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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Produkte und Summen zweiter Stufe.

Dass in der That:
[Formel 1] ist, erhellt daraus, dass für l = k dies P gleich 1, für l k aber gleich
0 sein muss, letzteres, weil dann unter den (d. h. unter allen erdenklichen)
u sich auch solche finden, für welche uh k = 0 und zugleich uh l = 1 also
auch unh l = 0 ist, mithin ein Faktor des P verschwindet. Mit Obigem also
ist gefunden:
y = i ; (a j 1').

Im allgemeinen Falle lassen sich (wieder) zwei Grenzen finden, zwischen
welchen das unbekannte (jedoch völlig bestimmte) Relativ x jedenfalls liegt.
Diese Grenzen vorweg zu ermitteln, ist aus zwei Gründen verlohnend.
Einmal liefern sie uns -- gleichwie die vorausgeschickten Partikularfälle --
eine schätzbare Kontrole für den nachher mittelst ganz neuer Methode zu
gewinnenden exakten Wert des x. Sodann auch werden wir hierbei durch
einen Zufall geführt zur Entdeckung merkwürdiger Sätze.

Nach 14) haben wir: [Formel 2] und da, nach dem
Aussagenschema o) S. 41, SP PS ist, so muss sein:
[Formel 3] -- vergleiche 26) des § 25, also nach 12): 1 ; (a j 1')b x, was die frag-
liche untere Grenze kund gibt.

Um eine obere Grenze zu finden, schreiben wir ebenfalls nach 14):
[Formel 4] . Hierin ist es nun nicht gestattet, die
geschweifte Klammer zu ignoriren. Ihre Unterdrückung läuft vielmehr auf
eine Verschiebung derselben hinaus und muss Übergeordnetes liefern nach
dem Schema {Pa} ; b Pa ; b, welches = P{a ; b} bedeutet. Folglich ist:
[Formel 5] -- cf. Aufg. 8. Aber wegen i ; b = i · 1 ; b und 1 ; i1' = i ; 1' = i lässt sich
das erste Glied umwandeln in i · 1 ; b und entsteht:
xPii ; (1' + a ; b) · (1 ; b + Pii ; a ; b) = {0 j (1' + a ; b)}(1 ; b + 0 j a ; b) =
= 0 j a ; b + {0 j (a ; b + 1')} · 1 ; b.
Hierin ist jedoch das erste Glied, als im zweiten enthalten, auch unter-
drückbar; denn wir haben sowol 0 j a ; b 0 j (a ; b + 1'), als auch 0 j a ; b
a ; b 1 ; b. Es bleibt mithin das zweite Glied als die gesuchte obere
Grenze und ist im Ganzen sichergestellt, dass sein muss:
1 ; (a j 1')b x {0 j (a ; b + 1')} · 1 ; b = 0 j (a ; b + 1 ; b · 1').

Versuche, den exakten Wert unsres x zu ermitteln, müssen daran
scheitern, dass man beim letzten Ausdruck des x das Pi auf keine Weise
aus der geschweiften Klammer in äquivalenter Transformation heraus-
zubringen vermag, und ebensowenig imstande ist, beim erstern Ausdrucke

§ 29. Produkte und Summen zweiter Stufe.

Dass in der That:
[Formel 1] ist, erhellt daraus, dass für l = k dies Π gleich 1, für l ≠ k aber gleich
0 sein muss, letzteres, weil dann unter den (d. h. unter allen erdenklichen)
u sich auch solche finden, für welche uh k = 0 und zugleich uh l = 1 also
auch ūh l = 0 ist, mithin ein Faktor des Π verschwindet. Mit Obigem also
ist gefunden:
y = ĭ ; (ă ɟ 1').

Im allgemeinen Falle lassen sich (wieder) zwei Grenzen finden, zwischen
welchen das unbekannte (jedoch völlig bestimmte) Relativ x jedenfalls liegt.
Diese Grenzen vorweg zu ermitteln, ist aus zwei Gründen verlohnend.
Einmal liefern sie uns — gleichwie die vorausgeschickten Partikularfälle —
eine schätzbare Kontrole für den nachher mittelst ganz neuer Methode zu
gewinnenden exakten Wert des x. Sodann auch werden wir hierbei durch
einen Zufall geführt zur Entdeckung merkwürdiger Sätze.

Nach 14) haben wir: [Formel 2] und da, nach dem
Aussagenschema ο) S. 41, ΣΠ ⋹ ΠΣ ist, so muss sein:
[Formel 3] — vergleiche 26) des § 25, also nach 12): 1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ x, was die frag-
liche untere Grenze kund gibt.

