.
Quintessenz der vorstehenden Untersuchung ist also: dass sich schon bei Ausschluss der beiden relativen Knüpfungen aus einem ge- gebnen binären Relativ a nicht weniger als — es selbst und die vier Moduln eingerechnet — sechzig vier Relative ableiten lassen.
Die Entstehungsweise eines jeden dieser Relative aus dem ursprüng- lichen a wird — eine empfehlenswerte Übung — der Leser sich un- schwer mit Worten beschreiben. Es müssen in jedem Falle von den
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[136/0150]
Vierte Vorlesung.
weise in Anhang 6 des Bd. 1 auseinandergesetzt sind, denselben zu führen
dem Leser überlassen.
Was die Sätze betrifft, die im Vorstehenden mitenthalten sind, so
erscheinen die in 6) nebenher mit angeführten Subsumtionen als einerlei
mit den Sätzen 2) des § 8. Aus ihnen ergibt sich durch überschiebendes
Multipliziren derer rechts vom Mittelstriche alsbald die Subsumtion links
in 7) und dual entsprechend die rechts — vergleiche auch das Korollar
zu 2) des § 8.
Ausserdem dürfte der in 8) mitenthaltene Satz am bemerkenswer-
testen sein:
1'a = 1'ă 0' + a = 0' + ă
dessen Beweis gegeben ist durch die Bemerkung, dass die Gleichung
1'i jai j = 1'i jaj i für i ≠ j auf 0 = 0, für i = j aber auf ai i = ai i hinausläuft.
Im übrigen erheischt es schon einiges analytische Geschick in der
Handhabung des identischen Kalkuls, unter Verwertung der Sätze 2) des
§ 8 und ihrer Korollare in 7) des gegenwärtigen, nachzuweisen, dass irgend
ein durch die genannten 4 Spezies aus den Verwandten von a und Moduln
gebildeter Ausdruck notwendig auf eines der 64 Relative der Gruppe
hinausläuft — und damit den Ausdruck jeweils auf seine typische oder
einfachste Form zu bringen. Auf den ersten Blick nämlich scheinen sich
noch viel mehr als die angeführten 64 Ausdrücke bilden zu lassen.
Beispielsweise wird man leicht erkennen, dass die folgenden Ausdrücke
mit Fug und Recht in unsrer Zusammenstellung ausgelassen sind (unge-
achtet ihres anscheinend analogen Baues mit andern darin angeführten),
weil sie sich eben reduziren:
1'aā̆ = 0, 1'(a + ā̆) = 1' 0' + a + ā̆ = 1, 0' + aā̆ = 0'
1'āă = 0, 1'(ā + ă) = 1' 0' + ā + ă = 1, 0' + āă = 0'
1'(aă + āā̆) = 1' 0' + aā̆ + āă = 0'
1'(aā̆ + āă) = 1' 0' + aă + āā̆ = 1
und so weiter. Hätte man beispielsweise den Ausdruck 1'(ā + ā̆) + aā̆ + āă,
so wäre, indem man den Faktor von 1' in ā + aā̆ umformt, die Unter-
drückbarkeit des Termes 1'ā̆ in unserm Ausdruck nachzuweisen und dürfte
solche nicht übersehen werden. Dergleichen Vereinfachungen sind beim
Nachweis der Vollständigkeit der Gruppe in grosser Menge auszuführen.
Quintessenz der vorstehenden Untersuchung ist also: dass sich
schon bei Ausschluss der beiden relativen Knüpfungen aus einem ge-
gebnen binären Relativ a nicht weniger als — es selbst und die vier
Moduln eingerechnet — sechzig vier Relative ableiten lassen.
Die Entstehungsweise eines jeden dieser Relative aus dem ursprüng-
lichen a wird — eine empfehlenswerte Übung — der Leser sich un-
schwer mit Worten beschreiben. Es müssen in jedem Falle von den
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 136. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/150>, abgerufen am 24.11.2024.
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