Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.

aus welchem die Lösungen aller (übrigen) Aufgaben 1) bis 27) dann als
partikulare Fälle hervorgehen. Für die letzte Aufgabengruppe 22) bis 27)
allerdings wird dieser Weg sich nicht empfehlen, vielmehr ist hiezu blos
zu sagen, dass der Nachweis der daselbst angegebnen Aussagenäquivalenzen
oder die Zurückführung der als äquivalent behaupteten Aussagen auf
einander eine leichte Übungsaufgabe für Anfänger bildet.

Ich gebe daher jetzt den Beweis, zunächst zu 10) und 12), wobei
ich mich mit der Verifikation der Lösungsformen für die Probleme linker-
hand vermittelst der beiden Proben begnüge.

Zur ersten Lösungsform x = u + au von 10) hat man als Probe 1:
x = u + au, also ax = au + aau au + u = x, und als Probe 2:
(ax x) , sogar = (x = x + ax).

Zur zweiten Lösungsform x = u(an + u) von 10) ist Probe 1 mit
x = u(an + u), ax = auu uu x geleistet und Probe 2 mit
(ax x) = (x an + x) = (x an + x) = {x = x(an + x)}.

Zu 12), mit nur einer Lösungsform x = u + (a + a)un, folgt
xn = un(anan + u), axn = auun u x,
womit denn Probe 1 stimmt. Ist aber axn x, so muss auch x = x + (a + a)xn
sein und stimmt die Probe 2. Denn es fallen die nachstehenden Probleme
zusammen:
(axn x) = {(a + a)xn x}, und auch = (axn x),
indem beide Seitenaussagen äquivalent sind mit
(a x + x) = (a x + x) = (a + a x + x).

Wie im Probleme, so können demnach auch in der Lösung die drei
Symbole a, a und a + a einander vertreten und hätte man formell ein-
facher schon
x = u + aun
als die Lösung hinstellen können, womit die Probe 1 als
axn = aanun + auun aun + u = x
ebenfalls stimmte. --

Analog nun die übrigen Lösungen zu verifiziren, die etwaigen Resul-
tanten zu gewinnen und die angeführten Problemäquivalenzen nachzu-
weisen -- wie z. B. bei 11) wo
(x ax) = (x a)(x x) = (x = x)(x aa), cf. 5),
zunächst zerfällt, u. s. w. -- sei als eine nicht zu verachtende Übung, bis
auf 14), dem Leser überlassen. Schwieriger würde die Zumutung der Ent-
deckung der Lösungen sein, wie sie mir vor Inangriffnahme des allgemeinern
Problems einzeln obgelegen.

[Als bemerkenswert verdient vielleicht einmal angeführt zu werden,
was eine Art Korollar zu 27) bildet, dass allgemein:

anaan = 0

1 = an + a + an

§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.

Ich gebe daher jetzt den Beweis, zunächst zu 10) und 12), wobei
ich mich mit der Verifikation der Lösungsformen für die Probleme linker-
hand vermittelst der beiden Proben begnüge.

Zur ersten Lösungsform x = u + aŭ von 10) hat man als Probe 1:
x̆ = ŭ + ău, also ax̆ = aŭ + aău ⋹ aŭ + u = x, und als Probe 2:
(ax̆ ⋹ x) ⋹, sogar = (x = x + ax̆).

Zur zweiten Lösungsform x = u(ā̆ + ŭ) von 10) ist Probe 1 mit
x̆ = ŭ(ā + u), ax̆ = auŭ ⋹ uŭ ⋹ x geleistet und Probe 2 mit
(ax̆ ⋹ x) = (x̆ ⋹ ā + x) = (x ⋹ ā̆ + x̆) = {x = x(ā̆ + x̆)}.

Zu 12), mit nur einer Lösungsform x = u + (a + ă)ū̆, folgt
x̄̆ = ū̆(āā̆ + u), ax̄̆ = auū̆ ⋹ u ⋹ x,
womit denn Probe 1 stimmt. Ist aber ax̄̆ ⋹ x, so muss auch x = x + (a + ă)x̄̆
sein und stimmt die Probe 2. Denn es fallen die nachstehenden Probleme
zusammen:
(ax̄̆ ⋹ x) = {(a + ă)x̄̆ ⋹ x}, und auch = (ăx̄̆ ⋹ x),
indem beide Seitenaussagen äquivalent sind mit
(a ⋹ x + x̆) = (ă ⋹ x + x̆) = (a + ă ⋹ x + x̆).

