Dass solches "Produkt" wirklich existirt, nämlich nicht etwa, als jeglichen Faktors entbehrend, in einen sinnlosen Namen ausarten kann, geht schon daraus hervor, dass es allermindestens den Faktor 1 aufweisen wird, weil u = 1 stets die Erstreckungsbedingung erfüllt.
"Es gelten nun für diesen sehr wichtigen Begriff die folgenden Sätze"
D 45. Es ist ba0 ; b. [In Worte bei 9) gefasst.]
Beweis. Weil, nach dem zweiten Teile der Erstreckungsbedingung, b in jedem Faktor u des Produktes Pu enthalten -- "Gemeinteil" dieser Faktoren -- ist, so muss es auch in dem Produkte derselben enthalten sein.
Als das bei diesem Schlusse zur Anwendung kommende Schema des identischen Kalkuls würde anzuziehen sein:
[Formel 1]
-- vergl. (3x) des Bd. 1, für unbegrenzt viele Faktoren in Anspruch ge- nommen, hier in e) S. 39 gebucht.
D 46. Es ist a ; (a0 ; b) a0 ; b. Die "a-Kette" von irgend einem Relativ ist eine "Kette inbezug auf a".
Beweis. Denn nach dem ersten Teil der Erstreckungsbedingung unsres Pu ist jeder Faktor u dieses Produkts eine "Kette inbezug auf a", und folglich -- gemäss D 43 -- auch das Produkt Pu ebendieser.
D 47. (a ; cc)(bc) (a0 ; bc). [Betreffs der verbalen Fassung vergleiche 11).]
Beweis. Denn nach den Voraussetzungen des Satzes ist c ein die Erstreckungsbedingung erfüllender Wert des u. Derselbe figurirt deshalb unter den Faktoren unsres Pu, und da ein identisches Produkt seinem Faktor eingeordnet sein muss, so haben wir Puc und erscheint die Konklusion gerechtfertigt.
D 48 ist bei Dedekind nicht als "Satz" hingestellt, sondern -- ab- gesehn von den blos äusserlichen Abweichungen in der Bezeichnung -- lautet das darüber Gesagte wörtlich:
"D 48. Bemerkung. Man überzeugt sich leicht, dass der in D 44 erklärte Begriff der a-Kette von b durch die vorstehenden SätzeD 45, 46, 47 vollständig charakterisirt ist."
Die "Bemerkung" ist also ein Luxus der Theorie, indem sie uns nur beiläufig mit einer neuen, nicht uninteressanten Manier, die Definition D 44 von a0 ; b zu formuliren, bekannt macht, und kann dieselbe aus unserm Lehrgange auch weggelassen werden. Wir haben dieselbe in die Zeichen- sprache eingekleidet und wollen sie in dieser Gestalt als mit D 44 äqui- valent gleichwol rechtfertigen.
Zu dem Ende wollen wir der Druckersparniss halber für den oft vor- kommenden Ausdruck
[Formel 2]
schreiben -- die Erstreckungsbedingung a ; u + bu also blos durch ein NB (Notabene) andeutend und unter
[Formel 3]
schlechtweg, wie immer, ein Produkt
24*
§ 23. Hinweg durch Dedekind’s Kettentheorie.
Dass solches „Produkt“ wirklich existirt, nämlich nicht etwa, als jeglichen Faktors entbehrend, in einen sinnlosen Namen ausarten kann, geht schon daraus hervor, dass es allermindestens den Faktor 1 aufweisen wird, weil u = 1 stets die Erstreckungsbedingung erfüllt.
»Es gelten nun für diesen sehr wichtigen Begriff die folgenden Sätze«
D 45. Es ist b ⋹ a0 ; b. [In Worte bei 9) gefasst.]
Beweis. Weil, nach dem zweiten Teile der Erstreckungsbedingung, b in jedem Faktor u des Produktes Πu enthalten — „Gemeinteil“ dieser Faktoren — ist, so muss es auch in dem Produkte derselben enthalten sein.
Als das bei diesem Schlusse zur Anwendung kommende Schema des identischen Kalkuls würde anzuziehen sein:
[Formel 1]
— vergl. (3×) des Bd. 1, für unbegrenzt viele Faktoren in Anspruch ge- nommen, hier in ε) S. 39 gebucht.
D 46. Es ist a ; (a0 ; b) ⋹ a0 ; b. Die „a-Kette“ von irgend einem Relativ ist eine „Kette inbezug auf a“.
Beweis. Denn nach dem ersten Teil der Erstreckungsbedingung unsres Πu ist jeder Faktor u dieses Produkts eine „Kette inbezug auf a“, und folglich — gemäss D 43 — auch das Produkt Πu ebendieser.
D 47. (a ; c ⋹ c)(b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c). [Betreffs der verbalen Fassung vergleiche 11).]
