Satze, dass die Charakteristik des Einzeilers in folgenden sechs äquivalenten Formen -- wol auf die einfachste Weise -- kann aus- gesprochen werden: 6)
[Formel 1]
von denen die drei in einer Zeile aus denen der andern durch Kontra- position hervorgehen, und die natürlich auch noch mittelst Konver- tirens vervielfältigt werden könnten.
Behauptet ist also, dass, wenn ein Relativ x beispielsweise die Gleichung erfüllt: 0' ; x ; 1 = xn, dasselbe notwendig ein Einzeiler sein müsse -- und ähnlich bei den andern Formen. Und ferner ist -- auch für ein nicht näher bekanntes Relativ x -- die Äquivalenz der drei nachstehend einander gleichgesetzten Aussagen: 7) (1' j xn ; 1 = x) = (1' j xn j 0 = x) = {(1' j xn) ; 1 = x} als eine allgemein und denknotwendig bestehende behauptet.
Diese Äquivalenz wollen wir zuerst beweisen.
Die Gleichheit der ersten und zweiten, sowie die der zweiten und dritten Aussage als vor- und rückwärtige Subsumtion darzuthun würde vier Nachweise erheischen. Von diesen können wir einen sparen. Zeigen wir nämlich, dass aus der ersten Gleichung oder Aussage die zweite, aus dieser die dritte und aus der dritten wieder die erste folgt, so werden -- entweder direkt oder mittelst Subsumtionsschlusses -- aus jeder von den drei Gleichungen die beiden andern folgen und alle drei in der That äqui- valent sein müssen.
Indem wir also die erste Gleichung zur Voraussetzung erheben, werden wir schliessen können:
Sei 1' j xn ; 1 = x, so ist 0' ; (x j 0) = xn, und folgt: 0' ; (x j 0) ; 1 = xn ; 1, da (x j 0) ; 1 = x j 0 ist, also: 0' ; (x j 0) = xn ; 1, was kontraponirt: 1' j xn ; 1 = x j 0, also x = x j 0.
In die Hypothesis xn eingesetzt gibt: 1' j 0' ; (x j 0) ; 1 = x, was sich wie vorhin vereinfacht zu: 1' j 0' ; (x j 0) = x.
Aber nach der zweiten Gleichung ist: 1' j xn j 0 = 1' j 0' ; (x j 0) j 0, worein das vorige Ergebniss eingesetzt: 1' j xn j 0 = x j 0, was wegen des ersten Ergebnisses wird: 1' j xn j 0 = x.
Somit ist also die zweite Gleichung aus der ersten abgeleitet. Nun gelte blos diese, d. h. es
Sei 1' j xn j 0 = x, also 0' ; x ; 1 = xn, so folgt: (1' j xn j 0) ; 1 = x ; 1, 1' j xn j 0 = x ; 1 -- weil (a j 0) ; 1 = a j 0 ist, somit x ; 1 = x, xn j 0 = xn, 1' j xn j 0 = 1' j xn,
Zehnte Vorlesung.
Satze, dass die Charakteristik des Einzeilers in folgenden sechs äquivalenten Formen — wol auf die einfachste Weise — kann aus- gesprochen werden: 6)
[Formel 1]
von denen die drei in einer Zeile aus denen der andern durch Kontra- position hervorgehen, und die natürlich auch noch mittelst Konver- tirens vervielfältigt werden könnten.
Behauptet ist also, dass, wenn ein Relativ x beispielsweise die Gleichung erfüllt: 0' ; x ; 1 = x̄, dasselbe notwendig ein Einzeiler sein müsse — und ähnlich bei den andern Formen. Und ferner ist — auch für ein nicht näher bekanntes Relativ x — die Äquivalenz der drei nachstehend einander gleichgesetzten Aussagen: 7) (1' ɟ x̄ ; 1 = x) = (1' ɟ x̄ ɟ 0 = x) = {(1' ɟ x̄) ; 1 = x} als eine allgemein und denknotwendig bestehende behauptet.
Diese Äquivalenz wollen wir zuerst beweisen.
Die Gleichheit der ersten und zweiten, sowie die der zweiten und dritten Aussage als vor- und rückwärtige Subsumtion darzuthun würde vier Nachweise erheischen. Von diesen können wir einen sparen. Zeigen wir nämlich, dass aus der ersten Gleichung oder Aussage die zweite, aus dieser die dritte und aus der dritten wieder die erste folgt, so werden — entweder direkt oder mittelst Subsumtionsschlusses — aus jeder von den drei Gleichungen die beiden andern folgen und alle drei in der That äqui- valent sein müssen.
