Zu 52) schliesst man aus der ersten Subsumtion sowol 1 ; (a j 0) 1 ; b als a j 0 1 ; b j 0, woraus nach 6) S. 147 folgt 1 ; b = 1 sobald a j 0 0, und a j 0 = 0 sobald 1 ; b 1. Etc.
Inbezug auf Einordnung zwischen Quaderrelativen von beiderlei Art sind vier Möglichkeiten in's Auge zu fassen, die sich zu drei Ge- spannen vereinigen.
Fürs erste gilt als duales Zweigespann der Satz: 54)
[Formel 1]
, worin auch (a = 0) + (b = 0) durch (a j 0 j b = 0) und (c = 1) + (d = 1) durch (c j 0 j d = 1) ersetzbar wäre nach 26) S. 291.
Beweis. Es zerfällt L = (a ; 1 · 1 ; bc ; 1)(a ; 1 · 1 ; b 1 ; d). Der erste Aussagenfaktor gibt a fortiori die Konklusion: (a ; 1)(1 ; b) ; 1 c ; 1 ; 1 oder a ; 1 · 1 ; b ; 1 c ; 1. Nun ist entweder b = 0 und alsdann diese Forde- rung erfüllt, oder b 0, 1 ; b ; 1 = 1, wo sie auf ac ; 1 nach 49) hinausläuft -- womit denn aus jenem: (ac ; 1) + (b = 0) gefolgert ist; der Rückschluss ist selbstverständlich, mithin unser erster Faktor äqui- valent dieser Konklusion. Man kann jedoch auch sofort nach bekannten Sätzen transformiren: a ; 1 c ; 1 + 0 j bn, a (c ; 1 + 0 j bn) j 0 = c ; 1 + 0 j bn j 0, etc. Analog ist der zweite Aussagenfaktor von L zu behandeln -- womit die erste Zeile von 54) bewiesen ist. Die zweite erhält man daraus durch Ausmultipliziren unter Weglassung eingehender Aussagenterme, q. e. d.
Sodann gilt der ein "Eingespann" von Formeln bildende Satz: 55)
[Formel 2]
Derselbe beweist sich, indem man zunächst die Prämisse L zerfällt in die vier Aussagen: L = (a j 0 c ; 1)(a j 0 1 ; d)(0 j bc ; 1)(0 j b 1 ; d), sodann die beiden mittleren nach Schema 52) umschreibt in {(a j 0 = 0) + (1 ; d = 1)}{(0 j b = 0) + (c ; 1 = 1)}, endlich alles ausmultiplizirt, mit Unterdrückung eingehender, d. h. durch die übrigen von selbst bedingter (oder erfüllter) Aussagenfaktoren -- so z. B. wenn bereits c ; 1 = 1 sein muss, so braucht a j 0 c ; 1 als selbst- verständlich nicht mehr notirt zu werden.
Nun fehlt nur mehr ein Satz über Subsumtionen der Form: a ; 1 ; bc j 0 j d
Zehnte Vorlesung.
Zu 52) schliesst man aus der ersten Subsumtion sowol 1 ; (a ɟ 0) ⋹ 1 ; b als a ɟ 0 ⋹ 1 ; b ɟ 0, woraus nach 6) S. 147 folgt 1 ; b = 1 sobald a ɟ 0 ≠ 0, und a ɟ 0 = 0 sobald 1 ; b ≠ 1. Etc.
Inbezug auf Einordnung zwischen Quaderrelativen von beiderlei Art sind vier Möglichkeiten in’s Auge zu fassen, die sich zu drei Ge- spannen vereinigen.
Fürs erste gilt als duales Zweigespann der Satz: 54)
[Formel 1]
, worin auch (a = 0) + (b = 0) durch (a ɟ 0 ɟ b = 0) und (c = 1) + (d = 1) durch (c ɟ 0 ɟ d = 1) ersetzbar wäre nach 26) S. 291.
Beweis. Es zerfällt L = (a ; 1 · 1 ; b ⋹ c ; 1)(a ; 1 · 1 ; b ⋹ 1 ; d). Der erste Aussagenfaktor gibt a fortiori die Konklusion: (a ; 1)(1 ; b) ; 1 ⋹ c ; 1 ; 1 oder a ; 1 · 1 ; b ; 1 ⋹ c ; 1. Nun ist entweder b = 0 und alsdann diese Forde- rung erfüllt, oder b ≠ 0, 1 ; b ; 1 = 1, wo sie auf a ⋹ c ; 1 nach 49) hinausläuft — womit denn aus jenem: (a ⋹ c ; 1) + (b = 0) gefolgert ist; der Rückschluss ist selbstverständlich, mithin unser erster Faktor äqui- valent dieser Konklusion. Man kann jedoch auch sofort nach bekannten Sätzen transformiren: a ; 1 ⋹ c ; 1 + 0 ɟ b̄, a ⋹ (c ; 1 + 0 ɟ b̄) ɟ 0 = c ; 1 + 0 ɟ b̄ ɟ 0, etc. Analog ist der zweite Aussagenfaktor von L zu behandeln — womit die erste Zeile von 54) bewiesen ist. Die zweite erhält man daraus durch Ausmultipliziren unter Weglassung eingehender Aussagenterme, q. e. d.
