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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 3. Formale Grundlagen. Abacus.
mittelst Anwendung von Buchstaben als allgemeiner Wertzeichen die Menge
der als selbständige hinzustellenden fundamentalen Konventionen noch
weiter verringern oder reduziren. So würden sich die erste und die dritte
Konvention (2) in die Formel a a -- unser früheres Prinzip I -- zu-
sammenfassen lassen, und würden die 6 Festsetzungen der ersten Zeile
von (3) schon durch die viere a · 0 = 0 = 0 · a, a + 1 = 1 = 1 + a ersetz-
bar sein.

Ebensogut lassen aber auch die drei ersten Konventionen (2) in die
beiden sich zusammenziehen 0 a 1, die uns als "Def. (2)" von Bd. 1
her wohlbekannt sind, und -- noch besser -- fassen sich schon alle 8 Kon-
ventionen (3) zu den 4 wohlbekannten Gesetzen zusammen: a · 0 = 0,
a + 1 = 1, a · 1 = a = a + 0.

Am wirksamsten dürfte aber zur Reduktion unsres Konventionen-
systems -- sofern man solche überhaupt noch begehren mag -- ein Ver-
fahren sich erweisen, welches darauf hinausliefe, die Begründungsweise des
identischen Kalkuls wie sie in Bd. 1 für eine viel umfassendere Mannig-
faltigkeit bereits gegeben worden, hier, für unsern so beschränkten Wert-
bereich 0, 1, im wesentlichen zu wiederholen. Insbesondre wären dabei die
8 Konventionen (3) durch die "Definitionen (3)" in Bd. 1 S. 196 sq. von
Produkt und Summe, -- statuirt in allgemeinen Wertzeichen a, b, c --
zu ersetzen, und aus diesen der Abacus -- so wie Bd. 1 S. 271 sq. die
"Theoreme 21) und 22)" -- zu beweisen.

Unstreitig liesse sich also hinbringen, dass man für das Bisherige
auf eine geringere Zahl von selbständigen Festsetzungen blos sich zu be-
rufen brauchte.

Man könnte deren aber auch eine grössere Anzahl herausbringen
[statt 15 bis jetzt im Maximum 26]. Denn: auch darin lag etwas Will-
kürliches, dass wir Subsumtionen wie Gleichungen unterschiedlos als "Fest-
setzungen" zählten, während doch kraft (1) jede Gleichung ein Paar von
Subsumtionen in sich schliesst.

Über die genaue Anzahl der als selbständige Konventionen ganz un-
umgänglichen Festsetzungen, welche die formale Grundlage für unsre ge-
samte Theorie zu bilden hätten, will ich daher mit niemand rechten.

Mit ihrer Aufzählung bezwecke ich blos, einen praktisch vorzüglich
brauchbaren Ausgangspunkt zu schaffen und eine vollkommene Übersicht
anzubahnen. Da bilden denn in der That die bisherigen 15 Daten jeden-
falls den Kern und spezifizirten Inhalt dessen, was ein damit äquivalentes
System von Konventionen allgemeinerer Form aussagen (in sich begreifen,
involviren) würde, welches etwa diese Data noch konziser zusammenzufassen
strebte -- wie immer auch solches formulirt sein möge. Dieser Kern
erscheint hier in kunstloser Enumeration in's Einzelne ("detaillirt") aus-
einander-gesetzt.

Von vornherein leuchtet ein, was auch die Folge bekräftigen
wird, dass unser Konventionensystem ein widerspruchsfreies ist, wie
denn überhaupt dieselben von vornherein als von einander unabhängige
erscheinen. Beide Überzeugungen sind aus der Wahrnehmung zu
schöpfen, dass jede einzelne von diesen Festsetzungen (1) bis (4) sozu-

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§ 3. Formale Grundlagen. Abacus.
mittelst Anwendung von Buchstaben als allgemeiner Wertzeichen die Menge
der als selbständige hinzustellenden fundamentalen Konventionen noch
weiter verringern oder reduziren. So würden sich die erste und die dritte
Konvention (2) in die Formel a ⋹ a — unser früheres Prinzip I — zu-
sammenfassen lassen, und würden die 6 Festsetzungen der ersten Zeile
von (3) schon durch die viere a · 0 = 0 = 0 · a, a + 1 = 1 = 1 + a ersetz-
bar sein.

Ebensogut lassen aber auch die drei ersten Konventionen (2) in die
beiden sich zusammenziehen 0 ⋹ a ⋹ 1, die uns als „Def. (2)“ von Bd. 1
her wohlbekannt sind, und — noch besser — fassen sich schon alle 8 Kon-
ventionen (3) zu den 4 wohlbekannten Gesetzen zusammen: a · 0 = 0,
a + 1 = 1, a · 1 = a = a + 0.

Am wirksamsten dürfte aber zur Reduktion unsres Konventionen-
systems — sofern man solche überhaupt noch begehren mag — ein Ver-
fahren sich erweisen, welches darauf hinausliefe, die Begründungsweise des
identischen Kalkuls wie sie in Bd. 1 für eine viel umfassendere Mannig-
faltigkeit bereits gegeben worden, hier, für unsern so beschränkten Wert-
bereich 0, 1, im wesentlichen zu wiederholen. Insbesondre wären dabei die
8 Konventionen (3) durch die „Definitionen (3)“ in Bd. 1 S. 196 sq. von
Produkt und Summe, — statuirt in allgemeinen Wertzeichen a, b, c —
zu ersetzen, und aus diesen der Abacus — so wie Bd. 1 S. 271 sq. die
„Theoreme 21) und 22)“ — zu beweisen.

