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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

benutzen. Nach erstrer ist zunächst a ; in · (xn j 0) a ; 1 · (xn j 0) = 0 und
fällt das letzte unterwellte Glied heraus.

Ersetzt man ferner in 93) das a ; 1 durch x ; 1 = x + x ; 1 und fügt zu
dem aus x entspringenden Gliede den letzten Summanden sub e) hinzu, so
entsteht (an j i)x, welches sich mit dem folgenden Terme a ; in · x von 93) zu
x selbst zusammenzieht, sodass nur noch zu zeigen bleibt, dass
[Formel 1] sei, was das Verschwinden der beiden letzten Glieder bedingt.

Nun folgt aus b1) a fortiori: x ; in a ; in ; in + i ; in = a ; in und ebenso
aus b3): a ; in x ; in, d. h 91) bedingt auch dass
z) x ; in = a ; in, xn j i = an j i
sei -- eine Bemerkung aufgrund von welcher die selbständige Herleitung
unsrer Lösung auch hätte unter Benutzung von 80) variirt und vielleicht
noch vereinfacht werden können (was wir zugunsten des systematischern Vor-
gehens unterliessen). Darnach ist das Verschwinden des letzten Gliedes von x
mit und ohne den unterwellten Faktor ersichtlich. Das vorletzte Glied kann
man schreiben:
xn(x ; in + x ; i)(an j i)i = xn(a ; in + x ; i)(an j i)i = xn · x ; i · i(an j i) = xnxi(an j i),
woraus auch dessen Verschwinden ersichtlich, q. e. d.

Aufgabe 19. Es möge jetzt auch noch die S. 268 aufgetauchte
Frage zur Entscheidung gebracht werden, ob die ebenda unter 22) ge-
gebene allgemeine Lösung der Gleichung x ; 0' = a ; 0' mit derjenigen
in der ersten Zeile von 26) auf S. 269 wesentlich zusammenfällt? Die
Frage ist zu bejahen.

Dabei wird man auf Sätze geführt, die von einigem Interesse sind.

Zuvörderst bemerke man, dass sich mittelst Einsetzung von a j 0 = (a j 1')a
schon die Lösung 25) S. 269 zu x ; 0' = a noch vereinfachen lässt zu:
94) x = (a j 1'){an + u + (un j 1') ; 1},
wonach sie sich nur mehr aus 7 statt 9 Termen aufbaut und an Durchsichtig-
keit wol nichts mehr zu wünschen lässt. Statt des (letzten) relativen Faktors 1
könnte auch 0' geschrieben werden -- vergl. 15) S. 229.

Ebenso kann man den Ausdruck von x in 26) S. 269 dem genannten in
22) l. c. zunächst näher bringen, indem man einsetzt:
a ; 0' j 0 = (a ; 0' j 1') · a ; 0', (an j 1')a = (a ; 0' j 1')(an j 1').
Darnach lässt sich auch in 26) l. c. der Faktor a ; 0' j 1' vorziehn, und ent-
steht:
95) x = (a ; 0' j 1'){an j 1' + u + (un j 1') ; 0'}
als ein vereinfachter Ausdruck für die allgemeine Wurzel der Gleichung
x ; 0' = a ; 0', der sich nur mehr aus 9 statt 10 Termen aufbaut.

Zudem ist der Vorteil erreicht, dass nun in den beiden als zusammen-
fallende nachzuweisenden Ausdrücken von x das a blos noch in der Ver-

Elfte Vorlesung.

benutzen. Nach erstrer ist zunächst a ; ī · (x̄ ɟ 0) ⋹ a ; 1 · (x̄ ɟ 0) = 0 und
fällt das letzte unterwellte Glied heraus.

Ersetzt man ferner in 93) das a ; 1 durch x ; 1 = x + x ; 1 und fügt zu
dem aus x entspringenden Gliede den letzten Summanden sub ε) hinzu, so
entsteht (ā ɟ i)x, welches sich mit dem folgenden Terme a ; ī · x von 93) zu
x selbst zusammenzieht, sodass nur noch zu zeigen bleibt, dass
[Formel 1] sei, was das Verschwinden der beiden letzten Glieder bedingt.

Nun folgt aus β1) a fortiori: x ; ī ⋹ a ; ī ; ī + ĭ ; ī = a ; ī und ebenso
aus β3): a ; ī ⋹ x ; ī, d. h 91) bedingt auch dass
ζ) x ; ī = a ; ī, x̄ ɟ i = ā ɟ i
sei — eine Bemerkung aufgrund von welcher die selbständige Herleitung
unsrer Lösung auch hätte unter Benutzung von 80) variirt und vielleicht
noch vereinfacht werden können (was wir zugunsten des systematischern Vor-
gehens unterliessen). Darnach ist das Verschwinden des letzten Gliedes von x
mit und ohne den unterwellten Faktor ersichtlich. Das vorletzte Glied kann
man schreiben:
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woraus auch dessen Verschwinden ersichtlich, q. e. d.

Dabei wird man auf Sätze geführt, die von einigem Interesse sind.