Wie im Probleme, so können demnach auch in der Lösung die drei
Symbole a, ă und a + ă einander vertreten und hätte man formell ein-
facher schon
x = u + aū̆
als die Lösung hinstellen können, womit die Probe 1 als
ax̄̆ = aā̆ū̆ + auū̆ ⋹ aū̆ + u = x
ebenfalls stimmte. —

Analog nun die übrigen Lösungen zu verifiziren, die etwaigen Resul-
tanten zu gewinnen und die angeführten Problemäquivalenzen nachzu-
weisen — wie z. B. bei 11) wo
(x ⋹ ax̆) = (x ⋹ a)(x ⋹ x̆) = (x̆ = x)(x ⋹ aă), cf. 5),
zunächst zerfällt, u. s. w. — sei als eine nicht zu verachtende Übung, bis
auf 14), dem Leser überlassen. Schwieriger würde die Zumutung der Ent-
deckung der Lösungen sein, wie sie mir vor Inangriffnahme des allgemeinern
Problems einzeln obgelegen.

[Als bemerkenswert verdient vielleicht einmal angeführt zu werden,
was eine Art Korollar zu 27) bildet, dass allgemein:

āăā̆ = 0

1 = ā + ă + ā̆

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0317" n="303"/><fw place="top" type="header">§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.</fw><lb/>
aus welchem die Lösungen aller (übrigen) Aufgaben 1) bis 27) dann als<lb/>
partikulare Fälle hervorgehen. Für die letzte Aufgabengruppe 22) bis 27)<lb/>
allerdings wird dieser Weg sich nicht empfehlen, vielmehr ist hiezu blos<lb/>
zu sagen, dass der Nachweis der daselbst angegebnen Aussagenäquivalenzen<lb/>
oder die Zurückführung der als äquivalent behaupteten Aussagen auf<lb/>
einander eine leichte Übungsaufgabe für Anfänger bildet.</p><lb/>
          <p>Ich gebe daher jetzt den <hi rendition="#g">Beweis</hi>, zunächst zu 10) und 12), wobei<lb/>
ich mich mit der Verifikation der Lösungsformen für die Probleme linker-<lb/>
hand vermittelst der beiden Proben begnüge.</p><lb/>
          <p>Zur ersten Lösungsform <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">au&#x0306;</hi> von 10) hat man als Probe 1:<lb/><hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">u&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;u</hi>, also <hi rendition="#i">ax&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">au&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">aa&#x0306;u</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">au&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>, und als Probe 2:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">ax&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>) &#x22F9;, sogar = (<hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">ax&#x0306;</hi>).</hi></p><lb/>
          <p>Zur zweiten Lösungsform <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">u</hi>(<hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">u&#x0306;</hi>) von 10) ist Probe 1 mit<lb/><hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">u&#x0306;</hi>(<hi rendition="#i">a&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>), <hi rendition="#i">ax&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">auu&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">uu&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> geleistet und Probe 2 mit<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">ax&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi>) = {<hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>(<hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi>)}.</hi></p><lb/>
          <p>Zu 12), mit nur <hi rendition="#i">einer</hi> Lösungsform <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">u</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi>)<hi rendition="#i">u&#x0304;&#x0306;</hi>, folgt<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x&#x0304;&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">u&#x0304;&#x0306;</hi>(<hi rendition="#i">a&#x0304;a&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>), <hi rendition="#i">ax&#x0304;&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">auu&#x0304;&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">u</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>,</hi><lb/>
womit denn Probe 1 stimmt. Ist aber <hi rendition="#i">ax&#x0304;&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>, so muss auch <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi>)<hi rendition="#i">x&#x0304;&#x0306;</hi><lb/>
sein und stimmt die Probe 2. Denn es fallen die nachstehenden Probleme<lb/>
zusammen:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">ax&#x0304;&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>) = {(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi>)<hi rendition="#i">x&#x0304;&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>}, und auch = (<hi rendition="#i">a&#x0306;x&#x0304;&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi>),</hi><lb/>
