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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.
1a)
[Tabelle]
deren ersten blos noch zu beweisen erübrigt.

Hiezu genügt der Nachweis, dass es unbedingt möglich ist, u so
anzugeben, dass eine irgendwie gewählte Matrix-Stelle des Relativs
R = abn ; uc + anb ; unc
zur Leerstelle wird. Gibt es für jede Stelle in R ein solches Relativ u,
für welches gerade diese als Leerstelle sich erweist, so werden in dem
[Formel 1] auf alle Stellen in gewissen der Faktoren Leerstellen kommen und
das Produkt wird 0 sein. Nun ist für ein irgendwie angenommenes
aber dann bestimmt festgehaltenes Suffix ij:
[Formel 2] .

Nimmt man das u so an (genauer gesagt: fasst man von allen
erdenklichen u, über welche das P sich erstreckt, das durch die nach-
folgende Beschreibung charakterisirte in's Auge), dass für alle h bei
gedachtem bestimmten ij
uh j = (anb)i h = ani hbi h also unh j = (a + bn)i h = ai h + bni h
ist -- beispielsweise [man könnte auch die Summe links, das Produkt
rechts ansetzen] -- so wird nun in der That, wie gewünscht, das
betreffende
Ri j = 0
sein. Und um diesen Effekt hervorzubringen war blos erforderlich,
die jte Kolonne von u so wie eben angegeben besetzt, die übrigen
Stellen von u irgendwie ausgefüllt (oder auch leer gelassen) zu denken.

Allgemein, nämlich für alle ij zugleich, lässt sich diese Wirkung
durch ein und dasselbe u nicht erzielen, weil ja die Besetzung seiner
Kolonnen, als eine von dem Zeilenindex i der a und b abhängige, gleich-
zeitig verschiedenen und im Allgemeinen nicht miteinander vereinbaren
Bestimmungen unterliegen würde.

In dem Produkte [Formel 3] ist demnach mindestens einer der Faktoren
Ri j gleich 0 -- bei einem andern ij der einem andern u entsprechende
-- und folglich verschwindet dasselbe für jedes ij, wie behauptet.

Die Schlussweise sei noch durch ein Korollar bekräftigt und illustrirt.
Für b = an erhalten wir insbesondre:
[Formel 4] ,
was etwa für c = 1, a = 1' gibt:
[Formel 5] .


Elfte Vorlesung.
1a)
[Tabelle]
deren ersten blos noch zu beweisen erübrigt.

Hiezu genügt der Nachweis, dass es unbedingt möglich ist, u so
anzugeben, dass eine irgendwie gewählte Matrix-Stelle des Relativs
R = ab̄ ; uc + āb ; ūc
zur Leerstelle wird. Gibt es für jede Stelle in R ein solches Relativ u,
für welches gerade diese als Leerstelle sich erweist, so werden in dem
[Formel 1] auf alle Stellen in gewissen der Faktoren Leerstellen kommen und
das Produkt wird 0 sein. Nun ist für ein irgendwie angenommenes
aber dann bestimmt festgehaltenes Suffix ij:
[Formel 2] .

Nimmt man das u so an (genauer gesagt: fasst man von allen
erdenklichen u, über welche das Π sich erstreckt, das durch die nach-
folgende Beschreibung charakterisirte in’s Auge), dass für alle h bei
gedachtem bestimmten ij
uh j = (āb)i h = āi hbi h also ūh j = (a + b̄)i h = ai h + b̄i h
ist — beispielsweise [man könnte auch die Summe links, das Produkt
rechts ansetzen] — so wird nun in der That, wie gewünscht, das
betreffende
Ri j = 0
sein. Und um diesen Effekt hervorzubringen war blos erforderlich,
die jte Kolonne von u so wie eben angegeben besetzt, die übrigen
Stellen von u irgendwie ausgefüllt (oder auch leer gelassen) zu denken.

Allgemein, nämlich für alle ij zugleich, lässt sich diese Wirkung
durch ein und dasselbe u nicht erzielen, weil ja die Besetzung seiner
Kolonnen, als eine von dem Zeilenindex i der a und b abhängige, gleich-
zeitig verschiedenen und im Allgemeinen nicht miteinander vereinbaren
Bestimmungen unterliegen würde.

In dem Produkte [Formel 3] ist demnach mindestens einer der Faktoren
Ri j gleich 0 — bei einem andern ij der einem andern u entsprechende
— und folglich verschwindet dasselbe für jedes ij, wie behauptet.

Die Schlussweise sei noch durch ein Korollar bekräftigt und illustrirt.
Für b = ā erhalten wir insbesondre:
[Formel 4] ,
was etwa für c = 1, a = 1' gibt:
[Formel 5] .


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[494/0508] Elfte Vorlesung. 1a) deren ersten blos noch zu beweisen erübrigt. Hiezu genügt der Nachweis, dass es unbedingt möglich ist, u so anzugeben, dass eine irgendwie gewählte Matrix-Stelle des Relativs R = ab̄ ; uc + āb ; ūc zur Leerstelle wird. Gibt es für jede Stelle in R ein solches Relativ u, für welches gerade diese als Leerstelle sich erweist, so werden in dem [FORMEL] auf alle Stellen in gewissen der Faktoren Leerstellen kommen und das Produkt wird 0 sein. Nun ist für ein irgendwie angenommenes aber dann bestimmt festgehaltenes Suffix ij: [FORMEL]. Nimmt man das u so an (genauer gesagt: fasst man von allen erdenklichen u, über welche das Π sich erstreckt, das durch die nach- folgende Beschreibung charakterisirte in’s Auge), dass für alle h bei gedachtem bestimmten ij uh j = (āb)i h = āi hbi h also ūh j = (a + b̄)i h = ai h + b̄i h ist — beispielsweise [man könnte auch die Summe links, das Produkt rechts ansetzen] — so wird nun in der That, wie gewünscht, das betreffende Ri j = 0 sein. Und um diesen Effekt hervorzubringen war blos erforderlich, die jte Kolonne von u so wie eben angegeben besetzt, die übrigen Stellen von u irgendwie ausgefüllt (oder auch leer gelassen) zu denken. Allgemein, nämlich für alle ij zugleich, lässt sich diese Wirkung durch ein und dasselbe u nicht erzielen, weil ja die Besetzung seiner Kolonnen, als eine von dem Zeilenindex i der a und b abhängige, gleich- zeitig verschiedenen und im Allgemeinen nicht miteinander vereinbaren Bestimmungen unterliegen würde. In dem Produkte [FORMEL] ist demnach mindestens einer der Faktoren Ri j gleich 0 — bei einem andern ij der einem andern u entsprechende — und folglich verschwindet dasselbe für jedes ij, wie behauptet. Die Schlussweise sei noch durch ein Korollar bekräftigt und illustrirt. Für b = ā erhalten wir insbesondre: [FORMEL], was etwa für c = 1, a = 1' gibt: [FORMEL].

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 494. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/508>, abgerufen am 23.11.2024.