dende Summe (bei k = m) zum Faktor aufweist. Dagegen für jm kommt die Behauptung auf 1 + 0 = 1 hinaus.
Letzteres ist so zu sehen: Ri j wird = 1, weil 0'm j = 1 ist und somit der Term ai m = 1 als Summand auftritt. In Li j wird das zweite Glied = 0, indem das Pk bei k = m den verschwindenden Faktor Shai h0'h m auf- weist. In der ersten Summe verschwinden (wegen des bei hm ver- schwindenden Faktors ai h) alle Glieder bis auf das dem h = m entsprechende, welches sich als ai m0'm jPk(ani k + 1'k m) = ai m = 1 erweist, indem hierin das Pk die Negation der laut Voraussetzung verschwindenden Summe Skai k0'k m ist.
Drittens: bei i habe a eine mehrbesetzte Zeile, indem, mn gedacht, mindestens sowol ai m = 1 als ai n = 1 ist. In diesem Falle ist Shai h0'h k = 1 für jedes k, indem diese Summe (als Summe von allen ai h mit Ausnahme des ai k) von den beiden Gliedern ai m und ai n doch mindestens eines ent- hält. Die Negation dieser Summe, worin auch h und k vertauscht werden durften, mithin das Pk(ani k + 1'k h), ist also = 0 und kommt die Gleichung auf 0 + 1 = 1 hinaus.
Sie bewahrheitet sich mithin in allen Fällen, q. e. d. Hier gestaltet sich die zeilenschematische Verifikation einfach wie folgt: a = 1abg0, an = 0anbngn1, an j 1' = 000g1, (an j 1')a = 0000g0, (an j 1')a ; 0' = 000gn0, a ; 0' = 111gn0, a ; 0' j 0 = 11100, L = 111gn0 = R, und sticht dagegen augenscheinlich der vorhergehende Beweis durch seine Umständlichkeit -- wonicht seine Schwierigkeiten -- sehr unvorteilhaft ab.
Wenn nun doch die Herbeiführung der Koeffizientenevidenz zur Unterscheidung verschiedener Zeilenkategorieen uns nötigt, so werden wir diese Unterscheidung und die auf sie zu gründenden Schlüsse am besten sogleich in ihrer konzisesten Gestalt, nämlich in Form der fünfziffrig schematischen Darstellung und Rechnung, vollziehen! Letzteres Verfahren ist nicht nur als ein vollwichtiges Äquivalent der in §§ 4 und 7 noch anders charakterisirten streng analytischen Methode anzu- erkennen, sondern auch wol als eine Vereinfachung oder erhebliche Erleichterung derselben zu begrüssen.
Nur leider ist solches Verfahren bei weitem nicht überall anwendbar, weil eben die grosse Mehrzahl der Probleme keine reinen Parallelreihen- probleme sind.
Bei den Kolonnenproblemen ist die Darstellung und Rechnung genau die gleiche wie bei den Zeilenproblemen die ihnen dual ent- sprechen. Eventuell wird man sich nur durch ein nach Art eines musikalischen Notenschlüssels erstmals vorgeschriebenes z oder k -- etwa in Gestalt des Ansatzes: a = z1abg0 resp. a = k1abg0 zum Bewusstsein zu bringen haben, ob die "Ziffern" auf Zeilen- oder ob sie auf Kolonnenkategorieen hinweisen sollen.
Sechste Vorlesung.
dende Summe (bei k = m) zum Faktor aufweist. Dagegen für j ≠ m kommt die Behauptung auf 1 + 0 = 1 hinaus.
Letzteres ist so zu sehen: Ri j wird = 1, weil 0'm j = 1 ist und somit der Term ai m = 1 als Summand auftritt. In Li j wird das zweite Glied = 0, indem das Πk bei k = m den verschwindenden Faktor Σhai h0'h m auf- weist. In der ersten Summe verschwinden (wegen des bei h ≠ m ver- schwindenden Faktors ai h) alle Glieder bis auf das dem h = m entsprechende, welches sich als ai m0'm jΠk(āi k + 1'k m) = ai m = 1 erweist, indem hierin das Πk die Negation der laut Voraussetzung verschwindenden Summe Σkai k0'k m ist.
Drittens: bei i habe a eine mehrbesetzte Zeile, indem, m ≠ n gedacht, mindestens sowol ai m = 1 als ai n = 1 ist. In diesem Falle ist Σhai h0'h k = 1 für jedes k, indem diese Summe (als Summe von allen ai h mit Ausnahme des ai k) von den beiden Gliedern ai m und ai n doch mindestens eines ent- hält. Die Negation dieser Summe, worin auch h und k vertauscht werden durften, mithin das Πk(āi k + 1'k h), ist also = 0 und kommt die Gleichung auf 0 + 1 = 1 hinaus.
Sie bewahrheitet sich mithin in allen Fällen, q. e. d. Hier gestaltet sich die zeilenschematische Verifikation einfach wie folgt: a = 1αβγ0, ā = 0ᾱβ̄γ̄1, ā ɟ 1' = 000γ1, (ā ɟ 1')a = 0000γ0, (ā ɟ 1')a ; 0' = 000γ̄0, a ; 0' = 111γ̄0, a ; 0' ɟ 0 = 11100, L = 111γ̄0 = R, und sticht dagegen augenscheinlich der vorhergehende Beweis durch seine Umständlichkeit — wonicht seine Schwierigkeiten — sehr unvorteilhaft ab.