Zuvörderst bemerke man, dass sich mittelst Einsetzung von a ɟ 0 = (a ɟ 1')a
schon die Lösung 25) S. 269 zu x ; 0' = a noch vereinfachen lässt zu:
94) x = (a ɟ 1'){ā + u + (ū ɟ 1') ; 1},
wonach sie sich nur mehr aus 7 statt 9 Termen aufbaut und an Durchsichtig-
keit wol nichts mehr zu wünschen lässt. Statt des (letzten) relativen Faktors 1
könnte auch 0' geschrieben werden — vergl. 15) S. 229.

Ebenso kann man den Ausdruck von x in 26) S. 269 dem genannten in
22) l. c. zunächst näher bringen, indem man einsetzt:
a ; 0' ɟ 0 = (a ; 0' ɟ 1') · a ; 0', (ā ɟ 1')a = (a ; 0' ɟ 1')(ā ɟ 1').
Darnach lässt sich auch in 26) l. c. der Faktor a ; 0' ɟ 1' vorziehn, und ent-
steht:
95) x = (a ; 0' ɟ 1'){ā ɟ 1' + u + (ū ɟ 1') ; 0'}
als ein vereinfachter Ausdruck für die allgemeine Wurzel der Gleichung
x ; 0' = a ; 0', der sich nur mehr aus 9 statt 10 Termen aufbaut.

Zudem ist der Vorteil erreicht, dass nun in den beiden als zusammen-
fallende nachzuweisenden Ausdrücken von x das a blos noch in der Ver-

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[538/0552] Elfte Vorlesung. benutzen. Nach erstrer ist zunächst a ; ī · (x̄ ɟ 0) ⋹ a ; 1 · (x̄ ɟ 0) = 0 und fällt das letzte unterwellte Glied heraus. Ersetzt man ferner in 93) das a ; 1 durch x ; 1 = x + x ; 1 und fügt zu dem aus x entspringenden Gliede den letzten Summanden sub ε) hinzu, so entsteht (ā ɟ i)x, welches sich mit dem folgenden Terme a ; ī · x von 93) zu x selbst zusammenzieht, sodass nur noch zu zeigen bleibt, dass [FORMEL] sei, was das Verschwinden der beiden letzten Glieder bedingt. Nun folgt aus β1) a fortiori: x ; ī ⋹ a ; ī ; ī + ĭ ; ī = a ; ī und ebenso aus β3): a ; ī ⋹ x ; ī, d. h 91) bedingt auch dass ζ) x ; ī = a ; ī, x̄ ɟ i = ā ɟ i sei — eine Bemerkung aufgrund von welcher die selbständige Herleitung unsrer Lösung auch hätte unter Benutzung von 80) variirt und vielleicht noch vereinfacht werden können (was wir zugunsten des systematischern Vor- gehens unterliessen). Darnach ist das Verschwinden des letzten Gliedes von x mit und ohne den unterwellten Faktor ersichtlich. Das vorletzte Glied kann man schreiben: x̄(x ; ī + x ; i)(ā ɟ i)ĭ = x̄(a ; ī + x ; i)(ā ɟ i)ĭ = x̄ · x ; i · ĭ(ā ɟ i) = x̄xĭ(ā ɟ i), woraus auch dessen Verschwinden ersichtlich, q. e. d. Aufgabe 19. Es möge jetzt auch noch die S. 268 aufgetauchte Frage zur Entscheidung gebracht werden, ob die ebenda unter 22) ge- gebene allgemeine Lösung der Gleichung x ; 0' = a ; 0' mit derjenigen in der ersten Zeile von 26) auf S. 269 wesentlich zusammenfällt? Die Frage ist zu bejahen. Dabei wird man auf Sätze geführt, die von einigem Interesse sind. Zuvörderst bemerke man, dass sich mittelst Einsetzung von a ɟ 0 = (a ɟ 1')a schon die Lösung 25) S. 269 zu x ; 0' = a noch vereinfachen lässt zu: 94) x = (a ɟ 1'){ā + u + (ū ɟ 1') ; 1}, wonach sie sich nur mehr aus 7 statt 9 Termen aufbaut und an Durchsichtig- keit wol nichts mehr zu wünschen lässt. Statt des (letzten) relativen Faktors 1 könnte auch 0' geschrieben werden — vergl. 15) S. 229. Ebenso kann man den Ausdruck von x in 26) S. 269 dem genannten in 22) l. c. zunächst näher bringen, indem man einsetzt: a ; 0' ɟ 0 = (a ; 0' ɟ 1') · a ; 0', (ā ɟ 1')a = (a ; 0' ɟ 1')(ā ɟ 1'). Darnach lässt sich auch in 26) l. c. der Faktor a ; 0' ɟ 1' vorziehn, und ent- steht: 95) x = (a ; 0' ɟ 1'){ā ɟ 1' + u + (ū ɟ 1') ; 0'} als ein vereinfachter Ausdruck für die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; 0' = a ; 0', der sich nur mehr aus 9 statt 10 Termen aufbaut. Zudem ist der Vorteil erreicht, dass nun in den beiden als zusammen- fallende nachzuweisenden Ausdrücken von x das a blos noch in der Ver-

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 538. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/552>, abgerufen am 18.06.2024.

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