x = (an j 1')a + (a ; 0' j 0){(xn j 1') ; 1 + x} = (xn j 1')a + (x ; 0' j 0){(xn j 1') ; 1 + x} das heisst: x = (xn j 1')a + (x ; 0' j 0)x sein muss. Dies geht am bequemsten schematisch.
Sollte für a = 1abg0 überhaupt x ; 0' = a ; 0' sein, so musste x die Form haben: x = 1'a'b'g0, wo die Zeilenkategorien g, 0 von x mit denen g, 0 von a bezüglich identisch sind, dagegen von den Zeilenkategorien 1'a'b' des x nur erforderlich ist, dass sie zusammen dieselben Zeilen erfüllen wie die 1ab von a. Nun wird: x ; 0' j 0 = 1'1'1'00 = 11100, xn j 1' = 000g1 = 0'0'0'g1 also in der That: (xn j 1')a + (x ; 0' j 0)x = 0'0'0'g0 + 1'a'b'00 = 1'a'b'g0 = x, q. e. d. Stellt x = f(u) die allgemeine Wurzel vor, so haben wir also sicher auch die Adventivforderung erfüllt: (x ; 0' = a ; 0') = {f(x) = x}.
Nunmehr ist noch die erste Gleichung 25) zu rechtfertigen. Man erhält die in ihr angeführte Resultante nach dem allgemeinen Schema 2). Mit Rücksicht auf diese lässt sich die aufzulösende Gleichung schreiben: x ; 0' = (a j 1') ; 0', woraus erhellt, dass man den Ausdruck für die all- gemeine Wurzel bekommen wird, indem man in dem der ersten Gleichung 26) das a durch a j 1' ersetzt. So ergibt sich zunächst: x = (an ; 0' j 1')(a j 1') + {(a j 1') ; 0' j 0}y, wenn wir für den letzten nur u enthaltenden Faktor die Abkürzung y wie in 27) benutzen.
Nun ist in fünfziffrigem Zeilenschema leicht nachzurechnen, dass für jedes a als Formeln gelten: (an ; 0' j 1')(a j 1') = (a j 1')an, (a j 1') ; 0' j 0 = a j 0, wovon wir letzteres schon unter 21) des § 15 gebucht haben. Folglich entsteht: x = (a j 1')an + (a j 0)y wie in 25) angegeben. --
Eine Formel für die allgemeine Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b, welche wenigstens für b = 1, 0, 1', 0' gültig unsre einschlägigen Ergebnisse 24) bis 26) empirisch zusammenfasst, würde sein: x = (an j bn) ; b ; b · a + (a ; b j bn j bn){(un j bn) ; b ; b + u} -- wie im letzten Falle aufgrund des zeilenrechnerisch zu erhärtenden (an j 1') ; 1 · a = (an j 1')a zu sehn ist. Allgemein aber bewahrheitet sich diese Formel keineswegs!
Letztres erkennt man am schnellsten etwa so, dass andernfalles auch für u = 1 sicher sein müsste: (a ; b j bn j bn) ; ba ; b, das heisst: a ; b j bn j bna ; b j bn, ganz allgemein.
Siebente Vorlesung.
x = (ā ɟ 1')a + (a ; 0' ɟ 0){(x̄ ɟ 1') ; 1 + x} = (x̄ ɟ 1')a + (x ; 0' ɟ 0){(x̄ ɟ 1') ; 1 + x} das heisst: x = (x̄ ɟ 1')a + (x ; 0' ɟ 0)x sein muss. Dies geht am bequemsten schematisch.
Sollte für a = 1αβγ0 überhaupt x ; 0' = a ; 0' sein, so musste x die Form haben: x = 1'α'β'γ0, wo die Zeilenkategorien γ, 0 von x mit denen γ, 0 von a bezüglich identisch sind, dagegen von den Zeilenkategorien 1'α'β' des x nur erforderlich ist, dass sie zusammen dieselben Zeilen erfüllen wie die 1αβ von a. Nun wird: x ; 0' ɟ 0 = 1'1'1'00 = 11100, x̄ ɟ 1' = 000γ1 = 0'0'0'γ1 also in der That: (x̄ ɟ 1')a + (x ; 0' ɟ 0)x = 0'0'0'γ0 + 1'α'β'00 = 1'α'β'γ0 = x, q. e. d. Stellt x = f(u) die allgemeine Wurzel vor, so haben wir also sicher auch die Adventivforderung erfüllt: (x ; 0' = a ; 0') = {f(x) = x}.
Nunmehr ist noch die erste Gleichung 25) zu rechtfertigen. Man erhält die in ihr angeführte Resultante nach dem allgemeinen Schema 2). Mit Rücksicht auf diese lässt sich die aufzulösende Gleichung schreiben: x ; 0' = (a ɟ 1') ; 0', woraus erhellt, dass man den Ausdruck für die all- gemeine Wurzel bekommen wird, indem man in dem der ersten Gleichung 26) das a durch a ɟ 1' ersetzt. So ergibt sich zunächst: x = (ā ; 0' ɟ 1')(a ɟ 1') + {(a ɟ 1') ; 0' ɟ 0}y, wenn wir für den letzten nur u enthaltenden Faktor die Abkürzung y wie in 27) benutzen.