Um eine obere Grenze zu finden, schreiben wir ebenfalls nach 14):
[Formel 4] . Hierin ist es nun nicht gestattet, die
geschweifte Klammer zu ignoriren. Ihre Unterdrückung läuft vielmehr auf
eine Verschiebung derselben hinaus und muss Übergeordnetes liefern nach
dem Schema {Πa} ; b ⋹ Πa ; b, welches = Π{a ; b} bedeutet. Folglich ist:
[Formel 5] — cf. Aufg. 8. Aber wegen i ; b = i · 1 ; b und 1 ; i1' = ĭ ; 1' = ĭ lässt sich
das erste Glied umwandeln in ĭ · 1 ; b und entsteht:
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= 0 ɟ a ; b + {0 ɟ (a ; b + 1')} · 1 ; b.
Hierin ist jedoch das erste Glied, als im zweiten enthalten, auch unter-
drückbar; denn wir haben sowol 0 ɟ a ; b ⋹ 0 ɟ (a ; b + 1'), als auch 0 ɟ a ; b ⋹
⋹ a ; b ⋹ 1 ; b. Es bleibt mithin das zweite Glied als die gesuchte obere
Grenze und ist im Ganzen sichergestellt, dass sein muss:
1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ x ⋹ {0 ɟ (a ; b + 1')} · 1 ; b = 0 ɟ (a ; b + 1 ; b · 1').

Versuche, den exakten Wert unsres x zu ermitteln, müssen daran
scheitern, dass man beim letzten Ausdruck des x das Πi auf keine Weise
aus der geschweiften Klammer in äquivalenter Transformation heraus-
zubringen vermag, und ebensowenig imstande ist, beim erstern Ausdrucke

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[511/0525] § 29. Produkte und Summen zweiter Stufe. Dass in der That: [FORMEL] ist, erhellt daraus, dass für l = k dies Π gleich 1, für l ≠ k aber gleich 0 sein muss, letzteres, weil dann unter den (d. h. unter allen erdenklichen) u sich auch solche finden, für welche uh k = 0 und zugleich uh l = 1 also auch ūh l = 0 ist, mithin ein Faktor des Π verschwindet. Mit Obigem also ist gefunden: y = ĭ ; (ă ɟ 1'). Im allgemeinen Falle lassen sich (wieder) zwei Grenzen finden, zwischen welchen das unbekannte (jedoch völlig bestimmte) Relativ x jedenfalls liegt. Diese Grenzen vorweg zu ermitteln, ist aus zwei Gründen verlohnend. Einmal liefern sie uns — gleichwie die vorausgeschickten Partikularfälle — eine schätzbare Kontrole für den nachher mittelst ganz neuer Methode zu gewinnenden exakten Wert des x. Sodann auch werden wir hierbei durch einen Zufall geführt zur Entdeckung merkwürdiger Sätze. Nach 14) haben wir: [FORMEL] und da, nach dem Aussagenschema ο) S. 41, ΣΠ ⋹ ΠΣ ist, so muss sein: [FORMEL] — vergleiche 26) des § 25, also nach 12): 1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ x, was die frag- liche untere Grenze kund gibt. Um eine obere Grenze zu finden, schreiben wir ebenfalls nach 14): [FORMEL]. Hierin ist es nun nicht gestattet, die geschweifte Klammer zu ignoriren. Ihre Unterdrückung läuft vielmehr auf eine Verschiebung derselben hinaus und muss Übergeordnetes liefern nach dem Schema {Πa} ; b ⋹ Πa ; b, welches = Π{a ; b} bedeutet. Folglich ist: [FORMEL] — cf. Aufg. 8. Aber wegen i ; b = i · 1 ; b und 1 ; i1' = ĭ ; 1' = ĭ lässt sich das erste Glied umwandeln in ĭ · 1 ; b und entsteht: x⋹Πiĭ ; (1' + a ; b) · (1 ; b + Πiĭ ; a ; b) = {0 ɟ (1' + a ; b)}(1 ; b + 0 ɟ a ; b) = = 0 ɟ a ; b + {0 ɟ (a ; b + 1')} · 1 ; b. Hierin ist jedoch das erste Glied, als im zweiten enthalten, auch unter- drückbar; denn wir haben sowol 0 ɟ a ; b ⋹ 0 ɟ (a ; b + 1'), als auch 0 ɟ a ; b ⋹ ⋹ a ; b ⋹ 1 ; b. Es bleibt mithin das zweite Glied als die gesuchte obere Grenze und ist im Ganzen sichergestellt, dass sein muss: 1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ x ⋹ {0 ɟ (a ; b + 1')} · 1 ; b = 0 ɟ (a ; b + 1 ; b · 1'). Versuche, den exakten Wert unsres x zu ermitteln, müssen daran scheitern, dass man beim letzten Ausdruck des x das Πi auf keine Weise aus der geschweiften Klammer in äquivalenter Transformation heraus- zubringen vermag, und ebensowenig imstande ist, beim erstern Ausdrucke

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 511. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/525>, abgerufen am 23.11.2024.

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