Dieses -- ich nenne es das "bedingte" c -- ist aber dann nicht neben b beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche lautet: 8) c = c ; b j bn und erhalten wird, indem man den Wert 5) von a in 7) einträgt.
Ergebniss der Betrachtungen ist also:
Die Auflösung der Gleichung 1) x ; b = a lässt sich wann man will zurückführen auf die einer Gleichung 6) x ; b = c ; b, in welcher zwischen b und c die Relation 8) besteht.
Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all- gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch für das allgemeine Problem aufgrund der beiden ersten Inversionstheoreme die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.
Ich will mich, durch eine Bemerkung von Peirce veranlasst, zuerst über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.
Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form x ; b = a ; b ansetzen mögen, wo a und b unabhängig beliebig gegeben zu denken, vermögen wir an Partikularlösungen zunächst dreie anzugeben: Erstens: x = a, zweitens: x = a ; b j bn. Diese beiden verstehen sich -- die letztere aus 3) -- von selbst. Drittens aber -- was ich früh durch Zufall entdeckte: x = a · a ; b ; b.
Dies beruht auf dem Satze: 9)
[Formel 1]
Beweis (des ersten). Es ist Li j = Shai hSk lai kbk lbh lbh j, was mit k = h, l = j die Glieder Ri j = Shai hbh j liefert, sodass Ri jLi j also RL feststeht. Umgekehrt versteht sich LR schon daraus, weil a(a ; b ; b) a sein muss, q. e. d.
Besässen wir nun die allgemeine Wurzel x des Problems x ; b = a ; b in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso alle möglichen Relative anzugeben, welche mit b relativ nachmultiplizirt a liefern, und verfügten wir damit sofort über eine unbegrenzte Fülle von Sätzen, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!
Ich vermag daher Herrn Peirce kaum beizustimmen, wenn er 9c p. 193 sozusagen abfällig von den "inversen Operationen" spricht. Die allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als Knüpfungsergebniss zwischen a und b (Funktion von a und b -- neben u) aufgefasst, würde uns eben die (eine) "inverse Operation" zur relativen Multiplikation dar- stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be- zeichnend).
Siebente Vorlesung.
Dieses — ich nenne es das „bedingte“ c — ist aber dann nicht neben b beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche lautet: 8) c = c ; b ɟ b̄̆ und erhalten wird, indem man den Wert 5) von a in 7) einträgt.
Ergebniss der Betrachtungen ist also:
Die Auflösung der Gleichung 1) x ; b = a lässt sich wann man will zurückführen auf die einer Gleichung 6) x ; b = c ; b, in welcher zwischen b und c die Relation 8) besteht.
Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all- gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch für das allgemeine Problem aufgrund der beiden ersten Inversionstheoreme die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.
Ich will mich, durch eine Bemerkung von Peirce veranlasst, zuerst über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.
Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form x ; b = a ; b ansetzen mögen, wo a und b unabhängig beliebig gegeben zu denken, vermögen wir an Partikularlösungen zunächst dreie anzugeben: Erstens: x = a, zweitens: x = a ; b ɟ b̄̆. Diese beiden verstehen sich — die letztere aus 3) — von selbst. Drittens aber — was ich früh durch Zufall entdeckte: x = a · a ; b ; b̆.
Dies beruht auf dem Satze: 9)
[Formel 1]
Beweis (des ersten). Es ist Li j = Σhai hΣk lai kbk lbh lbh j, was mit k = h, l = j die Glieder Ri j = Σhai hbh j liefert, sodass Ri j ⋹ Li j also R ⋹ L feststeht. Umgekehrt versteht sich L ⋹ R schon daraus, weil a(a ; b ; b̆) ⋹ a sein muss, q. e. d.
Besässen wir nun die allgemeine Wurzel x des Problems x ; b = a ; b in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso alle möglichen Relative anzugeben, welche mit b relativ nachmultiplizirt a liefern, und verfügten wir damit sofort über eine unbegrenzte Fülle von Sätzen, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!
Ich vermag daher Herrn Peirce kaum beizustimmen, wenn er 9c p. 193 sozusagen abfällig von den „inversen Operationen“ spricht. Die allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als Knüpfungsergebniss zwischen a und b (Funktion von a und b — neben u) aufgefasst, würde uns eben die (eine) „inverse Operation“ zur relativen Multiplikation dar- stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be- zeichnend).
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Siebente Vorlesung.
Dieses — ich nenne es das „bedingte“ c — ist aber dann nicht
neben b beliebig, sondern geht mit letzterm eine Relation ein, welche
lautet:
8) c = c ; b ɟ b̄̆
und erhalten wird, indem man den Wert 5) von a in 7) einträgt.
Ergebniss der Betrachtungen ist also:
Die Auflösung der Gleichung 1) x ; b = a lässt sich wann man
will zurückführen auf die einer Gleichung 6) x ; b = c ; b, in welcher
zwischen b und c die Relation 8) besteht.
Die allgemeine Lösung dieser und einer Hülfsaufgabe, auf die sie
leicht zurückzuführen, hat mich über ein Jahr lang vexirt. Zwar gelang
es mir nach und nach für zahlreiche Partikularfälle des Problems die all-
gemeine Lösung zu gewinnen, doch führte jeder erdenkliche Versuch, auch
für das allgemeine Problem aufgrund der beiden ersten Inversionstheoreme
die allgemeine Wurzel zu finden, in einen circulus vitiosus.
Ich will mich, durch eine Bemerkung von Peirce veranlasst, zuerst
über die Wünschbarkeit solch allgemeiner Lösung aussprechen.
Bei dem allgemeinen Probleme, das wir nun auch in der Form
x ; b = a ; b ansetzen mögen, wo a und b unabhängig beliebig gegeben zu
denken, vermögen wir an Partikularlösungen zunächst dreie anzugeben:
Erstens: x = a, zweitens: x = a ; b ɟ b̄̆. Diese beiden verstehen sich —
die letztere aus 3) — von selbst. Drittens aber — was ich früh durch
Zufall entdeckte: x = a · a ; b ; b̆.
Dies beruht auf dem Satze:
9) [FORMEL]
Beweis (des ersten). Es ist Li j = Σhai hΣk lai kbk lbh lbh j, was mit
k = h, l = j die Glieder Ri j = Σhai hbh j liefert, sodass Ri j ⋹ Li j also R ⋹ L
feststeht. Umgekehrt versteht sich L ⋹ R schon daraus, weil a(a ; b ; b̆) ⋹ a
sein muss, q. e. d.
Besässen wir nun die allgemeine Wurzel x des Problems x ; b = a ; b
in geschlossener Form oder überhaupt, so würden wir imstande sein, ebenso
alle möglichen Relative anzugeben, welche mit b relativ nachmultiplizirt a
liefern, und verfügten wir damit sofort über eine unbegrenzte Fülle von
Sätzen, wie 3) und 9). Und solches wäre doch schon zur Kompletirung
des Formalismus unsrer Disziplin dringend zu wünschen!
Ich vermag daher Herrn Peirce kaum beizustimmen, wenn er 9c
p. 193 sozusagen abfällig von den „inversen Operationen“ spricht. Die
allgemeine Wurzel unsres dritten Inversionsproblemes, als Knüpfungsergebniss
zwischen a und b (Funktion von a und b — neben u) aufgefasst, würde
uns eben die (eine) „inverse Operation“ zur relativen Multiplikation dar-
stellen (die man auch relative Teilung nennen könnte, die andre als relative
Messung davon unterscheidend, und beide als die relativen Divisionen be-
zeichnend).
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 260. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/274>, abgerufen am 25.11.2024.
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