Das allgemeinste zu den "Parallelreihenproblemen" gehörige Auf- lösungsproblem besteht darin, eine Gleichung 1) F(x) = 0 aufzulösen, deren Polynom F(x) eine Parallelreihen-(z. B. Zeilen-) Abwandlung von x ist, d. h. zu dessen Zeilen- oder Kolonnengruppe gehört.
Formell noch etwas allgemeiner wäre das Problem der Auflösung sei es einer Subsumtion sei es einer Gleichung: 2) ph(x) ps(x) resp. ph(x) = ps(x), worin beide Seiten der Zeilengruppe*) von x angehören. Für solche prak- tisch immerhin wichtige Fälle sei der Rat eingeschaltet, sie auf die vorige Form zurückzuführen gemäss den Schemata: ph(x)ps(x) = 0 resp. ph(x)ps(x) + ph(x)ps(x) = 0, indem man -- x = 1abg0 gesetzt -- erst zeilenschematisch ihre beiden Seiten ph(x) und ps(x) selbst ausrechnet und deren so gewonnene Dar- stellungen nach Bedarf negirt, nicht aber in Gestalt von phn(x), psn(x) die Negation schon an den analytischen Funktionsausdrücken ausführt. Die Zurückführung der Aufgaben 2) auf die speziellere Form 1) vollzieht sich alsdann mit solcher Leichtigkeit, dass es nicht verlohnt, das für diese 1) vorzutragende Auflösungsverfahren auch auf die Aufgaben 2) ausdrücklich auszudehnen, für welche es sich in der That unschwer modifiziren aber doch nicht ohne Umständlichkeiten schildern lassen würde.
Wie sich zeigen wird liefert die Elimination von x aus 1), sofern diese Gleichung nicht absurd ist, allemal keine Resultante und ist die Gleichung immer auflösbar. Aus diesem Grunde kann hier das Auf- lösungsproblem unabhängig von und vor dem Eliminationsprobleme er- ledigt werden.
Und soll bei den Zeilenproblemen überhaupt von einer Elimina- tionsaufgabe die Rede sein, so müssen wir diese in der ihr im § 12, S. 174 gegebenen weiteren Fassung formuliren als die Aufgabe: aus einer Gleichung 3) f(u) = x, in welcher x gegeben ist und f(u) eine blosse Zeilenabwandlung von u vorstellt, das unbestimmte Relativ u zu eliminiren.
Von diesen beiden inversen Problemen wollen wir nunmehr das Auflösungsproblem 1) in Angriff nehmen. Zu einem leichten und eleganten Verfahren, dasselbe systematisch zu lösen, gelangen wir,
*) Immer das Analoge für Kolonnen mit zu sagen unterlassen wir fortan.
Sechste Vorlesung.
Das allgemeinste zu den „Parallelreihenproblemen“ gehörige Auf- lösungsproblem besteht darin, eine Gleichung 1) F(x) = 0 aufzulösen, deren Polynom F(x) eine Parallelreihen-(z. B. Zeilen-) Abwandlung von x ist, d. h. zu dessen Zeilen- oder Kolonnengruppe gehört.
Formell noch etwas allgemeiner wäre das Problem der Auflösung sei es einer Subsumtion sei es einer Gleichung: 2) φ(x) ⋹ψ(x) resp. φ(x) = ψ(x), worin beide Seiten der Zeilengruppe*) von x angehören. Für solche prak- tisch immerhin wichtige Fälle sei der Rat eingeschaltet, sie auf die vorige Form zurückzuführen gemäss den Schemata: φ(x)ψ(x)͞ = 0 resp. φ(x)ψ(x)͞ + φ(x)͞ψ(x) = 0, indem man — x = 1αβγ0 gesetzt — erst zeilenschematisch ihre beiden Seiten φ(x) und ψ(x) selbst ausrechnet und deren so gewonnene Dar- stellungen nach Bedarf negirt, nicht aber in Gestalt von φ̄(x), ψ̄(x) die Negation schon an den analytischen Funktionsausdrücken ausführt. Die Zurückführung der Aufgaben 2) auf die speziellere Form 1) vollzieht sich alsdann mit solcher Leichtigkeit, dass es nicht verlohnt, das für diese 1) vorzutragende Auflösungsverfahren auch auf die Aufgaben 2) ausdrücklich auszudehnen, für welche es sich in der That unschwer modifiziren aber doch nicht ohne Umständlichkeiten schildern lassen würde.
