-- und wenn man will noch obendrein: 5) (fm)n(u) = fm x n(u) = (fn)m(u) -- wie sie in der That Demjenigen, der den Zahlbegriff schon hat, auch unmittelbar einleuchten werden, indem z. B. bei 4) die drei als gleich hingestellten Ausdrücke übereinstimmend weiter nichts bedeuten, als die von u m + n mal hintereinander genommene Funktion f -- u. s. w.
Dies vorausgesetzt ist ferner "die unbegrenzte Iteration" finfinity(u) zu definiren, sofern der Name fähig ist einer Erklärung, die auf den Be- griff von fl(u) sich gründet und aus dem Verhalten dieses Relativs für alle und namentlich für unbegrenzt wachsende Iterationsexponenten l motivirbar ist. Die Bedingung für letzteres wird die Konvergenz- bedingung für fl(u), scilicet bei unbegrenzt wachsendem l, zu nennen sein.
Ist überhaupt für die unbegrenzte Reihe von natürlichen Zahlen l = 0, 1, 2, 3, ... der Wert eines Relativs ul bestimmt, z. B. für be- liebig viele Relative der "Reihe" u0, u1, u2, u3, ... aktuell gegeben, für den Rest durch ein Gesetz oder Prinzip begrifflich festgesetzt, so werden wir bei (als natürliche Zahl) unbegrenzt wach- sendem Zeiger l zwar im Allgemeinen zu sagen haben, ul "divergire" und das Symbol uinfinity habe keinen Sinn, doch wird es auch eine Klasse von Fällen geben, wo man sagen kann, das allgemeine Glied ul unsrer Reihe "konvergire", indem es einem bestimmten, festen, alsdann mit uinfinity zu bezeichnenden Relativ als "Grenze" "zustrebt".
Letzteres ist der Fall, dann und nur dann, wenn für jede durch ein Suffix ij markirte Stelle der Tafel 12 -- oder m. a. W. der Matrix von ul -- ein Zahlwert n angebbar ist oder existirt derart, dass in ul die Stelle entweder für jedes l > n ein Auge trägt, besetzt ist, oder aber für jedes l > n leer, unbesetzt bleibt.
Eine Stelle ij der Matrix des mit l veränderlichen Relativs ul soll eine endgültig, "definitiv" besetzte Stelle dieses variabeln Relativs heissen, wenn es solchen Wert n von l gibt, dass für alle l welche > n sind die Stelle in ul sich als besetzt erweist; sie soll eine end- gültig unbesetzte oder definitive Leerstelle heissen, falls es eine solche Zahl n gibt, dass für alle l > n die Stelle in ul unbesetzt bleibt.
Unter Benutzung dieser Ausdrucksweisen können wir kürzer sagen:
ul soll bei wachsendem l konvergent genannt werden, wenn für jede Stelle seiner Matrix entschieden oder entscheidbar ist, ob sie de- finitiv zur besetzten oder definitiv zur Leer-Stelle werde.
Unter dem Grenzwert (limes) von ul (für lim. l = infinity) verstehen
Fünfte Vorlesung.
— und wenn man will noch obendrein: 5) (fm)n(u) = fm × n(u) = (fn)m(u) — wie sie in der That Demjenigen, der den Zahlbegriff schon hat, auch unmittelbar einleuchten werden, indem z. B. bei 4) die drei als gleich hingestellten Ausdrücke übereinstimmend weiter nichts bedeuten, als die von u m + n mal hintereinander genommene Funktion f — u. s. w.
Dies vorausgesetzt ist ferner „die unbegrenzte Iteration“ f∞(u) zu definiren, sofern der Name fähig ist einer Erklärung, die auf den Be- griff von fλ(u) sich gründet und aus dem Verhalten dieses Relativs für alle und namentlich für unbegrenzt wachsende Iterationsexponenten λ motivirbar ist. Die Bedingung für letzteres wird die Konvergenz- bedingung für fλ(u), scilicet bei unbegrenzt wachsendem λ, zu nennen sein.
Ist überhaupt für die unbegrenzte Reihe von natürlichen Zahlen λ = 0, 1, 2, 3, … der Wert eines Relativs uλ bestimmt, z. B. für be- liebig viele Relative der „Reihe“ u0, u1, u2, u3, … aktuell gegeben, für den Rest durch ein Gesetz oder Prinzip begrifflich festgesetzt, so werden wir bei (als natürliche Zahl) unbegrenzt wach- sendem Zeiger λ zwar im Allgemeinen zu sagen haben, uλ „divergire“ und das Symbol u∞ habe keinen Sinn, doch wird es auch eine Klasse von Fällen geben, wo man sagen kann, das allgemeine Glied uλ unsrer Reihe „konvergire“, indem es einem bestimmten, festen, alsdann mit u∞ zu bezeichnenden Relativ als „Grenze“ „zustrebt“.