Indem wir also die erste Gleichung zur Voraussetzung erheben, werden wir schliessen können:
Sei 1' ɟ x̄ ; 1 = x, so ist 0' ; (x ɟ 0) = x̄, und folgt: 0' ; (x ɟ 0) ; 1 = x̄ ; 1, da (x ɟ 0) ; 1 = x ɟ 0 ist, also: 0' ; (x ɟ 0) = x̄ ; 1, was kontraponirt: 1' ɟ x̄ ; 1 = x ɟ 0, also x = x ɟ 0.
In die Hypothesis x̄ eingesetzt gibt: 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) ; 1 = x, was sich wie vorhin vereinfacht zu: 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) = x.
Aber nach der zweiten Gleichung ist: 1' ɟ x̄ ɟ 0 = 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) ɟ 0, worein das vorige Ergebniss eingesetzt: 1' ɟ x̄ ɟ 0 = x ɟ 0, was wegen des ersten Ergebnisses wird: 1' ɟ x̄ ɟ 0 = x.
Somit ist also die zweite Gleichung aus der ersten abgeleitet. Nun gelte blos diese, d. h. es
Sei 1' ɟ x̄ ɟ 0 = x, also 0' ; x ; 1 = x̄, so folgt: (1' ɟ x̄ ɟ 0) ; 1 = x ; 1, 1' ɟ x̄ ɟ 0 = x ; 1 — weil (a ɟ 0) ; 1 = a ɟ 0 ist, somit x ; 1 = x, x̄ ɟ 0 = x̄, 1' ɟ x̄ ɟ 0 = 1' ɟ x̄,
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Zehnte Vorlesung.
Satze, dass die Charakteristik des Einzeilers in folgenden sechs
äquivalenten Formen — wol auf die einfachste Weise — kann aus-
gesprochen werden:
6) [FORMEL]
von denen die drei in einer Zeile aus denen der andern durch Kontra-
position hervorgehen, und die natürlich auch noch mittelst Konver-
tirens vervielfältigt werden könnten.
Behauptet ist also, dass, wenn ein Relativ x beispielsweise die
Gleichung erfüllt: 0' ; x ; 1 = x̄, dasselbe notwendig ein Einzeiler sein
müsse — und ähnlich bei den andern Formen. Und ferner ist — auch
für ein nicht näher bekanntes Relativ x — die Äquivalenz der drei
nachstehend einander gleichgesetzten Aussagen:
7) (1' ɟ x̄ ; 1 = x) = (1' ɟ x̄ ɟ 0 = x) = {(1' ɟ x̄) ; 1 = x}
als eine allgemein und denknotwendig bestehende behauptet.
Diese Äquivalenz wollen wir zuerst beweisen.
Die Gleichheit der ersten und zweiten, sowie die der zweiten und
dritten Aussage als vor- und rückwärtige Subsumtion darzuthun würde
vier Nachweise erheischen. Von diesen können wir einen sparen. Zeigen
wir nämlich, dass aus der ersten Gleichung oder Aussage die zweite, aus
dieser die dritte und aus der dritten wieder die erste folgt, so werden —
entweder direkt oder mittelst Subsumtionsschlusses — aus jeder von den
drei Gleichungen die beiden andern folgen und alle drei in der That äqui-
valent sein müssen.
Indem wir also die erste Gleichung zur Voraussetzung erheben, werden
wir schliessen können:
Sei 1' ɟ x̄ ; 1 = x, so ist 0' ; (x ɟ 0) = x̄, und folgt: 0' ; (x ɟ 0) ; 1 = x̄ ; 1,
da (x ɟ 0) ; 1 = x ɟ 0 ist, also: 0' ; (x ɟ 0) = x̄ ; 1, was kontraponirt:
1' ɟ x̄ ; 1 = x ɟ 0, also x = x ɟ 0.
In die Hypothesis x̄ eingesetzt gibt: 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) ; 1 = x, was sich
wie vorhin vereinfacht zu: 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) = x.
Aber nach der zweiten Gleichung ist:
1' ɟ x̄ ɟ 0 = 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) ɟ 0,
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ersten Ergebnisses wird: 1' ɟ x̄ ɟ 0 = x.
Somit ist also die zweite Gleichung aus der ersten abgeleitet. Nun
gelte blos diese, d. h. es
Sei 1' ɟ x̄ ɟ 0 = x, also 0' ; x ; 1 = x̄, so folgt:
(1' ɟ x̄ ɟ 0) ; 1 = x ; 1, 1' ɟ x̄ ɟ 0 = x ; 1 — weil (a ɟ 0) ; 1 = a ɟ 0 ist,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 408. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/422>, abgerufen am 23.11.2024.
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