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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Vierte Vorlesung.
die erste und für die letzte (vierte) Angabe durchsprechen -- folgendes
zu bedenken.

Es war
(a ; 0')i j = ai A + ai B + ai C + ... (ohne ai j).

Für ein bestimmtes i, d. h. in einer bestimmten Zeile, ist dies
gleich 1 bei jedem j, sobald mindestens zwei von den ai h gleich 1 sind.
Denn ist dann auch ai j vielleicht eines von diesen beiden, so wird
wenigstens noch das andre als Glied der Summe rechts (ausserhalb
und vor der letzten Klammer) auftreten.

a ; 0' muss also eine Vollzeile haben überall da, wo a eine mehr-
besetzte Zeile hat.

Ist dagegen die ite Zeile von a eine einbesetzte, gibt es also gerade
ein j(= k), für welches ai j gleich 1 wird, sodass wir haben ai k = 1,
während alle übrigen ai h gleich 0 sind, so wird unsre Summe den
Term ai k der 1 ist aufweisen, somit selbst = 1 sein, für jedes von k
verschiedene j. Und nur für j = k, wo das in der Klammer erwähnte,
in der Summe fehlende ai j das einzige nicht verschwindende ai h ist,
werden alle Glieder unsrer Summe und diese selbst = 0 sein.

Der einbesetzten Zeile von a entspricht hienach eine Einlückzeile
des a ; 0', welche erhalten wird, indem man das einzige Auge der Zeile
von a in eine Leerstelle, alle Leerstellen dieser Zeile aber in Augen
verwandelt.

Ist die mit i markirte Zeile von a eine Leerzeile, so sind alle ai h
gleich 0, und -- einerlei welches von diesen in unsrer Summe fehlt --
wird die Summe stets = 0 sein; dann hat also auch a ; 0' eine Leerzeile.

Ähnlich war
(1' j a)i j = aA jaB jaC j ... (ohne ai j).

Dies Produkt ist bei bestimmtem j gleich 0 für jedes i, sobald min-
destens zweie der ah j gleich 0 sind, d. h. also: wenn a eine Mehrlück-
kolonne bei j aufweist, erhält 1' j a eine Leerkolonne.

Das Produkt ist gleich 1 bei jedem i, falls alle ah j gleich 1 sind, d. h.
also: wenn die jte Kolonne von a eine Vollkolonne war, erhält auch 1' j a
eine solche.

Blos wenn a bei j eine Einlückkolonne besitzt, mithin blos ein be-
stimmtes (es heisse ak j) von allen ah j verschwindet, während alle übrigen
ah j gleich 1 sind, kommt es darauf an, ob jenes allein verschwindende ak j
eben das als Faktor in unserm Produkte einzig fehlende ai j ist oder nicht.
Im letztern Falle ist das Produkt = 1, in allen andern Fällen = 0. D. h.
der Einlückkolonne von a entspricht bei 1' j a eine einbesetzte Kolonne, die
gerade nur an der Stelle der einen Lücke von jener ein Auge trägt, sonst
völlig leer ist, und die wir daher als die Negation jener Einlückkolonne
am bequemsten charakterisiren. --


Vierte Vorlesung.
die erste und für die letzte (vierte) Angabe durchsprechen — folgendes
zu bedenken.

Es war
(a ; 0')i j = ai A + ai B + ai C + … (ohne ai j).

Für ein bestimmtes i, d. h. in einer bestimmten Zeile, ist dies
gleich 1 bei jedem j, sobald mindestens zwei von den ai h gleich 1 sind.
Denn ist dann auch ai j vielleicht eines von diesen beiden, so wird
wenigstens noch das andre als Glied der Summe rechts (ausserhalb
und vor der letzten Klammer) auftreten.

a ; 0' muss also eine Vollzeile haben überall da, wo a eine mehr-
besetzte Zeile hat.

Ist dagegen die ite Zeile von a eine einbesetzte, gibt es also gerade
ein j(= k), für welches ai j gleich 1 wird, sodass wir haben ai k = 1,
während alle übrigen ai h gleich 0 sind, so wird unsre Summe den
Term ai k der 1 ist aufweisen, somit selbst = 1 sein, für jedes von k
verschiedene j. Und nur für j = k, wo das in der Klammer erwähnte,
in der Summe fehlende ai j das einzige nicht verschwindende ai h ist,
werden alle Glieder unsrer Summe und diese selbst = 0 sein.

Der einbesetzten Zeile von a entspricht hienach eine Einlückzeile
des a ; 0', welche erhalten wird, indem man das einzige Auge der Zeile
von a in eine Leerstelle, alle Leerstellen dieser Zeile aber in Augen
verwandelt.

Ist die mit i markirte Zeile von a eine Leerzeile, so sind alle ai h
gleich 0, und — einerlei welches von diesen in unsrer Summe fehlt —
wird die Summe stets = 0 sein; dann hat also auch a ; 0' eine Leerzeile.

Ähnlich war
(1' ɟ a)i j = aA jaB jaC j … (ohne ai j).

Dies Produkt ist bei bestimmtem j gleich 0 für jedes i, sobald min-
destens zweie der ah j gleich 0 sind, d. h. also: wenn a eine Mehrlück-
kolonne bei j aufweist, erhält 1' ɟ a eine Leerkolonne.

Das Produkt ist gleich 1 bei jedem i, falls alle ah j gleich 1 sind, d. h.
also: wenn die jte Kolonne von a eine Vollkolonne war, erhält auch 1' ɟ a
eine solche.

Blos wenn a bei j eine Einlückkolonne besitzt, mithin blos ein be-
stimmtes (es heisse ak j) von allen ah j verschwindet, während alle übrigen
ah j gleich 1 sind, kommt es darauf an, ob jenes allein verschwindende ak j
eben das als Faktor in unserm Produkte einzig fehlende ai j ist oder nicht.
Im letztern Falle ist das Produkt = 1, in allen andern Fällen = 0. D. h.
der Einlückkolonne von a entspricht bei 1' ɟ a eine einbesetzte Kolonne, die
gerade nur an der Stelle der einen Lücke von jener ein Auge trägt, sonst
völlig leer ist, und die wir daher als die Negation jener Einlückkolonne
am bequemsten charakterisiren. —


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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 144. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/158>, abgerufen am 23.11.2024.