folgenden Sätze, welche jedenfalls verdienen unter den auf Zeilen- relative bezüglichen mitangeführt zu werden: 21)
[Formel 1]
22)
[Formel 2]
Dieselben sind äusserst leicht nachzurechnen.
Die höheren irreduziblen relativen Modulknüpfungen werden dem- nach das a nicht "am Rande", als ersten oder letzten Term, aufweisen können, folglich sowol Zeilen- als Kolonnenoperationen involviren.
Inbezug auf Beweismethoden gestatte ich mir hier eine Bemerkung anzuknüpfen auf die noch einigemal zurückzukommen sein wird.
Natürlich kann der Beweis aller unsrer Formeln auch mittelst Zurückführung auf die "Koeffizientenevidenz" geleistet werden. Jede Formel liefert uns -- falls sie etwa eine Gleichung L = R ist, in Gestalt von Li j = Ri j -- ein richtiges Schema des Aussagenkalkuls, dessen Richtigkeit auch rein analytisch nachweisbar sein muss. Diesen Nachweis zu erbringen ist aber oft eine nicht zu unterschätzende Kunst. Dies möge zunächst durch ein paar Beispiele illustrirt werden. Zu dem Ende wollen wir einmal die erste Formel 21) auf solchem Wege beweisen.
Es wird die Richtigkeit des Schemas: Li j = PhSkPl(ai l + 1'l k)0'k h = Phai h = Ri j darzuthun sein. Diese ist aber auf den ersten Blick selbst für den Ge- übten keineswegs ersichtlich. Man kann verbal überlegen:
Im Pl muss lk und in der Sk muss kh sein. Folglich ist der Wert h für l effektiv zulässig; denn für l = h wird bei jedem kh der Forderung lk schon von selbst genügt sein. D. h. in jedem Glied der Sk tritt der Faktor ai h auf und lässt sich vorziehen bis er dicht hinter dem Ph von Li j steht.
Ist nun bei gegebnem i auch nur eines der ai h gleich 0, so kommt die Gleichung auf 0 = 0 hinaus, weil beiderseits mindestens ein verschwin- dender Faktor ai h in dem Ph auftritt, und ist ihre Richtigkeit erwiesen. Die- selbe bleibt demnach nur mehr für den Fall darzuthun, wo alle ai h = 1 sind. Wenigstens unter dieser Voraussetzung muss dann gezeigt werden, dass der Faktor, den das in Li j = Phai h · etc. vorgezogene ai h erhält, für jedes h gleich 1 ist. Dieser Faktor "etc." wird rigoros den Ausdruck haben: Sk0'k hPl(ai l + 1'l k + 1'l h) = 1, weil in dem Pl neben ai k nach Vorziehung von ai h auch dieser Faktor fehlen muss; da jedoch tautologische Wiederholung desselben erlaubt ist,
Sechste Vorlesung.
folgenden Sätze, welche jedenfalls verdienen unter den auf Zeilen- relative bezüglichen mitangeführt zu werden: 21)
[Formel 1]
22)
[Formel 2]
Dieselben sind äusserst leicht nachzurechnen.
Die höheren irreduziblen relativen Modulknüpfungen werden dem- nach das a nicht „am Rande“, als ersten oder letzten Term, aufweisen können, folglich sowol Zeilen- als Kolonnenoperationen involviren.
Inbezug auf Beweismethoden gestatte ich mir hier eine Bemerkung anzuknüpfen auf die noch einigemal zurückzukommen sein wird.
Natürlich kann der Beweis aller unsrer Formeln auch mittelst Zurückführung auf die „Koeffizientenevidenz“ geleistet werden. Jede Formel liefert uns — falls sie etwa eine Gleichung L = R ist, in Gestalt von Li j = Ri j — ein richtiges Schema des Aussagenkalkuls, dessen Richtigkeit auch rein analytisch nachweisbar sein muss. Diesen Nachweis zu erbringen ist aber oft eine nicht zu unterschätzende Kunst. Dies möge zunächst durch ein paar Beispiele illustrirt werden. Zu dem Ende wollen wir einmal die erste Formel 21) auf solchem Wege beweisen.