indem beide Seitenaussagen äquivalent sind mit<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi>) = (<hi rendition="#i">a&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi>).</hi></p><lb/>
          <p>Wie im Probleme, so können demnach auch in der Lösung <hi rendition="#i">die drei<lb/>
Symbole a</hi>, <hi rendition="#i">a&#x0306; und a</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306; einander vertreten</hi> und hätte man formell ein-<lb/>
facher schon<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">au&#x0304;&#x0306;</hi></hi><lb/>
als die Lösung hinstellen können, womit die Probe 1 als<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">ax&#x0304;&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">aa&#x0304;&#x0306;u&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">auu&#x0304;&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">au&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">x</hi></hi><lb/>
ebenfalls stimmte. &#x2014;</p><lb/>
          <p>Analog nun die übrigen Lösungen zu verifiziren, die etwaigen Resul-<lb/>
tanten zu gewinnen und die angeführten Problemäquivalenzen nachzu-<lb/>
weisen &#x2014; wie z. B. bei 11) wo<lb/><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">ax&#x0306;</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi>)(<hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi>) = (<hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>)(<hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">aa&#x0306;</hi>), cf. 5),</hi><lb/>
zunächst zerfällt, u. s. w. &#x2014; sei als eine nicht zu verachtende Übung, bis<lb/>
auf 14), dem Leser überlassen. Schwieriger würde die Zumutung der Ent-<lb/>
deckung der Lösungen sein, wie sie mir vor Inangriffnahme des allgemeinern<lb/>
Problems einzeln obgelegen.</p><lb/>
          <p>[Als bemerkenswert verdient vielleicht einmal angeführt zu werden,<lb/>
was eine Art Korollar zu 27) bildet, dass allgemein:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">a&#x0304;a&#x0306;a&#x0304;&#x0306;</hi> = 0</cell><cell>1 = <hi rendition="#i">a&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi></cell></row><lb/></table>
</p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[303/0317] § 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben. aus welchem die Lösungen aller (übrigen) Aufgaben 1) bis 27) dann als partikulare Fälle hervorgehen. Für die letzte Aufgabengruppe 22) bis 27) allerdings wird dieser Weg sich nicht empfehlen, vielmehr ist hiezu blos zu sagen, dass der Nachweis der daselbst angegebnen Aussagenäquivalenzen oder die Zurückführung der als äquivalent behaupteten Aussagen auf einander eine leichte Übungsaufgabe für Anfänger bildet. Ich gebe daher jetzt den Beweis, zunächst zu 10) und 12), wobei ich mich mit der Verifikation der Lösungsformen für die Probleme linker- hand vermittelst der beiden Proben begnüge. Zur ersten Lösungsform x = u + aŭ von 10) hat man als Probe 1: x̆ = ŭ + ău, also ax̆ = aŭ + aău ⋹ aŭ + u = x, und als Probe 2: (ax̆ ⋹ x) ⋹, sogar = (x = x + ax̆). Zur zweiten Lösungsform x = u(ā̆ + ŭ) von 10) ist Probe 1 mit x̆ = ŭ(ā + u), ax̆ = auŭ ⋹ uŭ ⋹ x geleistet und Probe 2 mit (ax̆ ⋹ x) = (x̆ ⋹ ā + x) = (x ⋹ ā̆ + x̆) = {x = x(ā̆ + x̆)}. Zu 12), mit nur einer Lösungsform x = u + (a + ă)ū̆, folgt x̄̆ = ū̆(āā̆ + u), ax̄̆ = auū̆ ⋹ u ⋹ x, womit denn Probe 1 stimmt. Ist aber ax̄̆ ⋹ x, so muss auch x = x + (a + ă)x̄̆ sein und stimmt die Probe 2. Denn es fallen die nachstehenden Probleme zusammen: (ax̄̆ ⋹ x) = {(a + ă)x̄̆ ⋹ x}, und auch = (ăx̄̆ ⋹ x), indem beide Seitenaussagen äquivalent sind mit (a ⋹ x + x̆) = (ă ⋹ x + x̆) = (a + ă ⋹ x + x̆). Wie im Probleme, so können demnach auch in der Lösung die drei Symbole a, ă und a + ă einander vertreten und hätte man formell ein- facher schon x = u + aū̆ als die Lösung hinstellen können, womit die Probe 1 als ax̄̆ = aā̆ū̆ + auū̆ ⋹ aū̆ + u = x ebenfalls stimmte. — Analog nun die übrigen Lösungen zu verifiziren, die etwaigen Resul- tanten zu gewinnen und die angeführten Problemäquivalenzen nachzu- weisen — wie z. B. bei 11) wo (x ⋹ ax̆) = (x ⋹ a)(x ⋹ x̆) = (x̆ = x)(x ⋹ aă), cf. 5), zunächst zerfällt, u. s. w. — sei als eine nicht zu verachtende Übung, bis auf 14), dem Leser überlassen. Schwieriger würde die Zumutung der Ent- deckung der Lösungen sein, wie sie mir vor Inangriffnahme des allgemeinern Problems einzeln obgelegen. [Als bemerkenswert verdient vielleicht einmal angeführt zu werden, was eine Art Korollar zu 27) bildet, dass allgemein: āăā̆ = 0 1 = ā + ă + ā̆

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/317
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 303. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/317>, abgerufen am 23.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.