§ 27. Charakteristik und Knüpfungsgesetze für Systeme.
Sofern a ; 1 = a: [Spaltenumbruch]
42)
[Formel 1]
[Spaltenumbruch]
43)
[Formel 2]
-- desgleichen an für a gesetzt.
Dieselben fliessen nach der Voraussetzung sofort aus 16) -- oder 17), cf. 40) -- und 21) -- oder 22) -- letztres indem (1 ; a)b ; 1 = b ; a ; 1 wegen 1 ; a = a, etc. die erste Formel 43) gibt.
Endlich für die relativen Knüpfungen von zwei Systemen (oder "Klassen", siehe weiter unten) a = a ; 1 und c = c ; 1 haben wir die Sätze:
Sofern a ; 1 = a, c ; 1 = c: 44)
[Formel 3]
desgleichen an für a oder cn für c, oder beides gesetzt. 45)
a ; c = ac
a j c = a + c
46)
a ; c = c ; a = 1 ; ac = ac ; 1
a j c = c j a = 0 j (a + c) = (a + c) j 0,
desgleichen a oder c, oder beide, mit Negationsstrich versehen.
Diese Formeln fliessen leicht durch die Annahme b = c und even- tuelle Vertauschung von a mit c aus denen 42) und 43). Dass bei 46) 1 ; ac seinem Konversen gleich sein muss, geht daraus hervor, dass nach 41) 1 ; ac = 1 ; ac ; 1 ein ausgezeichnetes Relativ sein muss. Demnach gilt:
Ein Systemkonvers von einem Systeme ist entweder 1 oder 0, jenachdem beide Systeme etwas gemein haben oder nicht.
Ein System von einem Systemkonverse ist immer das (identische) Produkt beider (also ein Augen-Quaderrelativ).
Für ein System von einem Systeme gilt nach 44), weil auch 1 ; c = 1 ; c ; 1 ein ausgezeichnetes Relativ ist: Korollar zu 44)
[Formel 4]
insbesondre muss also unbedingt sein: a ; a = a = a j a, d. h. bei Systemen (und Systemkonversen) gilt auch für die relativen Knüpfungen eine Art "Tautologiegesetz".
Da i 0 ist, hat man jedenfalls auch a ; i = a, d. h. Ein System von irgend einem Elemente ist jenes selber.
Ein Element von einem Systeme ist gedachtes Element selbst, sobald das System kein leeres (d. h. 0 ist). Genauer:
Ein bestimmtes Element i von einem bestimmten Systeme a, das
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§ 27. Charakteristik und Knüpfungsgesetze für Systeme.
Sofern a ; 1 = a: [Spaltenumbruch]
42)
[Formel 1]
[Spaltenumbruch]
43)
[Formel 2]
— desgleichen ā für a gesetzt.
Dieselben fliessen nach der Voraussetzung sofort aus 16) — oder 17), cf. 40) — und 21) — oder 22) — letztres indem (1 ; ă)b ; 1 = b ; a ; 1 wegen 1 ; ă = ă, etc. die erste Formel 43) gibt.
Endlich für die relativen Knüpfungen von zwei Systemen (oder „Klassen“, siehe weiter unten) a = a ; 1 und c = c ; 1 haben wir die Sätze:
Sofern a ; 1 = a, c ; 1 = c: 44)
[Formel 3]
desgleichen ā für a oder c̄ für c, oder beides gesetzt. 45)
a ; c̆ = ac̆
a ɟ c̆ = a + c̆
46)
ă ; c = c̆ ; a = 1 ; ac = ăc̆ ; 1
ă ɟ c = c̆ ɟ a = 0 ɟ (a + c) = (ă + c̆) ɟ 0,
desgleichen a oder c, oder beide, mit Negationsstrich versehen.
