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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen.

22) [Formel 1]
wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem
man a für u sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor,
indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 j a = 0 j a, an ; 1 = an ; 1 wird.
Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten
Subsumtion 19) mittelst b 0 j a oder b = b(0 j a) genügt, und den Wert
in die erste einträgt. Diese wird: an ; 1 · a 1 ; b(0 j a) = 1 ; b · (0 j a) und
zerfällt in an ; 1 · a 0 j a, was auf 18) hinauskommt, und in an ; 1 · a 1 ; b,
welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge-
eignete Bestimmung von b zu genügen ist. Die Lösung wird:
b = u + an ; 1 · a · (0 j un), womit b = (0 j a)u + (0 j a) · an ; 1 · a · (0 j un)
gewonnen ist, was sich noch wegen (0 j a)a = 0 j a vereinfacht. Sagt
man schliesslich b für die definitiv verbleibende Unbestimmte u des Er-
gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden.

Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit
dem Ergebnisse 22) zu machen, also erstens zu zeigen, dass die Resul-
tante 17) für beliebige a und b durch das System der Ausdrücke 22) er-
füllt wird, und zweitens nachzuweisen, dass man ein gegebenes der Resul-
tante 17) genügendes Wertepaar a, b mittelst der Annahme a = a, b = b
aus 22) richtig erhält.

Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An-
wendung bereits bekannter Sätze zu der Formel:
a j 0 j a = a j 0 + (0 j a) · 1 ; b + (0 j a) · 1 ; an ; 1,
welche sowol für a = 1 als für a 1 mit einiger Kunst zu recht-
fertigen ist.

Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation:
(0 j a){b + an ; 1 · (0 j bn)} = b oder (0 j a) · an ; 1 · bn(0 j bn) + b · 1 ; an = 0
wo in der That der erste Term wegen an ; 1 · (0 j bn) = an und an(0 j a) = 0,
der letzte wegen (1 ; b a) = (b 0 j a) = (1 ; an bn) verschwindet.

Wir haben oben die Resultante der Elimination von b aus der
Gleichung 17) abgeleitet. Man kann aber endlich auch die Frage auf-
werfen nach der Resultante der Elimination von a aus dieser Gleichung
17) -- als einer Relation für b. Die Antwort lautet: eine solche gibt
es nicht. Das Relativ b kann beliebig angenommen werden, und es
lässt sich allemal ein a bestimmen, welches dann die Gleichung 17)
erfüllt.

Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22)
a = a j 0 j a zu nehmen:
a = 1 ; b.

Damit wird auch 0 j a = 1 ; b und a = 1 ; b j 1 ; b = 1 ; b, welch letz-
terer Vereinfachung zugrunde liegt der

Schröder, Algebra der Relative. 19

§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen.

22) [Formel 1]
wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem
man α für u sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor,
indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 ɟ a = 0 ɟ α, ā ; 1 = ᾱ ; 1 wird.
Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten
Subsumtion 19) mittelst b ⋹ 0 ɟ a oder b = β(0 ɟ a) genügt, und den Wert
in die erste einträgt. Diese wird: ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β(0 ɟ a) = 1 ; β · (0 ɟ a) und
zerfällt in ā ; 1 · a ⋹ 0 ɟ a, was auf 18) hinauskommt, und in ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β,
welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge-
eignete Bestimmung von β zu genügen ist. Die Lösung wird:
β = u + ā ; 1 · a · (0 ɟ ū), womit b = (0 ɟ a)u + (0 ɟ a) · ā ; 1 · a · (0 ɟ ū)
gewonnen ist, was sich noch wegen (0 ɟ a)a = 0 ɟ a vereinfacht. Sagt
man schliesslich β für die definitiv verbleibende Unbestimmte u des Er-
gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden.

Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit
dem Ergebnisse 22) zu machen, also erstens zu zeigen, dass die Resul-
tante 17) für beliebige α und β durch das System der Ausdrücke 22) er-
füllt wird, und zweitens nachzuweisen, dass man ein gegebenes der Resul-
tante 17) genügendes Wertepaar a, b mittelst der Annahme α = a, β = b
aus 22) richtig erhält.

Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An-
wendung bereits bekannter Sätze zu der Formel:
α ɟ 0 ɟ α = α ɟ 0 + (0 ɟ α) · 1 ; β + (0 ɟ α) · 1 ; ᾱ ; 1,
welche sowol für α = 1 als für α ≠ 1 mit einiger Kunst zu recht-
fertigen ist.

Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation:
(0 ɟ a){b + ā ; 1 · (0 ɟ b̄)} = b oder (0 ɟ a) · ā ; 1 · b̄(0 ɟ b̄) + b · 1 ; ā = 0
wo in der That der erste Term wegen ā ; 1 · (0 ɟ b̄) = ā und ā(0 ɟ a) = 0,
der letzte wegen (1 ; b ⋹ a) = (b ⋹ 0 ɟ a) = (1 ; ā ⋹ b̄) verschwindet.

Wir haben oben die Resultante der Elimination von b aus der
Gleichung 17) abgeleitet. Man kann aber endlich auch die Frage auf-
werfen nach der Resultante der Elimination von a aus dieser Gleichung
17) — als einer Relation für b. Die Antwort lautet: eine solche gibt
es nicht. Das Relativ b kann beliebig angenommen werden, und es
lässt sich allemal ein a bestimmen, welches dann die Gleichung 17)
erfüllt.

Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22)
a = α ɟ 0 ɟ α zu nehmen:
α = 1 ; b.

Damit wird auch 0 ɟ α = 1 ; b und a = 1 ; b ɟ 1 ; b = 1 ; b, welch letz-
terer Vereinfachung zugrunde liegt der

Schröder, Algebra der Relative. 19

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[289/0303] § 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen. 22) [FORMEL] wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem man α für u sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor, indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 ɟ a = 0 ɟ α, ā ; 1 = ᾱ ; 1 wird. Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten Subsumtion 19) mittelst b ⋹ 0 ɟ a oder b = β(0 ɟ a) genügt, und den Wert in die erste einträgt. Diese wird: ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β(0 ɟ a) = 1 ; β · (0 ɟ a) und zerfällt in ā ; 1 · a ⋹ 0 ɟ a, was auf 18) hinauskommt, und in ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β, welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge- eignete Bestimmung von β zu genügen ist. Die Lösung wird: β = u + ā ; 1 · a · (0 ɟ ū), womit b = (0 ɟ a)u + (0 ɟ a) · ā ; 1 · a · (0 ɟ ū) gewonnen ist, was sich noch wegen (0 ɟ a)a = 0 ɟ a vereinfacht. Sagt man schliesslich β für die definitiv verbleibende Unbestimmte u des Er- gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden. Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit dem Ergebnisse 22) zu machen, also erstens zu zeigen, dass die Resul- tante 17) für beliebige α und β durch das System der Ausdrücke 22) er- füllt wird, und zweitens nachzuweisen, dass man ein gegebenes der Resul- tante 17) genügendes Wertepaar a, b mittelst der Annahme α = a, β = b aus 22) richtig erhält. Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An- wendung bereits bekannter Sätze zu der Formel: α ɟ 0 ɟ α = α ɟ 0 + (0 ɟ α) · 1 ; β + (0 ɟ α) · 1 ; ᾱ ; 1, welche sowol für α = 1 als für α ≠ 1 mit einiger Kunst zu recht- fertigen ist. Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation: (0 ɟ a){b + ā ; 1 · (0 ɟ b̄)} = b oder (0 ɟ a) · ā ; 1 · b̄(0 ɟ b̄) + b · 1 ; ā = 0 wo in der That der erste Term wegen ā ; 1 · (0 ɟ b̄) = ā und ā(0 ɟ a) = 0, der letzte wegen (1 ; b ⋹ a) = (b ⋹ 0 ɟ a) = (1 ; ā ⋹ b̄) verschwindet. Wir haben oben die Resultante der Elimination von b aus der Gleichung 17) abgeleitet. Man kann aber endlich auch die Frage auf- werfen nach der Resultante der Elimination von a aus dieser Gleichung 17) — als einer Relation für b. Die Antwort lautet: eine solche gibt es nicht. Das Relativ b kann beliebig angenommen werden, und es lässt sich allemal ein a bestimmen, welches dann die Gleichung 17) erfüllt. Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22) a = α ɟ 0 ɟ α zu nehmen: α = 1 ; b. Damit wird auch 0 ɟ α = 1 ; b und a = 1 ; b ɟ 1 ; b = 1 ; b, welch letz- terer Vereinfachung zugrunde liegt der Schröder, Algebra der Relative. 19

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 289. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/303>, abgerufen am 23.11.2024.

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