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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 12. Beweis für's Auftreten des unbestimmten Parameters.
oder unter sich begreife, sind nun aber notwendige und hinreichende
Bedingung dafür, dass man f(u) die allgemeine Lösung der Gleichung 1)
zu nennen berechtigt sei, sie charakterisiren ein f(u) als "die all-
gemeine Wurzel" von 1).

Diese beiden Aussagensubsumtionen 8), 9) ziehen sich jedoch als
vor- und rückwärtige äquipollent zusammen zu der Aussagengleichung 3),
welche hienach, wie (unter "zweitens") behauptet worden, weiter nichts
als wie den Begriff von 2) als der "allgemeinen Lösung" von 1) for-
mulirt, q. e. d.

Um in der Begründung unsrer Behauptungen fortzufahren, so be-
steht deren Hauptstück nunmehr in folgendem:

Wir setzten die Gleichung 1) als auflösbar voraus; demnach hat
sie mindestens eine Wurzel. Eine solche sei das Relativ a, so wird
also -- nicht blos als eine erst noch zu erfüllende Vorschrift, sondern
von vornherein wirklich --
10) F(a) = 0
sein -- wogegen für ein auf's Gerathewohl angenommenes x im All-
gemeinen F(x) 0 sein wird, und die Gleichung F(x) = 0 nicht als
erfüllt, sondern als "eine Vorschrift" anzusehen ist, welche erst durch
geeignete Bestimmung des x erfüllt werden müsste.

Bildet man nun den Ausdruck
11) f(u) = a · 1 ; F(u) ; 1 + u · {0 j F(u) j 0},
so muss in der That:
x = f(u)
eine der Anforderung 3) genügende Form der allgemeinen Lösung
von 1) sein.

Beweis. In Anbetracht, dass nach 1) des § 11 das Relativ
[Formel 1] und dass umgekehrt das Relativ
[Formel 2] ,
sieht man sofort, dass
f(u) = a · 1 + u · 0 = a wird, sobald u keine Wurzel der Gleichung
F(x) = 0 ist,
dass dagegen
f(u) = a · 0 + u · 1 = u selbst wird, sobald u der Gleichung F(u) = 0
genügt, mithin als eine Wurzel x derselben angenommen wird.


§ 12. Beweis für’s Auftreten des unbestimmten Parameters.
oder unter sich begreife, sind nun aber notwendige und hinreichende
Bedingung dafür, dass man f(u) die allgemeine Lösung der Gleichung 1)
zu nennen berechtigt sei, sie charakterisiren ein f(u) als „die all-
gemeine Wurzel“ von 1).

Diese beiden Aussagensubsumtionen 8), 9) ziehen sich jedoch als
vor- und rückwärtige äquipollent zusammen zu der Aussagengleichung 3),
welche hienach, wie (unter „zweitens“) behauptet worden, weiter nichts
als wie den Begriff von 2) als der „allgemeinen Lösung“ von 1) for-
mulirt, q. e. d.

Um in der Begründung unsrer Behauptungen fortzufahren, so be-
steht deren Hauptstück nunmehr in folgendem:

Wir setzten die Gleichung 1) als auflösbar voraus; demnach hat
sie mindestens eine Wurzel. Eine solche sei das Relativ a, so wird
also — nicht blos als eine erst noch zu erfüllende Vorschrift, sondern
von vornherein wirklich —
10) F(a) = 0
sein — wogegen für ein auf’s Gerathewohl angenommenes x im All-
gemeinen F(x) ≠ 0 sein wird, und die Gleichung F(x) = 0 nicht als
erfüllt, sondern als „eine Vorschrift“ anzusehen ist, welche erst durch
geeignete Bestimmung des x erfüllt werden müsste.

Bildet man nun den Ausdruck
11) f(u) = a · 1 ; F(u) ; 1 + u · {0 ɟ F̅(u)̅ ɟ 0},
so muss in der That:
x = f(u)
eine der Anforderung 3) genügende Form der allgemeinen Lösung
von 1) sein.

Beweis. In Anbetracht, dass nach 1) des § 11 das Relativ
[Formel 1] und dass umgekehrt das Relativ
[Formel 2] ,
sieht man sofort, dass
f(u) = a · 1 + u · 0 = a wird, sobald u keine Wurzel der Gleichung
F(x) = 0 ist,
dass dagegen
f(u) = a · 0 + u · 1 = u selbst wird, sobald u der Gleichung F(u) = 0
genügt, mithin als eine Wurzel x derselben angenommen wird.


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[165/0179] § 12. Beweis für’s Auftreten des unbestimmten Parameters. oder unter sich begreife, sind nun aber notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass man f(u) die allgemeine Lösung der Gleichung 1) zu nennen berechtigt sei, sie charakterisiren ein f(u) als „die all- gemeine Wurzel“ von 1). Diese beiden Aussagensubsumtionen 8), 9) ziehen sich jedoch als vor- und rückwärtige äquipollent zusammen zu der Aussagengleichung 3), welche hienach, wie (unter „zweitens“) behauptet worden, weiter nichts als wie den Begriff von 2) als der „allgemeinen Lösung“ von 1) for- mulirt, q. e. d. Um in der Begründung unsrer Behauptungen fortzufahren, so be- steht deren Hauptstück nunmehr in folgendem: Wir setzten die Gleichung 1) als auflösbar voraus; demnach hat sie mindestens eine Wurzel. Eine solche sei das Relativ a, so wird also — nicht blos als eine erst noch zu erfüllende Vorschrift, sondern von vornherein wirklich — 10) F(a) = 0 sein — wogegen für ein auf’s Gerathewohl angenommenes x im All- gemeinen F(x) ≠ 0 sein wird, und die Gleichung F(x) = 0 nicht als erfüllt, sondern als „eine Vorschrift“ anzusehen ist, welche erst durch geeignete Bestimmung des x erfüllt werden müsste. Bildet man nun den Ausdruck 11) f(u) = a · 1 ; F(u) ; 1 + u · {0 ɟ F̅(u)̅ ɟ 0}, so muss in der That: x = f(u) eine der Anforderung 3) genügende Form der allgemeinen Lösung von 1) sein. Beweis. In Anbetracht, dass nach 1) des § 11 das Relativ [FORMEL] und dass umgekehrt das Relativ [FORMEL], sieht man sofort, dass f(u) = a · 1 + u · 0 = a wird, sobald u keine Wurzel der Gleichung F(x) = 0 ist, dass dagegen f(u) = a · 0 + u · 1 = u selbst wird, sobald u der Gleichung F(u) = 0 genügt, mithin als eine Wurzel x derselben angenommen wird.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 165. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/179>, abgerufen am 23.11.2024.