Letzteres ist der Fall, dann und nur dann, wenn für jede durch ein Suffix ij markirte Stelle der Tafel 12 — oder m. a. W. der Matrix von uλ — ein Zahlwert n angebbar ist oder existirt derart, dass in uλ die Stelle entweder für jedes λ > n ein Auge trägt, besetzt ist, oder aber für jedes λ > n leer, unbesetzt bleibt.
Eine Stelle ij der Matrix des mit λ veränderlichen Relativs uλ soll eine endgültig, „definitiv“ besetzte Stelle dieses variabeln Relativs heissen, wenn es solchen Wert n von λ gibt, dass für alle λ welche > n sind die Stelle in uλ sich als besetzt erweist; sie soll eine end- gültig unbesetzte oder definitive Leerstelle heissen, falls es eine solche Zahl n gibt, dass für alle λ > n die Stelle in uλ unbesetzt bleibt.
Unter Benutzung dieser Ausdrucksweisen können wir kürzer sagen:
uλ soll bei wachsendem λ konvergent genannt werden, wenn für jede Stelle seiner Matrix entschieden oder entscheidbar ist, ob sie de- finitiv zur besetzten oder definitiv zur Leer-Stelle werde.
Unter dem Grenzwert (limes) von uλ (für lim. λ = ∞) verstehen
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Fünfte Vorlesung.
— und wenn man will noch obendrein:
5) (fm)n(u) = fm × n(u) = (fn)m(u)
— wie sie in der That Demjenigen, der den Zahlbegriff schon hat, auch
unmittelbar einleuchten werden, indem z. B. bei 4) die drei als gleich
hingestellten Ausdrücke übereinstimmend weiter nichts bedeuten, als die
von u m + n mal hintereinander genommene Funktion f — u. s. w.
Dies vorausgesetzt ist ferner „die unbegrenzte Iteration“ f∞(u) zu
definiren, sofern der Name fähig ist einer Erklärung, die auf den Be-
griff von fλ(u) sich gründet und aus dem Verhalten dieses Relativs
für alle und namentlich für unbegrenzt wachsende Iterationsexponenten λ
motivirbar ist. Die Bedingung für letzteres wird die Konvergenz-
bedingung für fλ(u), scilicet bei unbegrenzt wachsendem λ, zu nennen sein.
Ist überhaupt für die unbegrenzte Reihe von natürlichen Zahlen
λ = 0, 1, 2, 3, … der Wert eines Relativs uλ bestimmt, z. B. für be-
liebig viele Relative der „Reihe“
u0, u1, u2, u3, …
aktuell gegeben, für den Rest durch ein Gesetz oder Prinzip begrifflich
festgesetzt, so werden wir bei (als natürliche Zahl) unbegrenzt wach-
sendem Zeiger λ zwar im Allgemeinen zu sagen haben, uλ „divergire“
und das Symbol u∞ habe keinen Sinn, doch wird es auch eine Klasse
von Fällen geben, wo man sagen kann, das allgemeine Glied uλ unsrer
Reihe „konvergire“, indem es einem bestimmten, festen, alsdann mit u∞
zu bezeichnenden Relativ als „Grenze“ „zustrebt“.
Letzteres ist der Fall, dann und nur dann, wenn für jede durch
ein Suffix ij markirte Stelle der Tafel 12 — oder m. a. W. der Matrix
von uλ — ein Zahlwert n angebbar ist oder existirt derart, dass in uλ
die Stelle entweder für jedes λ > n ein Auge trägt, besetzt ist, oder aber
für jedes λ > n leer, unbesetzt bleibt.
Eine Stelle ij der Matrix des mit λ veränderlichen Relativs uλ
soll eine endgültig, „definitiv“ besetzte Stelle dieses variabeln Relativs
heissen, wenn es solchen Wert n von λ gibt, dass für alle λ welche
> n sind die Stelle in uλ sich als besetzt erweist; sie soll eine end-
gültig unbesetzte oder definitive Leerstelle heissen, falls es eine solche
Zahl n gibt, dass für alle λ > n die Stelle in uλ unbesetzt bleibt.
Unter Benutzung dieser Ausdrucksweisen können wir kürzer sagen:
uλ soll bei wachsendem λ konvergent genannt werden, wenn für
jede Stelle seiner Matrix entschieden oder entscheidbar ist, ob sie de-
finitiv zur besetzten oder definitiv zur Leer-Stelle werde.
Unter dem Grenzwert (limes) von uλ (für lim. λ = ∞) verstehen
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 180. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/194>, abgerufen am 23.11.2024.
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