Ungeachtet der Evidenz dieser Herleitung führen wir beide Proben aus. Probe 1: Es ist (a ; 1)(un j 0 + u) ; 1 = a ; 1 · (un j 0 + u) ; 1 = a ; 1 · {(un j 0) ; 1 + u ; 1} = = a ; 1 · (un j 0 + u ; 1) = a ; 1 · 1 = a ; 1, q. e. d.
Probe 2. Ist x ; 1 = a ; 1, so muss x = a ; 1 · (xn j 0 + x) als richtig nachgewiesen werden, d. h. x = x ; 1 · (xn j 0 + x) = x ; 1 · x, was durch xx ; 1 garantirt erscheint, q. e. d.
Hiernach -- aus 24) -- versteht sich auch 23) von selbst, zumal über die Resultante kein Wort mehr zu verlieren ist.
Um bei 26) der Gleichung x ; 0' = a ; 0' zu genügen, könnte man die zur Lösung führende Diskussion auch bequem an die von den Koeffizienten zu erfüllende Forderung anknüpfen, wonach etwa für eine bestimmte, mit i markirte Zeile bewirkt werden muss, dass für jedes j werde Shxi h0'h j = Shai h0'h j, d. h. xi A + xi B + .. (ohne xi j) = ai A + ai B + .. (ohne ai j).
Indessen, wenn man bedenkt, dass um a ; 0' zu bilden man die mehr- besetzten Zeilen von a in Vollzeilen, die einbesetzten Zeilen von a in ihre Negation (also in einlückige Zeilen) zu verwandeln und die Leerzeilen von a zu belassen hat -- analog bei x um x ; 0' zu bilden -- so kann man auch ohne weiteres an den Relativen selbst einsehen, dass entsprechen müssen:
den Leerzeilen von a auch Leerzeilen bei x,
den mehrbesetzten Zeilen von a auch mehrzählig (aber vielleicht irgendwie anders) besetzte Zeilen von x,
den einbesetzten Zeilen von a dagegen auch genau in gleicher Weise, kongruent damit, einaugig besetzte Zeilen von x -- sowie dass diese Bedingungen auch hinreichende sein werden.
Darnach muss x sich additiv aus zwei Teilen zusammensetzen (welche unter a ; 1 enthalten sein werden), nämlich aus dem mit a selbst multipli- zirten Relativ an j 1', d. h. zum einen Teile aus dem (an j 1)a, welches be- kanntlich (§ 15) die einbesetzten Zeilen von a aus diesem Relative aus- schliesslich hervorhebt. Und zum andern Teile aus dem Relative a ; 0' j 0 welches blos die mehrbesetzten Zeilen von a in Vollzeilen verwandelt, dieses aber multiplizirt mit irgend einem (dem allgemeinsten) Relative y, welches nur mehrbesetzte Zeilen aufweist.
Ein solches ergibt sich nach den ersten und zweiten Inversions- theoremen systematisch als die Auflösung der Subsumtion: 27)
[Formel 1]
-- oder auch, weil das Problem ein reines "Zeilenproblem" ist, nach den Methoden des § 16 -- vergl. 15) S. 229.
Siebente Vorlesung.
Ungeachtet der Evidenz dieser Herleitung führen wir beide Proben aus. Probe 1: Es ist (a ; 1)(ū ɟ 0 + u) ; 1 = a ; 1 · (ū ɟ 0 + u) ; 1 = a ; 1 · {(ū ɟ 0) ; 1 + u ; 1} = = a ; 1 · (ū ɟ 0 + u ; 1) = a ; 1 · 1 = a ; 1, q. e. d.
Probe 2. Ist x ; 1 = a ; 1, so muss x = a ; 1 · (x̄ ɟ 0 + x) als richtig nachgewiesen werden, d. h. x = x ; 1 · (x̄ ɟ 0 + x) = x ; 1 · x, was durch x ⋹ x ; 1 garantirt erscheint, q. e. d.
Hiernach — aus 24) — versteht sich auch 23) von selbst, zumal über die Resultante kein Wort mehr zu verlieren ist.
Um bei 26) der Gleichung x ; 0' = a ; 0' zu genügen, könnte man die zur Lösung führende Diskussion auch bequem an die von den Koeffizienten zu erfüllende Forderung anknüpfen, wonach etwa für eine bestimmte, mit i markirte Zeile bewirkt werden muss, dass für jedes j werde Σhxi h0'h j = Σhai h0'h j, d. h. xi A + xi B + ‥ (ohne xi j) = ai A + ai B + ‥ (ohne ai j).