Sodann gilt der ein „Eingespann“ von Formeln bildende Satz: 55)
[Formel 2]
Derselbe beweist sich, indem man zunächst die Prämisse L zerfällt in die vier Aussagen: L = (a ɟ 0 ⋹ c ; 1)(a ɟ 0 ⋹ 1 ; d)(0 ɟ b ⋹ c ; 1)(0 ɟ b ⋹ 1 ; d), sodann die beiden mittleren nach Schema 52) umschreibt in {(a ɟ 0 = 0) + (1 ; d = 1)}{(0 ɟ b = 0) + (c ; 1 = 1)}, endlich alles ausmultiplizirt, mit Unterdrückung eingehender, d. h. durch die übrigen von selbst bedingter (oder erfüllter) Aussagenfaktoren — so z. B. wenn bereits c ; 1 = 1 sein muss, so braucht a ɟ 0 ⋹ c ; 1 als selbst- verständlich nicht mehr notirt zu werden.
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[454/0468]
Zehnte Vorlesung.
Zu 52) schliesst man aus der ersten Subsumtion sowol 1 ; (a ɟ 0) ⋹ 1 ; b
als a ɟ 0 ⋹ 1 ; b ɟ 0, woraus nach 6) S. 147 folgt 1 ; b = 1 sobald a ɟ 0 ≠ 0,
und a ɟ 0 = 0 sobald 1 ; b ≠ 1. Etc.
Inbezug auf Einordnung zwischen Quaderrelativen von beiderlei
Art sind vier Möglichkeiten in’s Auge zu fassen, die sich zu drei Ge-
spannen vereinigen.
Fürs erste gilt als duales Zweigespann der Satz:
54) [FORMEL],
worin auch (a = 0) + (b = 0) durch (a ɟ 0 ɟ b = 0) und (c = 1) + (d = 1)
durch (c ɟ 0 ɟ d = 1) ersetzbar wäre nach 26) S. 291.
Beweis. Es zerfällt L = (a ; 1 · 1 ; b ⋹ c ; 1)(a ; 1 · 1 ; b ⋹ 1 ; d). Der
erste Aussagenfaktor gibt a fortiori die Konklusion: (a ; 1)(1 ; b) ; 1 ⋹ c ; 1 ; 1
oder a ; 1 · 1 ; b ; 1 ⋹ c ; 1. Nun ist entweder b = 0 und alsdann diese Forde-
rung erfüllt, oder b ≠ 0, 1 ; b ; 1 = 1, wo sie auf a ⋹ c ; 1 nach 49)
hinausläuft — womit denn aus jenem: (a ⋹ c ; 1) + (b = 0) gefolgert ist;
der Rückschluss ist selbstverständlich, mithin unser erster Faktor äqui-
valent dieser Konklusion. Man kann jedoch auch sofort nach bekannten
Sätzen transformiren:
a ; 1 ⋹ c ; 1 + 0 ɟ b̄, a ⋹ (c ; 1 + 0 ɟ b̄) ɟ 0 = c ; 1 + 0 ɟ b̄ ɟ 0, etc.
Analog ist der zweite Aussagenfaktor von L zu behandeln — womit die
erste Zeile von 54) bewiesen ist. Die zweite erhält man daraus durch
Ausmultipliziren unter Weglassung eingehender Aussagenterme, q. e. d.
Sodann gilt der ein „Eingespann“ von Formeln bildende Satz:
55) [FORMEL]
Derselbe beweist sich, indem man zunächst die Prämisse L zerfällt
in die vier Aussagen:
L = (a ɟ 0 ⋹ c ; 1)(a ɟ 0 ⋹ 1 ; d)(0 ɟ b ⋹ c ; 1)(0 ɟ b ⋹ 1 ; d),
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endlich alles ausmultiplizirt, mit Unterdrückung eingehender, d. h. durch
die übrigen von selbst bedingter (oder erfüllter) Aussagenfaktoren — so
z. B. wenn bereits c ; 1 = 1 sein muss, so braucht a ɟ 0 ⋹ c ; 1 als selbst-
verständlich nicht mehr notirt zu werden.
Nun fehlt nur mehr ein Satz über Subsumtionen der Form:
a ; 1 ; b ⋹ c ɟ 0 ɟ d
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 454. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/468>, abgerufen am 23.11.2024.
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