Diese Formeln fliessen leicht durch die Annahme b = c und even- tuelle Vertauschung von a mit c aus denen 42) und 43). Dass bei 46) 1 ; ac seinem Konversen gleich sein muss, geht daraus hervor, dass nach 41) 1 ; ac = 1 ; ac ; 1 ein ausgezeichnetes Relativ sein muss. Demnach gilt:
Ein Systemkonvers von einem Systeme ist entweder 1 oder 0, jenachdem beide Systeme etwas gemein haben oder nicht.
Ein System von einem Systemkonverse ist immer das (identische) Produkt beider (also ein Augen-Quaderrelativ).
Für ein System von einem Systeme gilt nach 44), weil auch 1 ; c = 1 ; c ; 1 ein ausgezeichnetes Relativ ist: Korollar zu 44)
[Formel 4]
insbesondre muss also unbedingt sein: a ; a = a = a ɟ a, d. h. bei Systemen (und Systemkonversen) gilt auch für die relativen Knüpfungen eine Art „Tautologiegesetz“.
Da i ≠ 0 ist, hat man jedenfalls auch a ; i = a, d. h. Ein System von irgend einem Elemente ist jenes selber.
Ein Element von einem Systeme ist gedachtes Element selbst, sobald das System kein leeres (d. h. ≠ 0 ist). Genauer:
Ein bestimmtes Element i von einem bestimmten Systeme a, das
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§ 27. Charakteristik und Knüpfungsgesetze für Systeme.
Sofern a ; 1 = a:
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43) [FORMEL]
— desgleichen ā für a gesetzt.
Dieselben fliessen nach der Voraussetzung sofort aus 16) — oder 17),
cf. 40) — und 21) — oder 22) — letztres indem (1 ; ă)b ; 1 = b ; a ; 1
wegen 1 ; ă = ă, etc. die erste Formel 43) gibt.
Endlich für die relativen Knüpfungen von zwei Systemen (oder
„Klassen“, siehe weiter unten) a = a ; 1 und c = c ; 1 haben wir die
Sätze:
Sofern a ; 1 = a, c ; 1 = c:
44) [FORMEL]
desgleichen ā für a oder c̄ für c, oder beides gesetzt.
45) a ; c̆ = ac̆ a ɟ c̆ = a + c̆
46) ă ; c = c̆ ; a = 1 ; ac = ăc̆ ; 1 ă ɟ c = c̆ ɟ a = 0 ɟ (a + c) = (ă + c̆) ɟ 0,
desgleichen a oder c, oder beide, mit Negationsstrich versehen.
Diese Formeln fliessen leicht durch die Annahme b = c und even-
tuelle Vertauschung von a mit c aus denen 42) und 43). Dass bei 46)
1 ; ac seinem Konversen gleich sein muss, geht daraus hervor, dass nach
41) 1 ; ac = 1 ; ac ; 1 ein ausgezeichnetes Relativ sein muss. Demnach gilt:
Ein Systemkonvers von einem Systeme ist entweder 1 oder 0,
jenachdem beide Systeme etwas gemein haben oder nicht.
Ein System von einem Systemkonverse ist immer das (identische)
Produkt beider (also ein Augen-Quaderrelativ).
Für ein System von einem Systeme gilt nach 44), weil auch
1 ; c = 1 ; c ; 1 ein ausgezeichnetes Relativ ist:
Korollar
zu 44) [FORMEL]
insbesondre muss also unbedingt sein:
a ; a = a = a ɟ a,
d. h. bei Systemen (und Systemkonversen) gilt auch für die relativen
Knüpfungen eine Art „Tautologiegesetz“.
Da i ≠ 0 ist, hat man jedenfalls auch a ; i = a, d. h. Ein System
von irgend einem Elemente ist jenes selber.
Ein Element von einem Systeme ist gedachtes Element selbst,
sobald das System kein leeres (d. h. ≠ 0 ist). Genauer:
Ein bestimmtes Element i von einem bestimmten Systeme a, das
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 451. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/465>, abgerufen am 23.11.2024.
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