Wenn nun doch die Herbeiführung der Koeffizientenevidenz zur Unterscheidung verschiedener Zeilenkategorieen uns nötigt, so werden wir diese Unterscheidung und die auf sie zu gründenden Schlüsse am besten sogleich in ihrer konzisesten Gestalt, nämlich in Form der fünfziffrig schematischen Darstellung und Rechnung, vollziehen! Letzteres Verfahren ist nicht nur als ein vollwichtiges Äquivalent der in §§ 4 und 7 noch anders charakterisirten streng analytischen Methode anzu- erkennen, sondern auch wol als eine Vereinfachung oder erhebliche Erleichterung derselben zu begrüssen.
Nur leider ist solches Verfahren bei weitem nicht überall anwendbar, weil eben die grosse Mehrzahl der Probleme keine reinen Parallelreihen- probleme sind.
Bei den Kolonnenproblemen ist die Darstellung und Rechnung genau die gleiche wie bei den Zeilenproblemen die ihnen dual ent- sprechen. Eventuell wird man sich nur durch ein nach Art eines musikalischen Notenschlüssels erstmals vorgeschriebenes z oder k — etwa in Gestalt des Ansatzes: a = z1αβγ0 resp. a = k1αβγ0 zum Bewusstsein zu bringen haben, ob die „Ziffern“ auf Zeilen- oder ob sie auf Kolonnenkategorieen hinweisen sollen.
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[214/0228]
Sechste Vorlesung.
dende Summe (bei k = m) zum Faktor aufweist. Dagegen für j ≠ m kommt
die Behauptung auf 1 + 0 = 1 hinaus.
Letzteres ist so zu sehen: Ri j wird = 1, weil 0'm j = 1 ist und somit
der Term ai m = 1 als Summand auftritt. In Li j wird das zweite Glied
= 0, indem das Πk bei k = m den verschwindenden Faktor Σhai h0'h m auf-
weist. In der ersten Summe verschwinden (wegen des bei h ≠ m ver-
schwindenden Faktors ai h) alle Glieder bis auf das dem h = m entsprechende,
welches sich als ai m0'm jΠk(āi k + 1'k m) = ai m = 1 erweist, indem hierin das Πk
die Negation der laut Voraussetzung verschwindenden Summe Σkai k0'k m ist.
Drittens: bei i habe a eine mehrbesetzte Zeile, indem, m ≠ n gedacht,
mindestens sowol ai m = 1 als ai n = 1 ist. In diesem Falle ist Σhai h0'h k = 1
für jedes k, indem diese Summe (als Summe von allen ai h mit Ausnahme
des ai k) von den beiden Gliedern ai m und ai n doch mindestens eines ent-
hält. Die Negation dieser Summe, worin auch h und k vertauscht werden
durften, mithin das Πk(āi k + 1'k h), ist also = 0 und kommt die Gleichung
auf 0 + 1 = 1 hinaus.
Sie bewahrheitet sich mithin in allen Fällen, q. e. d. Hier gestaltet
sich die zeilenschematische Verifikation einfach wie folgt:
a = 1αβγ0, ā = 0ᾱβ̄γ̄1, ā ɟ 1' = 000γ1, (ā ɟ 1')a = 0000γ0,
(ā ɟ 1')a ; 0' = 000γ̄0, a ; 0' = 111γ̄0, a ; 0' ɟ 0 = 11100, L = 111γ̄0 = R,
und sticht dagegen augenscheinlich der vorhergehende Beweis durch seine
Umständlichkeit — wonicht seine Schwierigkeiten — sehr unvorteilhaft ab.
Wenn nun doch die Herbeiführung der Koeffizientenevidenz zur
Unterscheidung verschiedener Zeilenkategorieen uns nötigt, so werden
wir diese Unterscheidung und die auf sie zu gründenden Schlüsse am
besten sogleich in ihrer konzisesten Gestalt, nämlich in Form der
fünfziffrig schematischen Darstellung und Rechnung, vollziehen! Letzteres
Verfahren ist nicht nur als ein vollwichtiges Äquivalent der in §§ 4
und 7 noch anders charakterisirten streng analytischen Methode anzu-
erkennen, sondern auch wol als eine Vereinfachung oder erhebliche
Erleichterung derselben zu begrüssen.
Nur leider ist solches Verfahren bei weitem nicht überall anwendbar,
weil eben die grosse Mehrzahl der Probleme keine reinen Parallelreihen-
probleme sind.
Bei den Kolonnenproblemen ist die Darstellung und Rechnung
genau die gleiche wie bei den Zeilenproblemen die ihnen dual ent-
sprechen. Eventuell wird man sich nur durch ein nach Art eines
musikalischen Notenschlüssels erstmals vorgeschriebenes z oder k —
etwa in Gestalt des Ansatzes:
a = z1αβγ0 resp. a = k1αβγ0
zum Bewusstsein zu bringen haben, ob die „Ziffern“ auf Zeilen- oder
ob sie auf Kolonnenkategorieen hinweisen sollen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 214. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/228>, abgerufen am 27.11.2024.
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