Unstreitig liesse sich also hinbringen, dass man für das Bisherige
auf eine geringere Zahl von selbständigen Festsetzungen blos sich zu be-
rufen brauchte.

Man könnte deren aber auch eine grössere Anzahl herausbringen
[statt 15 bis jetzt im Maximum 26]. Denn: auch darin lag etwas Will-
kürliches, dass wir Subsumtionen wie Gleichungen unterschiedlos als „Fest-
setzungen“ zählten, während doch kraft (1) jede Gleichung ein Paar von
Subsumtionen in sich schliesst.

Über die genaue Anzahl der als selbständige Konventionen ganz un-
umgänglichen Festsetzungen, welche die formale Grundlage für unsre ge-
samte Theorie zu bilden hätten, will ich daher mit niemand rechten.

Mit ihrer Aufzählung bezwecke ich blos, einen praktisch vorzüglich
brauchbaren Ausgangspunkt zu schaffen und eine vollkommene Übersicht
anzubahnen. Da bilden denn in der That die bisherigen 15 Daten jeden-
falls den Kern und spezifizirten Inhalt dessen, was ein damit äquivalentes
System von Konventionen allgemeinerer Form aussagen (in sich begreifen,
involviren) würde, welches etwa diese Data noch konziser zusammenzufassen
strebte — wie immer auch solches formulirt sein möge. Dieser Kern
erscheint hier in kunstloser Enumeration in’s Einzelne („detaillirt“) aus-
einander-gesetzt.

Von vornherein leuchtet ein, was auch die Folge bekräftigen
wird, dass unser Konventionensystem ein widerspruchsfreies ist, wie
denn überhaupt dieselben von vornherein als von einander unabhängige
erscheinen. Beide Überzeugungen sind aus der Wahrnehmung zu
schöpfen, dass jede einzelne von diesen Festsetzungen (1) bis (4) sozu-

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[19/0033] § 3. Formale Grundlagen. Abacus. mittelst Anwendung von Buchstaben als allgemeiner Wertzeichen die Menge der als selbständige hinzustellenden fundamentalen Konventionen noch weiter verringern oder reduziren. So würden sich die erste und die dritte Konvention (2) in die Formel a ⋹ a — unser früheres Prinzip I — zu- sammenfassen lassen, und würden die 6 Festsetzungen der ersten Zeile von (3) schon durch die viere a · 0 = 0 = 0 · a, a + 1 = 1 = 1 + a ersetz- bar sein. Ebensogut lassen aber auch die drei ersten Konventionen (2) in die beiden sich zusammenziehen 0 ⋹ a ⋹ 1, die uns als „Def. (2)“ von Bd. 1 her wohlbekannt sind, und — noch besser — fassen sich schon alle 8 Kon- ventionen (3) zu den 4 wohlbekannten Gesetzen zusammen: a · 0 = 0, a + 1 = 1, a · 1 = a = a + 0. Am wirksamsten dürfte aber zur Reduktion unsres Konventionen- systems — sofern man solche überhaupt noch begehren mag — ein Ver- fahren sich erweisen, welches darauf hinausliefe, die Begründungsweise des identischen Kalkuls wie sie in Bd. 1 für eine viel umfassendere Mannig- faltigkeit bereits gegeben worden, hier, für unsern so beschränkten Wert- bereich 0, 1, im wesentlichen zu wiederholen. Insbesondre wären dabei die 8 Konventionen (3) durch die „Definitionen (3)“ in Bd. 1 S. 196 sq. von Produkt und Summe, — statuirt in allgemeinen Wertzeichen a, b, c — zu ersetzen, und aus diesen der Abacus — so wie Bd. 1 S. 271 sq. die „Theoreme 21) und 22)“ — zu beweisen. Unstreitig liesse sich also hinbringen, dass man für das Bisherige auf eine geringere Zahl von selbständigen Festsetzungen blos sich zu be- rufen brauchte. Man könnte deren aber auch eine grössere Anzahl herausbringen [statt 15 bis jetzt im Maximum 26]. Denn: auch darin lag etwas Will- kürliches, dass wir Subsumtionen wie Gleichungen unterschiedlos als „Fest- setzungen“ zählten, während doch kraft (1) jede Gleichung ein Paar von Subsumtionen in sich schliesst. Über die genaue Anzahl der als selbständige Konventionen ganz un- umgänglichen Festsetzungen, welche die formale Grundlage für unsre ge- samte Theorie zu bilden hätten, will ich daher mit niemand rechten. Mit ihrer Aufzählung bezwecke ich blos, einen praktisch vorzüglich brauchbaren Ausgangspunkt zu schaffen und eine vollkommene Übersicht anzubahnen. Da bilden denn in der That die bisherigen 15 Daten jeden- falls den Kern und spezifizirten Inhalt dessen, was ein damit äquivalentes System von Konventionen allgemeinerer Form aussagen (in sich begreifen, involviren) würde, welches etwa diese Data noch konziser zusammenzufassen strebte — wie immer auch solches formulirt sein möge. Dieser Kern erscheint hier in kunstloser Enumeration in’s Einzelne („detaillirt“) aus- einander-gesetzt. Von vornherein leuchtet ein, was auch die Folge bekräftigen wird, dass unser Konventionensystem ein widerspruchsfreies ist, wie denn überhaupt dieselben von vornherein als von einander unabhängige erscheinen. Beide Überzeugungen sind aus der Wahrnehmung zu schöpfen, dass jede einzelne von diesen Festsetzungen (1) bis (4) sozu- 2*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 19. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/33>, abgerufen am 21.11.2024.