Beweis. Denn nach den Voraussetzungen des Satzes ist c ein die Erstreckungsbedingung erfüllender Wert des u. Derselbe figurirt deshalb unter den Faktoren unsres Πu, und da ein identisches Produkt seinem Faktor eingeordnet sein muss, so haben wir Πu ⋹ c und erscheint die Konklusion gerechtfertigt.
D 48 ist bei Dedekind nicht als „Satz“ hingestellt, sondern — ab- gesehn von den blos äusserlichen Abweichungen in der Bezeichnung — lautet das darüber Gesagte wörtlich:
»D 48. Bemerkung. Man überzeugt sich leicht, dass der in D 44 erklärte Begriff der a-Kette von b durch die vorstehenden SätzeD 45, 46, 47 vollständig charakterisirt ist.«
Die „Bemerkung“ ist also ein Luxus der Theorie, indem sie uns nur beiläufig mit einer neuen, nicht uninteressanten Manier, die Definition D 44 von a0 ; b zu formuliren, bekannt macht, und kann dieselbe aus unserm Lehrgange auch weggelassen werden. Wir haben dieselbe in die Zeichen- sprache eingekleidet und wollen sie in dieser Gestalt als mit D 44 äqui- valent gleichwol rechtfertigen.
Zu dem Ende wollen wir der Druckersparniss halber für den oft vor- kommenden Ausdruck
[Formel 2]
schreiben — die Erstreckungsbedingung a ; u + b ⋹ u also blos durch ein NB (Notabene) andeutend und unter
[Formel 3]
schlechtweg, wie immer, ein Produkt
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§ 23. Hinweg durch Dedekind’s Kettentheorie.
Dass solches „Produkt“ wirklich existirt, nämlich nicht etwa, als
jeglichen Faktors entbehrend, in einen sinnlosen Namen ausarten kann, geht
schon daraus hervor, dass es allermindestens den Faktor 1 aufweisen wird,
weil u = 1 stets die Erstreckungsbedingung erfüllt.
»Es gelten nun für diesen sehr wichtigen Begriff die folgenden Sätze«
D 45. Es ist b ⋹ a0 ; b. [In Worte bei 9) gefasst.]
Beweis. Weil, nach dem zweiten Teile der Erstreckungsbedingung,
b in jedem Faktor u des Produktes Πu enthalten — „Gemeinteil“ dieser
Faktoren — ist, so muss es auch in dem Produkte derselben enthalten sein.
Als das bei diesem Schlusse zur Anwendung kommende Schema des
identischen Kalkuls würde anzuziehen sein:
[FORMEL] — vergl. (3×) des Bd. 1, für unbegrenzt viele Faktoren in Anspruch ge-
nommen, hier in ε) S. 39 gebucht.
D 46. Es ist a ; (a0 ; b) ⋹ a0 ; b. Die „a-Kette“ von irgend einem
Relativ ist eine „Kette inbezug auf a“.
Beweis. Denn nach dem ersten Teil der Erstreckungsbedingung
unsres Πu ist jeder Faktor u dieses Produkts eine „Kette inbezug auf a“,
und folglich — gemäss D 43 — auch das Produkt Πu ebendieser.
D 47. (a ; c ⋹ c)(b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c).
[Betreffs der verbalen Fassung vergleiche 11).]
Beweis. Denn nach den Voraussetzungen des Satzes ist c ein die
Erstreckungsbedingung erfüllender Wert des u. Derselbe figurirt deshalb
unter den Faktoren unsres Πu, und da ein identisches Produkt seinem
Faktor eingeordnet sein muss, so haben wir Πu ⋹ c und erscheint die
Konklusion gerechtfertigt.
D 48 ist bei Dedekind nicht als „Satz“ hingestellt, sondern — ab-
gesehn von den blos äusserlichen Abweichungen in der Bezeichnung —
lautet das darüber Gesagte wörtlich:
»D 48. Bemerkung. Man überzeugt sich leicht, dass der in D 44
erklärte Begriff der a-Kette von b durch die vorstehenden Sätze D 45, 46, 47
vollständig charakterisirt ist.«
Die „Bemerkung“ ist also ein Luxus der Theorie, indem sie uns nur
beiläufig mit einer neuen, nicht uninteressanten Manier, die Definition D 44
von a0 ; b zu formuliren, bekannt macht, und kann dieselbe aus unserm
Lehrgange auch weggelassen werden. Wir haben dieselbe in die Zeichen-
sprache eingekleidet und wollen sie in dieser Gestalt als mit D 44 äqui-
valent gleichwol rechtfertigen.
Zu dem Ende wollen wir der Druckersparniss halber für den oft vor-
kommenden Ausdruck
[FORMEL] schreiben — die Erstreckungsbedingung a ; u + b ⋹ u also blos durch ein
NB (Notabene) andeutend und unter [FORMEL] schlechtweg, wie immer, ein Produkt
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 371. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/385>, abgerufen am 23.11.2024.
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