Nun ist in fünfziffrigem Zeilenschema leicht nachzurechnen, dass für jedes a als Formeln gelten: (ā ; 0' ɟ 1')(a ɟ 1') = (a ɟ 1')ā, (a ɟ 1') ; 0' ɟ 0 = a ɟ 0, wovon wir letzteres schon unter 21) des § 15 gebucht haben. Folglich entsteht: x = (a ɟ 1')ā + (a ɟ 0)y wie in 25) angegeben. —
Eine Formel für die allgemeine Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b, welche wenigstens für b = 1, 0, 1', 0' gültig unsre einschlägigen Ergebnisse 24) bis 26) empirisch zusammenfasst, würde sein: x = (ā ɟ b̄) ; b̆ ; b · a + (a ; b ɟ b̄̆ ɟ b̄){(ū ɟ b̄) ; b̆ ; b + u} — wie im letzten Falle aufgrund des zeilenrechnerisch zu erhärtenden (ā ɟ 1') ; 1 · a = (ā ɟ 1')a zu sehn ist. Allgemein aber bewahrheitet sich diese Formel keineswegs!
Letztres erkennt man am schnellsten etwa so, dass andernfalles auch für u = 1 sicher sein müsste: (a ; b ɟ b̄̆ ɟ b̄) ; b ⋹ a ; b, das heisst: a ; b ɟ b̄̆ ɟ b̄ ⋹ a ; b ɟ b̄̆, ganz allgemein.
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Siebente Vorlesung.
x = (ā ɟ 1')a + (a ; 0' ɟ 0){(x̄ ɟ 1') ; 1 + x} = (x̄ ɟ 1')a + (x ; 0' ɟ 0){(x̄ ɟ 1') ; 1 + x}
das heisst:
x = (x̄ ɟ 1')a + (x ; 0' ɟ 0)x
sein muss. Dies geht am bequemsten schematisch.
Sollte für a = 1αβγ0 überhaupt x ; 0' = a ; 0' sein, so musste x die
Form haben: x = 1'α'β'γ0, wo die Zeilenkategorien γ, 0 von x mit denen
γ, 0 von a bezüglich identisch sind, dagegen von den Zeilenkategorien 1'α'β'
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die 1αβ von a. Nun wird:
x ; 0' ɟ 0 = 1'1'1'00 = 11100, x̄ ɟ 1' = 000γ1 = 0'0'0'γ1
also in der That:
(x̄ ɟ 1')a + (x ; 0' ɟ 0)x = 0'0'0'γ0 + 1'α'β'00 = 1'α'β'γ0 = x, q. e. d.
Stellt x = f(u) die allgemeine Wurzel vor, so haben wir also sicher auch
die Adventivforderung erfüllt: (x ; 0' = a ; 0') = {f(x) = x}.
Nunmehr ist noch die erste Gleichung 25) zu rechtfertigen. Man
erhält die in ihr angeführte Resultante nach dem allgemeinen Schema 2).
Mit Rücksicht auf diese lässt sich die aufzulösende Gleichung schreiben:
x ; 0' = (a ɟ 1') ; 0', woraus erhellt, dass man den Ausdruck für die all-
gemeine Wurzel bekommen wird, indem man in dem der ersten Gleichung 26)
das a durch a ɟ 1' ersetzt. So ergibt sich zunächst:
x = (ā ; 0' ɟ 1')(a ɟ 1') + {(a ɟ 1') ; 0' ɟ 0}y,
wenn wir für den letzten nur u enthaltenden Faktor die Abkürzung y wie
in 27) benutzen.
Nun ist in fünfziffrigem Zeilenschema leicht nachzurechnen, dass für
jedes a als Formeln gelten:
(ā ; 0' ɟ 1')(a ɟ 1') = (a ɟ 1')ā, (a ɟ 1') ; 0' ɟ 0 = a ɟ 0,
wovon wir letzteres schon unter 21) des § 15 gebucht haben. Folglich
entsteht:
x = (a ɟ 1')ā + (a ɟ 0)y
wie in 25) angegeben. —
Eine Formel für die allgemeine Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b,
welche wenigstens für b = 1, 0, 1', 0' gültig unsre einschlägigen Ergebnisse
24) bis 26) empirisch zusammenfasst, würde sein:
x = (ā ɟ b̄) ; b̆ ; b · a + (a ; b ɟ b̄̆ ɟ b̄){(ū ɟ b̄) ; b̆ ; b + u}
— wie im letzten Falle aufgrund des zeilenrechnerisch zu erhärtenden
(ā ɟ 1') ; 1 · a = (ā ɟ 1')a zu sehn ist. Allgemein aber bewahrheitet sich
diese Formel keineswegs!
Letztres erkennt man am schnellsten etwa so, dass andernfalles auch
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a ; b ɟ b̄̆ ɟ b̄ ⋹ a ; b ɟ b̄̆,
ganz allgemein.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 272. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/286>, abgerufen am 18.02.2025.
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