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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Achte Vorlesung.
nach 5) des § 6, dem Satze ab b nebst 7) [und 25)] des § 6, endlich
11) des § 8, sich bewahrheitet. Auch dieser Nachweis konnte auf den von
a ; an1 an1 reduzirt werden. --

Es kann darum auf obiges Problem und seine Lösung das Bedenken
oder der Vorbehalt keine Anwendung finden, den ich zu dem Th. 1 des
§ 13 für den Fall eines unbegrenzten Denkbereichs S. 189 sq. ausgesprochen
habe. --

Nun erweist sich aber die Funktion f(u), deren unbegrenzte Itera-
tionen uns die Lösung nach 1) ausdrücken sollten, bei gerade der Hälfte
sämtlicher bisherigen Probleme als invariant. In diesen Fällen, wo
f2(u) = f(u) = finfinity(u)
ist, wird die Lösung, statt durch x = finfinity(u), einfacher schon durch x = f(u)
darzustellen sein; die Lösung wird dann in geschlossener Form erhalten.

Umgekehrt, wenn x = f(u) selbst schon die allgemeine Wurzel ist,
so muss der stets von unsern Lösungen erfüllten Adventivforderung gemäss,
d. h. weil Probe 2: f(x) = x schon stimmt, auch f{f(u)} = f(u) für jedes u
sein, m. a. W. ist dann f(u) als invariant erwiesen.

Wir brauchen also blos und müssen noch für alle in geschlossner Form
angegebnen Lösungen die Probe 1 nachliefern.

Dies thun wir, nachdem es vorhin bei 5) bereits geleistet ist, je für
das erste Problem jeden Gespannes mit seinen sämtlichen Lösungsformen.

Probe 1
zu 10) oder 12). Für x = un ; a + u wird xn = (u j an)un, somit
xn ; a = (u j an)un ; a un ; a x, q. e. d.

Die andern Lösungsformen verstehn sich hier aus der Äquivalenz der
Probleme nach dem Schema der vorstehenden.

Zu 12) oder 14). Für x = un ; a + u + a ; un wird:
xn ; a = (u j an)un(an j u) ; a un ; a x, q. e. d.
Man kann (als Variante) auch schliessen:
xn ; a (u j an) ; a u j an ; a u j 0' = u x. Etc.

Zu 16) oder 22). x = un ; a · u gibt xn = u j an + un,
xn ; a = (u j an) ; a + un ; a, und da un ; a · u un ; a
ist, so folgt a fortiori x xn ; a, q. e. d.

Zu 18) oder 24). x = un ; a · u gibt xn = un + an j u, also
xn ; a = un ; a + (an j u) ; a und x xn ; a, q. e. d.

Dritte Unterabteilung -- aus 4) entspringend.

Die grössere Schwierigkeit der Probleme von dieser rührt daher,
dass kein Theorem bekannt ist, welches gestattete, wenn ein relatives
Produkt als Prädikat steht (resp. eine relative Summe als Subjekt), den

Achte Vorlesung.
nach 5) des § 6, dem Satze ab ⋹ b nebst 7) [und 25)] des § 6, endlich
11) des § 8, sich bewahrheitet. Auch dieser Nachweis konnte auf den von
a ; ā̆1 ⋹ ā̆1 reduzirt werden. —

Es kann darum auf obiges Problem und seine Lösung das Bedenken
oder der Vorbehalt keine Anwendung finden, den ich zu dem Th. 1 des
§ 13 für den Fall eines unbegrenzten Denkbereichs S. 189 sq. ausgesprochen
habe. —

Nun erweist sich aber die Funktion f(u), deren unbegrenzte Itera-
tionen uns die Lösung nach 1) ausdrücken sollten, bei gerade der Hälfte
sämtlicher bisherigen Probleme als invariant. In diesen Fällen, wo
f2(u) = f(u) = f∞(u)
ist, wird die Lösung, statt durch x = f∞(u), einfacher schon durch x = f(u)
darzustellen sein; die Lösung wird dann in geschlossener Form erhalten.

Umgekehrt, wenn x = f(u) selbst schon die allgemeine Wurzel ist,
so muss der stets von unsern Lösungen erfüllten Adventivforderung gemäss,
d. h. weil Probe 2: f(x) = x schon stimmt, auch f{f(u)} = f(u) für jedes u
sein, m. a. W. ist dann f(u) als invariant erwiesen.

Wir brauchen also blos und müssen noch für alle in geschlossner Form
angegebnen Lösungen die Probe 1 nachliefern.

Dies thun wir, nachdem es vorhin bei 5) bereits geleistet ist, je für
das erste Problem jeden Gespannes mit seinen sämtlichen Lösungsformen.

Probe 1
zu 10) oder 12). Für x = ū ; a + u wird x̄ = (u ɟ ā)ū, somit
x̄ ; a = (u ɟ ā)ū ; a ⋹ ū ; a ⋹ x, q. e. d.

