Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Auch die vorerwähnten schon als zuweilen schwierige gekennzeichneten
Probleme werden sich demnach unter dem Titel des Eliminationsproblemes
mit zu erledigen haben.

Setzen wir vorderhand die Menge der in der Gleichung f = 0 vor-
kommenden unbestimmten Relative oder "Unbekannten" als eine be-
grenzte (ihre Anzahl als eine "endliche") voraus, so verbleiben uns diese
beiden Hauptaufgaben:

Erstens aus einer Gleichung eine Unbekannte zu eliminiren.

Zweitens sofern "die" Resultante ihrer Elimination erfüllt ist, eine
Unbekannte aus der Gleichung "zu berechnen", d. h. die Gleichung all-
gemein nach ihr aufzulösen.

Gesetzt diese beiden Probleme der Elimination von einer und der
Auflösung nach einer Unbekannten vermöchten wir in jedem Falle zu
bewältigen, so werden wir auch jeder Forderung f = 0, die nicht absurd
ist, allgemein zu genügen imstande sein:

Man eliminire in beliebiger Folge eine Unbekannte nach der
andern bis sie alle "herausgefallen" sind und man zur Resultante 0 = 0
gelangt ist. Dies wird spätestens bei der Elimination der letzten Un-
bekannten eintreten.

Mit der Elimination von einer bestimmten Unbekannten können näm-
lich auch noch verschiedene andre Unbekannte (die man vielleicht gar nicht
zu eliminiren beabsichtigte) zugleich herausfallen -- wie wir es bereits in
den beiden "Grenzfällen" wahrnehmen konnten, wo sie ja sämtlich heraus-
fielen. "Die" Resultante der Elimination eines x "führt", "enthält" als
Term, Operationsglied oder Argument, zuverlässig diesen Eliminanden nicht;
es können aber auch noch irgend welche andre von den Unbekannten in
ihr unvertreten sein oder fehlen, welche in der zum Ausgangspunkt der
Elimination genommenen Gleichung vertreten waren.

Man erhält dadurch eine Reihe von Resultanten, deren jede sicher
eine oder vielleicht mehrere Unbekannte weniger als ihre Vorgängerin
enthält. Die ursprüngliche Gleichung f = 0 selber mag dabei als
"nullte Resultante" bezeichnet werden, während wie gesagt die Identität
0 = 0 als deren "letzte" hinzustellen ist.

Das Erfülltsein irgend einer R' von diesen Resultanten ist not-
wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ihre unmittelbare
Vorgängerin R auflösbar sei nach irgend einer von den Unbekannten,
die bei der Elimination aus ihr herausgefallen sind, welche also in R'
nicht mehr, wohl aber noch in R vorkommen. Während die übrigen
von diesen "überschüssigen" Unbekannten beliebig angenommen werden
können, braucht man behufs Erfüllung von R, sobald R' erfüllt ist,
immer nur nach einer von jenen die R aufzulösen, m. a. W. eine von
diesen überschüssigen Unbekannten durch die andern (und die bereits

Auch die vorerwähnten schon als zuweilen schwierige gekennzeichneten
Probleme werden sich demnach unter dem Titel des Eliminationsproblemes
mit zu erledigen haben.

Setzen wir vorderhand die Menge der in der Gleichung f = 0 vor-
kommenden unbestimmten Relative oder „Unbekannten“ als eine be-
grenzte (ihre Anzahl als eine „endliche“) voraus, so verbleiben uns diese
beiden Hauptaufgaben:

Erstens aus einer Gleichung eine Unbekannte zu eliminiren.

Zweitens sofern „die“ Resultante ihrer Elimination erfüllt ist, eine
Unbekannte aus der Gleichung „zu berechnen“, d. h. die Gleichung all-
gemein nach ihr aufzulösen.

Gesetzt diese beiden Probleme der Elimination von einer und der
Auflösung nach einer Unbekannten vermöchten wir in jedem Falle zu
bewältigen, so werden wir auch jeder Forderung f = 0, die nicht absurd
ist, allgemein zu genügen imstande sein:

Man eliminire in beliebiger Folge eine Unbekannte nach der
andern bis sie alle „herausgefallen“ sind und man zur Resultante 0 = 0
gelangt ist. Dies wird spätestens bei der Elimination der letzten Un-
bekannten eintreten.

Mit der Elimination von einer bestimmten Unbekannten können näm-
lich auch noch verschiedene andre Unbekannte (die man vielleicht gar nicht
zu eliminiren beabsichtigte) zugleich herausfallen — wie wir es bereits in
den beiden „Grenzfällen“ wahrnehmen konnten, wo sie ja sämtlich heraus-
fielen. „Die“ Resultante der Elimination eines x „führt“, „enthält“ als
Term, Operationsglied oder Argument, zuverlässig diesen Eliminanden nicht;
es können aber auch noch irgend welche andre von den Unbekannten in
ihr unvertreten sein oder fehlen, welche in der zum Ausgangspunkt der
Elimination genommenen Gleichung vertreten waren.

Man erhält dadurch eine Reihe von Resultanten, deren jede sicher
eine oder vielleicht mehrere Unbekannte weniger als ihre Vorgängerin
enthält. Die ursprüngliche Gleichung f = 0 selber mag dabei als
„nullte Resultante“ bezeichnet werden, während wie gesagt die Identität
0 = 0 als deren „letzte“ hinzustellen ist.

Das Erfülltsein irgend einer R' von diesen Resultanten ist not-
wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ihre unmittelbare
Vorgängerin R auflösbar sei nach irgend einer von den Unbekannten,
die bei der Elimination aus ihr herausgefallen sind, welche also in R'
nicht mehr, wohl aber noch in R vorkommen. Während die übrigen
von diesen „überschüssigen“ Unbekannten beliebig angenommen werden
können, braucht man behufs Erfüllung von R, sobald R' erfüllt ist,
immer nur nach einer von jenen die R aufzulösen, m. a. W. eine von
diesen überschüssigen Unbekannten durch die andern (und die bereits