Indessen, wenn man bedenkt, dass um a ; 0' zu bilden man die mehr- besetzten Zeilen von a in Vollzeilen, die einbesetzten Zeilen von a in ihre Negation (also in einlückige Zeilen) zu verwandeln und die Leerzeilen von a zu belassen hat — analog bei x um x ; 0' zu bilden — so kann man auch ohne weiteres an den Relativen selbst einsehen, dass entsprechen müssen:
den Leerzeilen von a auch Leerzeilen bei x,
den mehrbesetzten Zeilen von a auch mehrzählig (aber vielleicht irgendwie anders) besetzte Zeilen von x,
den einbesetzten Zeilen von a dagegen auch genau in gleicher Weise, kongruent damit, einaugig besetzte Zeilen von x — sowie dass diese Bedingungen auch hinreichende sein werden.
Darnach muss x sich additiv aus zwei Teilen zusammensetzen (welche unter a ; 1 enthalten sein werden), nämlich aus dem mit a selbst multipli- zirten Relativ ā ɟ 1', d. h. zum einen Teile aus dem (ā ɟ 1)a, welches be- kanntlich (§ 15) die einbesetzten Zeilen von a aus diesem Relative aus- schliesslich hervorhebt. Und zum andern Teile aus dem Relative a ; 0' ɟ 0 welches blos die mehrbesetzten Zeilen von a in Vollzeilen verwandelt, dieses aber multiplizirt mit irgend einem (dem allgemeinsten) Relative y, welches nur mehrbesetzte Zeilen aufweist.
Ein solches ergibt sich nach den ersten und zweiten Inversions- theoremen systematisch als die Auflösung der Subsumtion: 27)
[Formel 1]
— oder auch, weil das Problem ein reines „Zeilenproblem“ ist, nach den Methoden des § 16 — vergl. 15) S. 229.
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[270/0284]
Siebente Vorlesung.
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(a ; 1)(ū ɟ 0 + u) ; 1 = a ; 1 · (ū ɟ 0 + u) ; 1 = a ; 1 · {(ū ɟ 0) ; 1 + u ; 1} =
= a ; 1 · (ū ɟ 0 + u ; 1) = a ; 1 · 1 = a ; 1, q. e. d.
Probe 2. Ist x ; 1 = a ; 1, so muss x = a ; 1 · (x̄ ɟ 0 + x) als richtig
nachgewiesen werden, d. h.
x = x ; 1 · (x̄ ɟ 0 + x) = x ; 1 · x, was durch x ⋹ x ; 1
garantirt erscheint, q. e. d.
Hiernach — aus 24) — versteht sich auch 23) von selbst, zumal
über die Resultante kein Wort mehr zu verlieren ist.
Um bei 26) der Gleichung
x ; 0' = a ; 0'
zu genügen, könnte man die zur Lösung führende Diskussion auch bequem
an die von den Koeffizienten zu erfüllende Forderung anknüpfen, wonach
etwa für eine bestimmte, mit i markirte Zeile bewirkt werden muss, dass
für jedes j werde
Σhxi h0'h j = Σhai h0'h j, d. h. xi A + xi B + ‥ (ohne xi j) = ai A + ai B + ‥ (ohne ai j).
Indessen, wenn man bedenkt, dass um a ; 0' zu bilden man die mehr-
besetzten Zeilen von a in Vollzeilen, die einbesetzten Zeilen von a in ihre
Negation (also in einlückige Zeilen) zu verwandeln und die Leerzeilen
von a zu belassen hat — analog bei x um x ; 0' zu bilden — so kann
man auch ohne weiteres an den Relativen selbst einsehen, dass entsprechen
müssen:
den Leerzeilen von a auch Leerzeilen bei x,
den mehrbesetzten Zeilen von a auch mehrzählig (aber vielleicht
irgendwie anders) besetzte Zeilen von x,
den einbesetzten Zeilen von a dagegen auch genau in gleicher Weise,
kongruent damit, einaugig besetzte Zeilen von x
— sowie dass diese Bedingungen auch hinreichende sein werden.
Darnach muss x sich additiv aus zwei Teilen zusammensetzen (welche
unter a ; 1 enthalten sein werden), nämlich aus dem mit a selbst multipli-
zirten Relativ ā ɟ 1', d. h. zum einen Teile aus dem (ā ɟ 1)a, welches be-
kanntlich (§ 15) die einbesetzten Zeilen von a aus diesem Relative aus-
schliesslich hervorhebt. Und zum andern Teile aus dem Relative a ; 0' ɟ 0
welches blos die mehrbesetzten Zeilen von a in Vollzeilen verwandelt, dieses
aber multiplizirt mit irgend einem (dem allgemeinsten) Relative y, welches
nur mehrbesetzte Zeilen aufweist.
Ein solches ergibt sich nach den ersten und zweiten Inversions-
theoremen systematisch als die Auflösung der Subsumtion:
27) [FORMEL]
— oder auch, weil das Problem ein reines „Zeilenproblem“ ist, nach den
Methoden des § 16 — vergl. 15) S. 229.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 270. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/284>, abgerufen am 25.11.2024.
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