Die andern Lösungsformen verstehn sich hier aus der Äquivalenz der
Probleme nach dem Schema der vorstehenden.

Zu 12) oder 14). Für x = ū̆ ; a + u + a ; ū̆ wird:
x̄̆ ; a = (u ɟ ā̆)ū̆(ā̆ ɟ u) ; a ⋹ ū̆ ; a ⋹ x, q. e. d.
Man kann (als Variante) auch schliessen:
x̄̆ ; a ⋹ (u ɟ ā̆) ; a ⋹ u ɟ ā̆ ; a ⋹ u ɟ 0' = u ⋹ x. Etc.

Zu 16) oder 22). x = ū ; a · u gibt x̄ = u ɟ ā + ū,
x̄ ; a = (u ɟ ā) ; a + ū ; a, und da ū ; a · u ⋹ ū ; a
ist, so folgt a fortiori x ⋹ x̄ ; a, q. e. d.

Zu 18) oder 24). x = ū̆ ; a · u gibt x̄̆ = ū̆ + ā̆ ɟ u, also
x̄̆ ; a = ū̆ ; a + (ā̆ ɟ u) ; a und x ⋹ x̄̆ ; a, q. e. d.

Dritte Unterabteilung — aus 4) entspringend.

Die grössere Schwierigkeit der Probleme von dieser rührt daher,
dass kein Theorem bekannt ist, welches gestattete, wenn ein relatives
Produkt als Prädikat steht (resp. eine relative Summe als Subjekt), den

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[332/0346] Achte Vorlesung. nach 5) des § 6, dem Satze ab ⋹ b nebst 7) [und 25)] des § 6, endlich 11) des § 8, sich bewahrheitet. Auch dieser Nachweis konnte auf den von a ; ā̆1 ⋹ ā̆1 reduzirt werden. — Es kann darum auf obiges Problem und seine Lösung das Bedenken oder der Vorbehalt keine Anwendung finden, den ich zu dem Th. 1 des § 13 für den Fall eines unbegrenzten Denkbereichs S. 189 sq. ausgesprochen habe. — Nun erweist sich aber die Funktion f(u), deren unbegrenzte Itera- tionen uns die Lösung nach 1) ausdrücken sollten, bei gerade der Hälfte sämtlicher bisherigen Probleme als invariant. In diesen Fällen, wo f2(u) = f(u) = f∞(u) ist, wird die Lösung, statt durch x = f∞(u), einfacher schon durch x = f(u) darzustellen sein; die Lösung wird dann in geschlossener Form erhalten. Umgekehrt, wenn x = f(u) selbst schon die allgemeine Wurzel ist, so muss der stets von unsern Lösungen erfüllten Adventivforderung gemäss, d. h. weil Probe 2: f(x) = x schon stimmt, auch f{f(u)} = f(u) für jedes u sein, m. a. W. ist dann f(u) als invariant erwiesen. Wir brauchen also blos und müssen noch für alle in geschlossner Form angegebnen Lösungen die Probe 1 nachliefern. Dies thun wir, nachdem es vorhin bei 5) bereits geleistet ist, je für das erste Problem jeden Gespannes mit seinen sämtlichen Lösungsformen. Probe 1 zu 10) oder 12). Für x = ū ; a + u wird x̄ = (u ɟ ā)ū, somit x̄ ; a = (u ɟ ā)ū ; a ⋹ ū ; a ⋹ x, q. e. d. Die andern Lösungsformen verstehn sich hier aus der Äquivalenz der Probleme nach dem Schema der vorstehenden. Zu 12) oder 14). Für x = ū̆ ; a + u + a ; ū̆ wird: x̄̆ ; a = (u ɟ ā̆)ū̆(ā̆ ɟ u) ; a ⋹ ū̆ ; a ⋹ x, q. e. d. Man kann (als Variante) auch schliessen: x̄̆ ; a ⋹ (u ɟ ā̆) ; a ⋹ u ɟ ā̆ ; a ⋹ u ɟ 0' = u ⋹ x. Etc. Zu 16) oder 22). x = ū ; a · u gibt x̄ = u ɟ ā + ū, x̄ ; a = (u ɟ ā) ; a + ū ; a, und da ū ; a · u ⋹ ū ; a ist, so folgt a fortiori x ⋹ x̄ ; a, q. e. d. Zu 18) oder 24). x = ū̆ ; a · u gibt x̄̆ = ū̆ + ā̆ ɟ u, also x̄̆ ; a = ū̆ ; a + (ā̆ ɟ u) ; a und x ⋹ x̄̆ ; a, q. e. d. Dritte Unterabteilung — aus 4) entspringend. Die grössere Schwierigkeit der Probleme von dieser rührt daher, dass kein Theorem bekannt ist, welches gestattete, wenn ein relatives Produkt als Prädikat steht (resp. eine relative Summe als Subjekt), den

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 332. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/346>, abgerufen am 23.11.2024.