Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Als von Interesse sei noch angeführt, dass auch unter den tertiären
irreduziblen relativen Modulknüpfungen eines allgemeinen Relativs a sich
eine findet, welche, sofern sie nicht 0 oder 1 wird, nur einen Einzeiler vor-
stellen kann. Diese ist: 1' j 0' ; (a j 0). Es wird also die Gleichung
9) 1' j 0' ; (x j 0) = x
stipuliren, dass x entweder 0 oder 1 oder ein Einzeiler i sein müsse. Dass
sie in der That für diese drei Werte erfüllt wird, indem auch:
1' j 0' ; (i j 0) = i, 0' ; (1' j in ; 1) = in,
ist leicht nachzusehen. Für das Umgekehrte, dass jedes der Gleichung 9)
genügende von 0 und 1 verschiedene x ein Einzeiler sein müsse, sich den
Beweis zu konstruiren sei einstweilen dem Leser überlassen. -- Noch eine
Bemerkung hiezu: In § 14 hatten wir in Gestalt des Ausdrucks:
f(u) = u · 1 ; un ; 1 + un(0 j un j 0)
eine Funktion konstruirt, welche immer gleich u selbst ist, ausgenommen
für u = 0 oder 1, wo sie diese beiden Werte vertauscht, sodass also
f(0) = 1, f(1) = 0 und sonst immer f(u) = u ist. Nimmt man
u = 1' j 0' ; (x j 0) und v = 1' j xn j 0 oder 1' j xn ; 1 oder (1' j xn) ; 1,
so wird die Gleichung f(u) = x nur noch für x = i erfüllt sein, aber nicht
mehr für x = 0 oder 1, wofür sie vielmehr in 1 = 0 resp. 0 = 1 über-
ginge. Sie wird demnach ebenfalls x als Einzeiler charakterisiren. Ferner
wird für jeden Einzeiler x = i natürlich f(u) = v = u = f(v) sein müssen.
Eine Charakteristik des Einzeilers würde sich also auch mit Hülfe des
genannten tertiären Relativs gewinnen lassen, falls dieses Ziel nicht schon
einfacher durch die sekundären Relative erreicht worden wäre.

Mit der im Bd. 2 für den identischen Kalkul aufgestellten Individuums-
definition werden wir die gegenwärtige Charakteristik des Einzeilers, als
die Definition des "Elementes" oder "Individuums im ersten Denkbereiche"
für die Algebra der Relative, weiter unten (§ 27) in Zusammenhang
bringen. In der grössern Einfachheit der letztern gegenüber jener doku-
mentirt sich indess schon ein Vorzug unsrer so viel weiteren Disziplin.

Nachdem die Modulknüpfungen des Einzeilers und seiner Ver-
wandten erledigt sind, studiren wir jetzt die relativen Knüpfungen
zwischen je zwei Relativen dieser Verwandtschaftsgruppe. Dieses Stu-
dium wird überaus wichtige Aufschlüsse liefern. Die 32 Knüpfungen
zerfallen in drei oder auch vier Gruppen.

Die 16 der ersten Gruppe reduziren sich zu einem Relativ des
Verwandtschaftsquadrupels selber gemäss den Schemata:
10) [Formel 1]

Als von Interesse sei noch angeführt, dass auch unter den tertiären
irreduziblen relativen Modulknüpfungen eines allgemeinen Relativs a sich
eine findet, welche, sofern sie nicht 0 oder 1 wird, nur einen Einzeiler vor-
stellen kann. Diese ist: 1' ɟ 0' ; (a ɟ 0). Es wird also die Gleichung
9) 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) = x
stipuliren, dass x entweder 0 oder 1 oder ein Einzeiler i sein müsse. Dass
sie in der That für diese drei Werte erfüllt wird, indem auch:
1' ɟ 0' ; (i ɟ 0) = i, 0' ; (1' ɟ ī ; 1) = ī,
ist leicht nachzusehen. Für das Umgekehrte, dass jedes der Gleichung 9)
genügende von 0 und 1 verschiedene x ein Einzeiler sein müsse, sich den
Beweis zu konstruiren sei einstweilen dem Leser überlassen. — Noch eine
Bemerkung hiezu: In § 14 hatten wir in Gestalt des Ausdrucks:
f(u) = u · 1 ; ū ; 1 + ū(0 ɟ ū ɟ 0)
eine Funktion konstruirt, welche immer gleich u selbst ist, ausgenommen
für u = 0 oder 1, wo sie diese beiden Werte vertauscht, sodass also
f(0) = 1, f(1) = 0 und sonst immer f(u) = u ist. Nimmt man
u = 1' ɟ 0' ; (x ɟ 0) und v = 1' ɟ x̄ ɟ 0 oder 1' ɟ x̄ ; 1 oder (1' ɟ x̄) ; 1,
so wird die Gleichung f(u) = x nur noch für x = i erfüllt sein, aber nicht
mehr für x = 0 oder 1, wofür sie vielmehr in 1 = 0 resp. 0 = 1 über-
ginge. Sie wird demnach ebenfalls x als Einzeiler charakterisiren. Ferner
wird für jeden Einzeiler x = i natürlich f(u) = v = u = f(v) sein müssen.
Eine Charakteristik des Einzeilers würde sich also auch mit Hülfe des
genannten tertiären Relativs gewinnen lassen, falls dieses Ziel nicht schon
einfacher durch die sekundären Relative erreicht worden wäre.

Mit der im Bd. 2 für den identischen Kalkul aufgestellten Individuums-
definition werden wir die gegenwärtige Charakteristik des Einzeilers, als
die Definition des „Elementes“ oder „Individuums im ersten Denkbereiche“
für die Algebra der Relative, weiter unten (§ 27) in Zusammenhang
bringen. In der grössern Einfachheit der letztern gegenüber jener doku-
mentirt sich indess schon ein Vorzug unsrer so viel weiteren Disziplin.

Nachdem die Modulknüpfungen des Einzeilers und seiner Ver-
wandten erledigt sind, studiren wir jetzt die relativen Knüpfungen
zwischen je zwei Relativen dieser Verwandtschaftsgruppe. Dieses Stu-
dium wird überaus wichtige Aufschlüsse liefern. Die 32 Knüpfungen
zerfallen in drei oder auch vier Gruppen.

Die 16 der ersten Gruppe reduziren sich zu einem Relativ des
Verwandtschaftsquadrupels selber gemäss den Schemata:
10) [Formel 1]