Wie sich zeigen wird liefert die Elimination von x aus 1), sofern diese Gleichung nicht absurd ist, allemal keine Resultante und ist die Gleichung immer auflösbar. Aus diesem Grunde kann hier das Auf- lösungsproblem unabhängig von und vor dem Eliminationsprobleme er- ledigt werden.
Und soll bei den Zeilenproblemen überhaupt von einer Elimina- tionsaufgabe die Rede sein, so müssen wir diese in der ihr im § 12, S. 174 gegebenen weiteren Fassung formuliren als die Aufgabe: aus einer Gleichung 3) f(u) = x, in welcher x gegeben ist und f(u) eine blosse Zeilenabwandlung von u vorstellt, das unbestimmte Relativ u zu eliminiren.
Von diesen beiden inversen Problemen wollen wir nunmehr das Auflösungsproblem 1) in Angriff nehmen. Zu einem leichten und eleganten Verfahren, dasselbe systematisch zu lösen, gelangen wir,
*) Immer das Analoge für Kolonnen mit zu sagen unterlassen wir fortan.
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Sechste Vorlesung.
Das allgemeinste zu den „Parallelreihenproblemen“ gehörige Auf-
lösungsproblem besteht darin, eine Gleichung
1) F(x) = 0
aufzulösen, deren Polynom F(x) eine Parallelreihen-(z. B. Zeilen-)
Abwandlung von x ist, d. h. zu dessen Zeilen- oder Kolonnengruppe
gehört.
Formell noch etwas allgemeiner wäre das Problem der Auflösung sei
es einer Subsumtion sei es einer Gleichung:
2) φ(x) ⋹ψ(x) resp. φ(x) = ψ(x),
worin beide Seiten der Zeilengruppe *) von x angehören. Für solche prak-
tisch immerhin wichtige Fälle sei der Rat eingeschaltet, sie auf die vorige
Form zurückzuführen gemäss den Schemata:
φ(x)ψ(x)͞ = 0 resp. φ(x)ψ(x)͞ + φ(x)͞ψ(x) = 0,
indem man — x = 1αβγ0 gesetzt — erst zeilenschematisch ihre beiden
Seiten φ(x) und ψ(x) selbst ausrechnet und deren so gewonnene Dar-
stellungen nach Bedarf negirt, nicht aber in Gestalt von φ̄(x), ψ̄(x) die
Negation schon an den analytischen Funktionsausdrücken ausführt. Die
Zurückführung der Aufgaben 2) auf die speziellere Form 1) vollzieht sich
alsdann mit solcher Leichtigkeit, dass es nicht verlohnt, das für diese 1)
vorzutragende Auflösungsverfahren auch auf die Aufgaben 2) ausdrücklich
auszudehnen, für welche es sich in der That unschwer modifiziren aber
doch nicht ohne Umständlichkeiten schildern lassen würde.
Wie sich zeigen wird liefert die Elimination von x aus 1), sofern
diese Gleichung nicht absurd ist, allemal keine Resultante und ist die
Gleichung immer auflösbar. Aus diesem Grunde kann hier das Auf-
lösungsproblem unabhängig von und vor dem Eliminationsprobleme er-
ledigt werden.
Und soll bei den Zeilenproblemen überhaupt von einer Elimina-
tionsaufgabe die Rede sein, so müssen wir diese in der ihr im § 12,
S. 174 gegebenen weiteren Fassung formuliren als die Aufgabe: aus
einer Gleichung
3) f(u) = x,
in welcher x gegeben ist und f(u) eine blosse Zeilenabwandlung von u
vorstellt, das unbestimmte Relativ u zu eliminiren.
Von diesen beiden inversen Problemen wollen wir nunmehr das
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*) Immer das Analoge für Kolonnen mit zu sagen unterlassen wir fortan.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 224. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/238>, abgerufen am 23.11.2024.
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