Es wird die Richtigkeit des Schemas: Li j = ΠhΣkΠl(ai l + 1'l k)0'k h = Πhai h = Ri j darzuthun sein. Diese ist aber auf den ersten Blick selbst für den Ge- übten keineswegs ersichtlich. Man kann verbal überlegen:
Im Πl muss l ≠ k und in der Σk muss k ≠ h sein. Folglich ist der Wert h für l effektiv zulässig; denn für l = h wird bei jedem k ≠ h der Forderung l ≠ k schon von selbst genügt sein. D. h. in jedem Glied der Σk tritt der Faktor ai h auf und lässt sich vorziehen bis er dicht hinter dem Πh von Li j steht.
Ist nun bei gegebnem i auch nur eines der ai h gleich 0, so kommt die Gleichung auf 0 = 0 hinaus, weil beiderseits mindestens ein verschwin- dender Faktor ai h in dem Πh auftritt, und ist ihre Richtigkeit erwiesen. Die- selbe bleibt demnach nur mehr für den Fall darzuthun, wo alle ai h = 1 sind. Wenigstens unter dieser Voraussetzung muss dann gezeigt werden, dass der Faktor, den das in Li j = Πhai h · etc. vorgezogene ai h erhält, für jedes h gleich 1 ist. Dieser Faktor „etc.“ wird rigoros den Ausdruck haben: Σk0'k hΠl(ai l + 1'l k + 1'l h) = 1, weil in dem Πl neben ai k nach Vorziehung von ai h auch dieser Faktor fehlen muss; da jedoch tautologische Wiederholung desselben erlaubt ist,
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[212/0226]
Sechste Vorlesung.
folgenden Sätze, welche jedenfalls verdienen unter den auf Zeilen-
relative bezüglichen mitangeführt zu werden:
21) [FORMEL]
22) [FORMEL]
Dieselben sind äusserst leicht nachzurechnen.
Die höheren irreduziblen relativen Modulknüpfungen werden dem-
nach das a nicht „am Rande“, als ersten oder letzten Term, aufweisen
können, folglich sowol Zeilen- als Kolonnenoperationen involviren.
Inbezug auf Beweismethoden gestatte ich mir hier eine Bemerkung
anzuknüpfen auf die noch einigemal zurückzukommen sein wird.
Natürlich kann der Beweis aller unsrer Formeln auch mittelst
Zurückführung auf die „Koeffizientenevidenz“ geleistet werden. Jede
Formel liefert uns — falls sie etwa eine Gleichung L = R ist, in
Gestalt von Li j = Ri j — ein richtiges Schema des Aussagenkalkuls,
dessen Richtigkeit auch rein analytisch nachweisbar sein muss. Diesen
Nachweis zu erbringen ist aber oft eine nicht zu unterschätzende
Kunst. Dies möge zunächst durch ein paar Beispiele illustrirt werden.
Zu dem Ende wollen wir einmal die erste Formel 21) auf solchem
Wege beweisen.
Es wird die Richtigkeit des Schemas:
Li j = ΠhΣkΠl(ai l + 1'l k)0'k h = Πhai h = Ri j
darzuthun sein. Diese ist aber auf den ersten Blick selbst für den Ge-
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Im Πl muss l ≠ k und in der Σk muss k ≠ h sein. Folglich ist der
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Forderung l ≠ k schon von selbst genügt sein. D. h. in jedem Glied der
Σk tritt der Faktor ai h auf und lässt sich vorziehen bis er dicht hinter
dem Πh von Li j steht.
Ist nun bei gegebnem i auch nur eines der ai h gleich 0, so kommt
die Gleichung auf 0 = 0 hinaus, weil beiderseits mindestens ein verschwin-
dender Faktor ai h in dem Πh auftritt, und ist ihre Richtigkeit erwiesen. Die-
selbe bleibt demnach nur mehr für den Fall darzuthun, wo alle ai h = 1
sind. Wenigstens unter dieser Voraussetzung muss dann gezeigt werden,
dass der Faktor, den das in Li j = Πhai h · etc. vorgezogene ai h erhält, für
jedes h gleich 1 ist. Dieser Faktor „etc.“ wird rigoros den Ausdruck haben:
Σk0'k hΠl(ai l + 1'l k + 1'l h) = 1,
weil in dem Πl neben ai k nach Vorziehung von ai h auch dieser Faktor
fehlen muss; da jedoch tautologische Wiederholung desselben erlaubt ist,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 212. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/226>, abgerufen am 27.11.2024.
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